2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 椭圆的几何性质学案 苏教版选修1-1.doc

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1、12.2.22.2.2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质(重点) 2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点) 3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)y2 a2x2 b2范围axa且bybbxb且aya顶点(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率e (0e1)c a2.椭

2、圆的离心率基础自测1判断正误：(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.( )x2 a2y2 b2(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.( )(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )【解析】 (1).椭圆1(ab0)的长轴长等于 2a.x2 a2y2 b2(2).椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac，最小值为ac.2(3).离心率e 越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆c a【答案】 (1) (2) (3)2椭圆1 的离心率是_. x2 16y2 25【导学号：95902089】【解析】 由方程可知a225，a5，c2a2b225169，c3，e .c a3 5【答案】 3 5合 作

3、 探 究攻 重 难已知椭圆方程求其几何性质已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短32轴的长、焦点坐标、顶点坐标思路探究 把椭圆方程标准化利用离心率求m的值求a，b，c求性质【自主解答】 椭圆方程可化为1.x2 my2 m m3m0，m，m m3mm2 m3m m3即a2m，b2，c.m m3a2b2mm2 m3由e得，m1.32m2 m332椭圆的标准方程为x21.y2 1 4a1，b ，c.1 232椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点分别为F1，F2；(32，0)(32，0)四个顶点分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.(0，1 2)(0，1

4、 2)规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤3将椭圆方程化为标准形式焦点位置求出a，b，c写出椭圆的几何性质跟踪训练1求椭圆 9x216y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【导学号：95902090】【解】 把已知方程化成标准方程1，于是a4，b3，c，x2 16y2 91697椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，离心率e ，c a74两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)，77四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程(1)已知椭圆1(ab0)的离心率为 ，点C在椭圆上，则椭圆x2 a2y2 b22 3(2，5 3)

5、的标准方程为_(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，3则椭圆的标准方程为_思路探究 解决问题的关键是根据已知条件求出a2 和b2.【自主解答】 (1)由e 得 ，又c2a2b2，c a2 3c2 a24 9所以 得 . a2b2 a24 9b2 a25 9又点C在椭圆上得1， (2，5 3)4 a225 9b2由，解得a29，b25.所以所求椭圆的标准方程为1.x2 9y2 5(2)由已知Error!Error!从而b29，所求椭圆的标准方程为1 或1.x2 12y2 9x2 9y2 124【答案】 (1)1 (2)1 或1.x2 9y2 5x2 12y

6、2 9x2 9y2 12规律方法 1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数” ，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程跟踪训练2直线x2y20 过椭圆1 的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为x2 a2y2 b2_. 【导学号：95902091】【解析】 直线x2y20 与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2.直线x2y20 与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1.故a2b2c25，椭圆方程为y21.x2 5【答案】 y21x2 5求椭圆的离心率(1)椭圆1

7、(ab0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点Px2 a2y2 b2的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为_(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的 ，则椭2 3圆的离心率为_思路探究 (1)求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率(2)在焦点三角形PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解【自主解答】 (1)依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有1，c2 a24c2 b2整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46a2c2a40

8、，即e46e210，解得e232(32舍去)，从而e1.222(2)方法一：设焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)在 RtMF1F2中，F1FMFMF，即 4c2b2MF，而MF1MF22 32 22 22 14 92 15b2a，整理，得 3c23a22ab.4c249b22 3又c2a2b2 3b2a. .b2 a24 9e21 ，e.c2 a2a2b2 a2b2 a25 953法二：设M，代入椭圆方程，得1，(c，2 3b)c2 a24b2 9b2 ， ，即e.c2 a25 9c a5353【答案】 (1)1 (2)253规律方法 求椭圆

9、离心率及范围的两种方法1直接法：若已知a，c可直接利用e 求解.若已知a，b或b，c可借助于c aa2b2c2求出c或a，再代入公式e 求解.c a2方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.跟踪训练3椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为 45的直x2 a2y2 b2线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为_. 【导学号：95902092】【解析】 因为MF2垂直于x轴，MF1F245

10、，所以MF1F2是等腰直角三角形，以MF1为斜边设MF1m(m0)，则MF2F1F2m，又因为F1，F2是椭圆的左、右2焦点，所以MF1MF22a，即 2a(1)m，而 2cF1F2m，所以e 2c a2c 2a1.m1 2m2【答案】 126直线与椭圆的综合应用探究问题1已知直线ykxm和椭圆1(ab0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？x2 a2y2 b2【提示】 由Error!得(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，设该二次方程的判别式为，若0，则直线与椭圆有两个交点；若0，则直线与椭圆有一个交点；若0，则直线与椭圆没有交点2如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐

11、标与探究 1 中得到的关于x的二次方程有什么关系？【提示】 探究 1 中得到的关于x的二次方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0 的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标3设直线与椭圆有两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，那么如何求线段AB的长和M的坐标？【提示】 方法一：解方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，可得x1，x2，由ykxm可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB的长和M的坐标方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求”思路解决问题即 ABx1x22y

12、1y22x1x22kx1mkx2m2x1x22kx1kx221k2x1x22，1k2x1x224x1x2点M的坐标可直接利用根与系数的关系求解上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题如图 222 所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)x2 a2y2 b2的焦距为 2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为.4 33图 222(1)求椭圆的标准方程；7(2)若椭圆上存在一点P，使得，求直线l的斜率. OPOAOB【导学号：95902093】【自主解答】 (1)由题意可知 2c2，c1，当l与x轴垂直时|AB|，由2b2 a4 3

13、3a2b2c2，得a，b，故椭圆的标准方程是：1.32x2 3y2 2(2)设直线l的斜率为k，则直线l的方程：yk(x1)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)由Error!，可得(3k22)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2.6k2 3k223k26 3k22因为则Error!，代入椭圆方程1，OPOAOBx1x22 3y1y22 2又1，1，x2 1 3y2 1 2x2 2 3y2 2 2化简得 2x1x23y1y230，即(3k22)x1x23k2(x1x2)3k230将x1x2，x1x2代入得 3k263k230，6k2 3k223k26 3k223k2

14、 6k2 3k22化简得k22，k，故直线l的斜率为.22规律方法 椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.跟踪训练4已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为 2.x2 a2y2 b232(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大PF1PF2值与最小值【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意 ，且a2，得c，b1，c a323所求椭圆方程为y21.

15、x2 4(2)设P(x，y)，由(1)知F1(，0)，F2(，0)，33则(x，y)(x，y)x2y23x23x22，PF1PF233(1x2 4)3 4x2,2，当x0，即点P为椭圆短轴端点时，8有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值 1.PF1PF2PF1PF2构建体系当 堂 达 标固 双 基1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 ，则C的方程是1 2_. 【导学号：95902094】【解析】 由题意知c1，e ，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为c a1 21.x2 4y2 3【答案】 1x2 4y2 32已知椭圆1 有两个顶点在直线x2y2 上

16、，则此椭圆的焦点坐标是x2 a2y2 b2_【解析】 直线x2y2 过(2,0)和(0,1)点，a2，b1，c，椭圆焦点3坐标为(，0)3【答案】 (，0)33若椭圆x2my21 的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍则m的值为_. 【导学号：95902095】【解析】 将原方程变形为x21.由题意知a2 ，b21，a，b1.y2 1 m1 m1 m2，m .1 m1 4【答案】 1 494已知椭圆1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰x2 a2y2 b2好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_【解析】 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则AF1c，AF2c，有32a(1)c，3e 1.c a21 33【答案】 135当m取何值时，直线l：yxm与椭圆 9x216y2144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点. 【导学号：95902096】【解】 由Error!消去y得，9x216(xm)2144，化简整理得，25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214 400.(1)当5，直线l与椭圆无公共点. (2)当0 时，得m5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点(3)当0 时，得5m5，直线 l 与椭圆有两个公共点