2019高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第3讲 导数及其应用学案.doc

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1、1第第 3 3 讲讲 导数及其应用导数及其应用考情考向分析 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型热点一 导数的几何意义1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同例 1 (1)(2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为( )Ay2x ByxCy2x

2、Dyx答案 D解析 方法一 f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选 D.方法二 f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选 D.(2)若直线ykxb是曲线yln x1 的切线，也是曲线yln(x2)的切线，则实数b_.答案 ln 2解析 设直线ykxb与曲线yln x1

3、和曲线yln(x2)的切点分别为(x1，ln x11)，2(x2，ln(x22)直线ykxb是曲线yln x1 的切线，也是曲线yln(x2)的切线，即x1x22.1 x11 x22切线方程为y(ln x11)(xx1)，1 x1即为yln x1x x1或yln(x22)(xx2)，1 x22即为yln x1，x x12x1 x10，则x12，2x1 x1bln 2.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线

4、斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练 1 (1)(2018全国)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案 2xy0解析 y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切线的几何意义得切线斜率2 x1为 2，又切线过点(0,0)，切线方程为y2x，即 2xy0.(2)若函数f(x)ln x(x0)与函数g(x)x22xa(x0)，则切线方程为yln x1(xx1)1 x1设公切线与函数g(x)x22xa切于点B(x2，x2x2a)(x2h(2)ln 21ln ，1 2ea.(ln1 2e

5、，)热点二 利用导数研究函数的单调性1f(x)0 是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0 是f(x)为增函数的必要不充分条件，如函数在某个区间内恒有f(x)0 时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例 2 已知函数f(x)2exkx2.(1)讨论函数f(x)在(0，)内的单调性；(2)若存在正数m，对于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立，求正实数k的取值范围解 (1)由题意得f(x)2exk，x(0，)，因为x0，所以 2ex2.当k2 时，f(x)0，此时f(x)在(0，)内单调递增当k2 时，由f(x)0 得xl

6、n ，此时f(x)单调递增；k 2由f(x)2 时，f(x)在内单调递减，(0，lnk 2)在内单调递增(lnk 2，)(2)当 00.这时|f(x)|2x可化为f(x)2x，即 2ex(k2)x20.设g(x)2ex(k2)x2，则g(x)2ex(k2)，令g(x)0，得xln0，k2 2所以g(x)在内单调递减，且g(0)0，(0，lnk2 2)所以当x时，g(x)2 时，由(1)可得f(x)在内单调递减，且f(0)0，(0，lnk 2)所以存在x00，使得对于任意的x(0，x0)都有f(x)2x可化为f(x)2x，即2exx20.(k2)设h(x)2exx2，(k2)则h(x)2ex.(

7、k2)()若 24，令h(x)0，得x0，(0，lnk2 2)此时取mmin，则对于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立x0，lnk2 2综上可得k的取值范围为.(4，)5思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域(2)求导函数f(x)(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0 或f(x)1 时，ln x0，要使f(x)0 恒成立，则xa0 恒成立xa1a，1a0，解得a1，当 0f(x)，则关于x的不等式f(x2)的解集为( )1 exA(，3) B(3，)C(，0) D(0，)答案 B解析 f(x)是偶函数，f(x)

8、f(x)，f(x)f(x)，fxf(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)，6即f(x)f(x)0，设g(x)exf(x)，则ex0，exfxfxfxg(x)在(，)上单调递增，由f f(x1)0，(x1 2)得f(x)f 0，f f0，(x3 2)(x3 2)(x3)相减可得f(x)f，f(x)的周期为 3，(x3)e3fe3f(2)1，g(2)e2f(2) ，f(x2)，结合f(x)的周期为 3 可化为(2 018)1 e1 exex1f(x1) e2f(2)，g(x1)g(2)，x12，x3，1 e不等式的解集为，故选 B.(3，)热点三 利用导数求函数的极值、最值1若在x0附近左侧f(

9、x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例 3 (2018北京)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2 处取得极小值，求a的取值范围解 (1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为 1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2

10、ex(ax1)(x2)ex.若a ，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2 处取得极小值若a ，则当x(0,2)时，x20.7所以 2 不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.(1 2，)思维升华 (1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0 的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练 3 (2018浙江省重点中学联考)已知函数f(x)ln(x

11、b)a(a，bR R)(1)若yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为yx3，求a，b的值；(2)当b0 时，f(x)对定义域内的x都成立，求a的取值范围2x1解 (1)由f(x)ln(xb)a，得f(x)，1 xb所以Error!解得Error!(2)当b0 时，f(x)对定义域内的x都成立，即ln xa2x1恒成立，2x1(x1 2) 所以aln x，则a(ln x)max.2x12x1令g(x)ln x，2x1则g(x) .1 x12x12x1xx2x1令m(x)x，2x1则m(x)1，12x11 2x12x1令m(x)0，得 1，1 2所以m(x)在上单调递增，在(1，)上单调

12、递减，则m(x)maxm(1)0，1 2，1)所以g(x)0，即g(x)在定义域上单调递减，所以g(x)maxgln ，即aln .(1 2)1 21 2真题体验81(2017浙江改编)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是_(填序号)答案 解析 观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于 0，大于 0，小于 0，大于 0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察图象可知，排除.如图所示，f(x)有 3 个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故正确2(2017全国改

13、编)若x2 是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_答案 1解析 函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2 是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1，所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由 ex10 恒成立，得当x2 或x1 时，f(x)0，且当x0；当21 时，f(x)0.所以x1 是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.93(2017山东改编)若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定

14、义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是_(填序号)f(x)2x; f(x)x2；f(x)3x; f(x)cos x.答案 解析 若f(x)具有性质M，则exf(x)exf(x)f(x)0 在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0 在f(x)的定义域上恒成立对于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意经验证，均不符合题意4(2017全国)曲线yx2 在点(1,2)处的切线方程为_1 x答案 xy10解析 y2x，y|x11，1 x2即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.押题预测1设函数yf(x)的导

15、函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)等于( )A4 B3 C2 D1押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“在某一点处的切线”问题，也是易错易混点答案 A解析 依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1 处取得极大值 10，则 的值为( )a bA B22 3C2 或 D2 或2 32 3押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁” ，理解极值概念是学好导数的关键极值点、极值的求法是高考的热点答案 A解析 由题意知f(x)3x2

16、2axb，f(1)0，f(1)10，即Error!解得Error!或Error!10经检验Error!满足题意，故 .a b2 33已知函数f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值为_押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案 2解析 函数f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数， 1，得a2.a 2又g(x)2x ，依题意g(x)0 在(1,2)上恒成立，得 2x2a在(1,2)上恒成立，a xa2，a2.4已知函数f(x)

17、x，g(x)x22ax4，若对任意x10,1，存在x21,2，1 x1使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与化归思想，是高考的一个热点答案 9 4，)解析 由于f(x)10，1x12因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以当x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a 成立，x 25 2x令h(x) ，则要使ah(x)在1,2上能成立，x 25 2x只需使ah(x)min，又函数h(x) 在1,2上单调递减，x 25 2x所以h(x)minh(2)

18、，故只需a .9 49 411A A 组组 专题通关专题通关1(2018宁波月考)已知f(x)x2cos x，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象1 4是( )答案 A解析 由题意得f(x) sin x，易得函数f(x)为奇函数，排除 B，D；设g(x)x 2 sin x，则g(x) cos x，易得当x时，g(x) cos x0，即所求不等式的解集为(0，)4(2018浙江杭州二中月考)若函数f(x)bx3ax2x1 存在极值点，则关于1 3(b1 b)a，b的描述正确的是( )Aab有最大值2Bab有最小值2Ca2b2有最小值 1Da2b2无最大值也无最小值答案 D解析 由题意得f

19、(x)bx22ax，则由函数f(x)存在极值点得导函数f(x)(b1 b)bx22ax存在穿过型零点，则(2a)24b0，化简得a2b21，所以(b1 b)(b1 b)a2b2无最大值也无最小值，故选 D.5设过曲线f(x)exx2a(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x) (12x)2sin x上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为( )a 2A1,1 B2,213C1,2 D2,1答案 C解析 设yf(x)的切点为(x1，y1)，yg(x)的切点为(x2，y2)，f(x)ex1，g(x)a2cos x，由题意得，对任意x1R R，总存在x2使得

20、(1ex1)(a2cos x2)1，2cos x2a对任意x1R R 均有解x2，1 1故2a2 对任意x1R R 恒成立，1 1则a2a2 对任意x1R R 恒成立1 1又(0,1)，a20 且 2a1，1a2.1 16已知f(x)xln x，则f(1)_.f1x答案 1 2解析 因为f(x)1ln x，令x1，f1x2得f(1)1f(1)，解得f(1) .1 27(2018全国)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.答案 3解析 y(axa1)ex，当x0 时，ya1，a12，得a3.8已知函数f(x)2ln x和直线l：2xy60，若点P是函数f(x)图象上的一点

21、，则点 P到直线l的距离的最小值为_答案 8 55解析 设直线y2xm 与函数f(x)的图象相切于点P(x0，y0)(x00)f(x) ，则f(x0)2，解得x01，P(1,0)2 x2 x0则点P到直线 2xy60 的距离d，即为点P到直线|2 106|22128 552xy60 的距离的最小值9已知函数f(x) (aR R)的值域是，则常数a_，m_.xa x211 4，m14答案 13 4解析 由题意得f(x) ，xa x211 4即ax2x 对任意xR R 恒成立，且存在xR R 使得等号成立，1 41 4所以amax，(1 4x2x1 4)又因为x2x (x2)2 ，1 41 41

22、43 4所以amax ，(1 4x2x1 4)3 4所以f(x)，x34 x214x3 4x24则f(x)，2x23x22x212x22x12x212当x时，f(x)0，(2，1 2)当x(，2)和时，f(x)0 恒成立，所以由f(x)0，得x1；由f(x)e 时，f(x)0 有解(exax)x1x2设H(x)exax，则 H(x)exa0，H(1)eae 时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一当ae 时，当x(0,1)时，f(x)0 恒成立，f(x)单调递减，不成立综上，a的取值范围为(e，)11已知函数f(x)xaln xb，a，b为实数(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程

23、为y2x3，求a，b的值；16(2)若|f(x)|sin ；若ng，即，()()sin sin 所以sin g，则n，sin x x( 2)2 2 令(x)sin xx，当x时，(0， 2)(x)cos x10)，g(x)ln x2.m x(1)当m1 时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意的x11，e，总存在x21，e，使1，其中 e 是自然对数fx1x1gx2x2的底数，求实数m的取值范围解 (1)当m1 时，f(x) xln x，1 x19则f(x)ln x1.1 x2因为f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，所以当x1 时，f(x)0；当 00 在1，e上恒成立，3ln

24、 x x2所以函数(x)在1，e上单调递增，ln x2 x故(x).2，1 e又h(x)(x)1，所以h(x)，即 ln xe 在1，e上恒成立，即x2ln xmx2(eln x)1 2，e1 2m x2x2 2在1，e上恒成立设p(x)x2ln x，x2 2则p(x)2xln x0 在1，e上恒成立，所以p(x)在1，e上单调递减，所以mp(x)maxp(1) .1 2设q(x)x2(eln x)，则q(x)x(2e12ln x)x(2e12ln e)0 在1，e上恒成立，所以q(x)在1，e上单调递增，所以mq(x)minq(1)e.综上所述，m的取值范围为.1 2，e15已知函数f(x)

25、kln x，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴垂直x1 x(1)求函数f(x)的单调区间；20(2)若对任意x(0,1)(1，e)(其中 e 为自然对数的底数)，都有 (a0)恒成立，fxx11 x1 a求a的取值范围解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)kln x，定义域为(0，)，x1 xf(x) (x0)k x1 x2kx1 x2由题意知f(1)k10，解得k1，f(x)(x0)，x1 x2由f(x)0，解得x1；由f(x)1 时，n(x)m(e)，1 e1由题意知 ，又a0，1 a1 e1ae1.下面证明：当ae1,0 成立，ln x x11 a即证aln x0，

26、故(x)在(0,1)上是增函数，21当x(0,1)时，(x) 成立，ln x x11 a故正数a的取值范围是.e1，)方法二 当x(0,1)时， (a0)可化为aln xx10)，ln x x11 a令g(x)aln xx1(a0)，则问题转化为证明g(x)0)，a xax x令g(x)0，得 0a，函数g(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减()当 00(a(0,1)设T(x)xln xx1(0T(1)0.即g(a)0(a(0,1)故此时不满足g(x) (a0)，ln x x11 a令h(x)aln xx1(a0)，则问题转化为证明h(x)0 对任意x(1，e)恒成立又h(x) 1(a0)，a xax x令h(x)0 得 0a，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减()当ae 时，h(x)在(1，e)上是增函数，所以h(x)h(1)0，()当 1ae 时，h(x)在(1，a)上单调递增，在(a，e)上单调递减，所以只需h(e)0，即ae1，()当 0a1 时，h(x)在(1，e)上单调递减，22则h(x)h(1)0，不符合题意综合()()()可得ae1.由得正数 a 的取值范围是.e1，)