2021高考数学导学练系列-平面向量教案-苏教版2.doc

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1、平面向量平面向量1 1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2 2掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律3 3掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件4 4了解平面向量根本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5 5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6 6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式7 7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形向量概念向量的模相等的向量单位向量零向量运算向量的加法向量的减法实数与向

2、量的乘积向量的数量积平面向量的坐标运算平移公式线段的定比分点解三角形余弦定理正弦定理任意三角形的面积公式向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1 1平面向量的性质和运算法那么，共线定理、根本定理、平行四边形法那么及三角形法那么2 2向量的坐标运算及应用3 3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4 4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第第 1 1 课时课时向量的概念与几何运算向量的概念与几何运

3、算知识网络知识网络考纲导读考纲导读高考导航高考导航1 1向量的有关概念 既有又有的量叫向量的向量叫零向量的向量，叫单位向量叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量且的向量叫相等向量2 2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按法那么或法那么进行加法满足律和律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向3 3实数与向量的积 实数与向量a的积是一个向量，记作 a它的长度与方向规定如下：|a|当0 时，a的方向与a的方向；当0 时，a的方向与a的方向；当0 时，a(a)()a(ab)共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实

4、数使得4 4 平面向量根本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使得 设1e、2e是一组基底，a2111eyex，b2212eyex，那么a与b共线的充要条件是例例 1 1ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点设aAB，bAC，求BE解：BEAEAB41(ABAC)AB43a41b变式训练变式训练 1.1.如下图，D 是ABC 边 AB 上的中点，那么向量CD等于ABCBA21典型例题典型例题根底过关根底过关ADBCBBCBA21CBCBA21DBCBA21解解:A例例 2.2.向量2132eea，2132e

5、eb，2192eec，其中1e、2e不共线，求实数、，使bac解解:cab 21e92e(22)1e(33)2e222，且3392，且1变式训练变式训练 2 2：平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点 P 为平面上任意一点，求证：POPDPCPBPA4证明PAPC2PO，PBPD2PO PAPBPCPD4PO例例 3.3.ABCD 是一个梯形，AB、CD 是梯形的两底边，且 AB2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，假设aAB，bAD，试用a、b表示BC和MN解：解：连 NC，那么bADNCbaCNABCNMCMN4141；abNBNCBC21变式训练变式训练 3 3：如下

6、图，OADB 是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边形，又BM31BC，CN31CD，试用a、b表示OM，ON，MN解解:OM61a65b，ON32a32b，MN21a61b例例 4.4.设a，b是两个不共线向量，假设a与b起点相同，tR，t 为何值时，a，tb，31(ab)三向量的终点在一条直线上？解：解：设)(31baabta(R)化简整理得：0)31()132(bta不共线与ba，2123030132tt故21t时，)(31,babta三向量的向量的终点在一直线上变式训练变式训练 4 4：,OAa OBb OCc ODd OEe ，设tR，如果3,2,acbd()et ab，那么t为何值

7、时，,C D E三点在一条直线上？BOADCNM解：解：由题设知，23,(3)CDdcba CEectatb ，,C D E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD ，即(3)32tatbkakb，整理得(33)(2)tk akt b.假设,a b 共线，那么t可为任意实数；假设,a b 不共线，那么有33020tktk，解之得，65t.综上，,a b 共线时，那么t可为任意实数；,a b 不共线时，65t.1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意O与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明 AB

8、CD，需证ABCD，且 AB 与 CD 不共线要证 A、B、C 三点共线，那么证ABAC即可4向量加法的三角形法那么可以推广为多个向量求和的多边形法那么，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法那么特点：首首相接连终点第第 2 2 课时课时平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1 1平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数 x、y，使得axiyj我们把(x、y)叫做向量a的直角坐标，记作并且|a|2 2向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系3 3平面向量的坐标运算：假设a(x1、y1)，b(x2、y2)，R，那么：ab

9、abaA(x1、y1)，B(x2、y2)，那么AB4 4两个向量a(x1、y1)和b(x2、y2)共线的充要条件是例例 1.1.点 A2，3，B1，5，且AC31AB，求点 C 的坐标小结归纳小结归纳典型例题典型例题根底过关根底过关解解AC31AB(1，32)，OCACOA(1,311)，即 C(1,311)变式训练变式训练 1.1.假设(2,8)OA ，(7,2)OB ，那么31AB=.解解:(3,2)提示：(9,6)ABOBOA 例例 2.2.向量a(cos2，sin2)，b(cos2，sin2)，|ab|552，求 cos()的值解解:|ab|55222552)cos(2cos22552

10、55222552)cos(cos253cos()257变式训练变式训练 2.2.a2b(3，1)，2ab(1，2)，求ab解解a(1，1)，b(1，0)，ab(0，1)例例 3.3.向量a(1,2)，b(x,1)，1ea2b，2e2ab，且1e2e，求 x解解:1e(12x，4)，2e(2x，3)，1e2e3(12x)4(2x)x21变式训练变式训练 3.3.设a(ksin,1)，b(2cos,1)(0)，ab，求证：k3证明证明:ksincos2 k3sin)3cos(220k3例例 4.4.在平行四边形 ABCD 中，A(1，1)，AB(6，0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM

11、与 BD交于点 P(1)假设AD(3，5)，求点 C 的坐标；(2)当|AB|AD|时，求点 P 的轨迹解：解：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)，得 x010y06即点 C(10，6)(2)ADAB 点 D 的轨迹为(x1)2(y1)236(y1)M 为 AB 的中点 P 分BD的比为21设 P(x，y)，由 B(7，1)那么 D(3x14，3y2)点 P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22yyx变式训练变式训练 4.4.在直角坐标系 x、y 中，点 A(0，1)和点 B(3，4)，假设点 C 在AOB 的平分线上，且|OC|2，求OC的坐标解解 A(0，1)，B(3，4)设 C(0，

12、5)，D(3，9)AMBCDP那么四边形 OBDC 为菱形AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD2103OCOD)5103,510(1032ODOC1 1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形与“数的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2 2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算第第 3 3 课时课时平面向量的数量积平面向量的数量积1 1两个向量的夹角：两个非零向量a和b，过 O 点作OAa，OBb，那么AOB(0180)叫做向量a与b的当0时，a与

13、b；当180时，a与b；如果a与b的夹角是 90，我们说a与b垂直，记作2 2两个向量的数量积的定义：两个非零向量a与b，它们的夹角为，那么数量叫做a与b的数量积或内积，记作ab，即ab规定零向量与任一向量的数量积为 0假设a(x1,y1)，b(x2,y2)，那么ab3 3向量的数量积的几何意义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影(是向量a与b的夹角)ab的几何意义是，数量ab等于4 4向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角eaaeab 当a与b同向时，ab；当a与b反向时，ab cos|ab|5 5向量数量积的运算律：小结归纳小结归纳根底过关根底过关ab；(

14、a)ba(b)(ab)c例例 1.1.|a|4，|b|5，且a与b的夹角为 60，求：(2a3b)(3a2b)解解:(2a3b)(3a2b)4变式训练变式训练 1.1.|a|3，|b|4，|ab|5，求|2a3b|的值解解:56例例 2.2.向量a(sin，1)，b(1，cos)，22(1)假设 ab，求；(2)求|ab|的最大值解：解：(1)假设ba，那么0cossin即1tan而)2,2(，所以4(2)4sin(223)cos(sin23ba当4时，ba 的最大值为12 变式训练变式训练 2 2：(cos,sin)a，(cos,sin)b，其中0(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)假设k

15、ab与a kb的长度相等，求的值(k为非零的常数)证明：证明：222222()()(cossin)(cossin)0abababab与ab互相垂直2ka(coscos,sinsin)bkk,a k(coscos,sinsin)bkk,212 cos()k a bkk,21 2 cos()a kbkk,典型例题典型例题而2212 cos()12 cos()kkkk cos()0，2例例 3.3.O 是ABC 所在平面内一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，判断ABC 是哪类三角形解解:设 BC 的中点为 D，那么(OCOB)(OAOCOB2)02BCAD0BCADABC是等腰三角形.变式

16、训练变式训练 3 3：假设(1,2),(2,3),(2,5)ABC，那么ABC 的形状是.解解:直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,ABACAB ACABAC 例例 4.4.向量m(cos,sin)和n(2sin,cos)(,2)且|nm|528，求 cos(82)的值.解解:nm(cossin2,cossin)由(cossin2)2(cossin)225128化简：cos257)4(又 cos225162)4cos(1)82(,2)cos25162)4cos(1)82(0cos25162)4cos(1)82(54变式训练变式训练 4.4.平面向量13(3,1),(,)22ab，假设

17、存在不同时为0的实数k和t，使2(3)xatb,ykatb 且xy，试求函数关系式()kf t.解：解：由13(3,1),(,)22ab得0,|2,|1a bab 33311430,(3),()(3)44kttkttf ttt1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意ab与 ab 的区别ab0a0，或b0小结归纳小结归纳3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合第第 4 4 课时课时线段的定比分点和平移线段的定比分点和平移1 1 设 P1P2是直线 L 上的两点，点 P 是 L 上不同于 P1、P2

18、的任意一点，那么存在一个实数使PP12PP，叫做2 2设 P1x1、y1，P2x2、y2，点 Px、y分21PP的比是时，定比分点坐标公式为：，中点坐标公式：。3 3 平移公式：将点 Px、y按向量ah、k平移得到点 Px，y，那么例例 1.1.点 A(1,4)，B(5,2)，线段 AB 上的三等分点依次为 P1、P2，求 P1、P2的坐标及 A、B 分21PP所成的比.解解 P1(x2)P2(3,0)(2)21,2变式训练变式训练 1.1.设|AB|5，点 p 在直线 AB 上，且|PA|1，那么 p 分AB所成的比为解解:6141或例例 2.2.将函数 y2sin2x653 的图象 C 进

19、行平移后得到图象 C，使 C 上面的一点 P6、2移至点 P4、1，求图像 C对应的函数解析式解解:C：y2sin(2x32)2变式训练变式训练 2 2：假设直线 2xyc0 按向量a(1,1)平移后与圆 x2y25 相切，那么 c的值为A8 或2B6 或4C4 或6D2 或8解解:A例例 3.3.设a(sinx1,cosx1)，)22,22(b，f(x)ba，且函数 yf(x)的图象是由ysinx 的图象按向量c平移而得，求c.解解:c(2,24k)(kz)变式训练变式训练 3 3：将 ysin2x 的图象向右按a作最小的平移，使得平移后的图象在k2,k(kZ)上递减，那么a典型例题典型例题

20、根底过关根底过关解解:(4，0)例例 4.4.ABC 的顶点 A(0、0)，B(4、8)，C(6、4)，点 M 内分AB所成的比为 3，N 是 AC 边上的一点，且AMN 的面积等于ABC 的面积的一半，求 N 点的坐标解解:由|ACABANAMSSABCAMN21得32|ACAN2NCAN N(4，38)变式训练变式训练 4.4.ABC 的三个顶点为 A1，2，B4，1，C3，4(1)求 AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标；(2)在 AB 上取一点 P，使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把ABC 的面积分成 45 两局部三角形面积：四边形面积，求点 P 的坐标解解:)34,

21、3()37,38(226pGCM1在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比2平移公式反映了平移前的点 P(x、y)和平移后的点 P(x、y)，及向量a(h，k)三者之间的关系它的本质是PPa平移公式与图象变换法那么，既有区别又有联系，应防止混淆小结归纳小结归纳平面向量章节测试题平面向量章节测试题一、选择题一、选择题1.假设 A2，-1，B-1，3，那么AB的坐标是()A.1，2B.-3，4C.3，-4D.以上都不对2.与 a=4，5垂直的向量是()A.-5k,4kB.(-10，2C.(54,kk)D.5k,-4k3.ABC 中,BC=a,AC=b,那么

22、AB等于()A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a4.化简52(ab)31(2a+4b)+152(2a+13b)的结果是()A.51a51bB.0C.51a+51bD.51a51b5.|p|=22,|q|=3,p 与 q 的夹角为4,那么以 a=5p+2q,b=p3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为()A.15B.15C.16D.146.A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 pAB,那么 k 的值为()A.109B.109C.1019D.10197.ABC 的三个顶点，A、B、C 及平面内一点 P 满足PAPBPCAB ，那么点 P 与ABC 的关系是

23、()A.P 在ABC 的内部B.P 在ABC 的外部C.P 是 AB 边上的一个三等分点D.P 是 AC 边上的一个三等分点8.ABC 的三个顶点，A(1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是 BC 边上一点,且ABM 的面积是ABC面积的41,那么线段 AM 的长度是()A.5B.85C.25D.8529.设 e1,e2是夹角为 450的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,那么|a+b|的值()A.23B.9C.2918D.22310.假设|a|=1,|b|=2,(a-b)a,那么 a 与 b 的夹角为()A.300B.450C.600D.75011.把一个函数的

24、图象按向量 a=(3,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6)-2,那么原函数的解析式为()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=-cosx12.在ABC 中，AB=c,BC=a,CA=b,那么以下推导中错误的选项是()A.假设 abf(cd)的解集.ABNMDC平面向量章节测试题参考答案平面向量章节测试题参考答案一、一、BCDBA；DDADB；BD二二、13.等边三角形；14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为 600;15.a2b;16.三、三、17.|AB|=2|CD|DCAB22121ABDCa,BCb21a,MN=41ab18.BD

25、BCCD 5e1+5e2=AB5,BDAB/又有公共点 B,A、B、D 共线设存在实数使 ke1+e2=(e1+ke2)k=且 k=1k=119.由0 ACAB可知ACAB 即 ABAC设 Dx,y,)2,1(),5,5(),4,2(yxBDBCyxADBCAD 5(x-2)+5(y-4)=0BCBD/5(x+1)5(y+2)=02527yxD(25,27)23,23(AD20.226|),25,21()23,25(CMCMM设 Px,y44|22,59|33APQAPQBPQCABCSSAPAPABSSAB 21.当 b 与 a+b(R)垂直时，b(a+b)=0,=-2a bb|a+b|=2222ba ba=222222()()a ba bbabb当=-2a bb时，|a+b|取得最小值.当 b 与 a+b(R)垂直时，a+b 的模取得最小值.22.(1ab=2sin2x+11cd=2cos2x+112f(1-x)=f(1+x)f(x)图象关于 x=1 对称当二次项系数 m0 时,f(x)在1，内单调递增，由 f(ab)f(cd)ab cd,即 2sin2x+12cos2x+1又x0,x3(,)44当二次项系数 mf(cd)ab cd,即 2sin2x+10 时不等式的解集为3(,)44;当 m0 时不等式的解集为