2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、11.61.6 微积分基本定理微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考 已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则 (2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？1 0答案 由定积分的几何意义知， (2x1)dx (13)12，F(1)F(0)2，故1 01 2 (2x1)dxF(1)F(0)1 0梳理 (1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)；结论：f(x)dxF(b)F(a)；b a符号表示：f(x)dxF(x)| F(b)F(a)b ab a(

2、2)常见的原函数与被积函数关系cdxcx| (c为常数)b ab axndxError!(n1)b ab a sin xdxcos x| .b ab a cos xdxsin x| .b ab adxln x| (ba0)b a1 xb a exdxex| .b ab aaxdxError!(a0 且a1)b ab adxError!(ba0)b a xb a知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数f(x)0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等2梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积

3、为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则 f(x)dxS上b a(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则 f(x)dxS下b a(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图 ，则f(x)dxS上S下特别地，若b aS上S下，则 f(x)dx0.b a1若F(x)f(x)，则F(x)唯一( )2微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数( )3应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数( )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例 1 计算下列定积分(1) (2xex)dx；1 0(2)dx；2 1(1 x3cos x)(3) 220(

4、sincos) d ;22xxx(4) (x3)(x4)dx.3 0考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1) (2xex)dx(x2ex)|1 01 0(1e1)(0e0)e.(2)dx2 1(1 x3cos x)(ln x3sin x)|2 13(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)2(sin x 2cos x 2)12sin cos 1sin x，x 2x 2 22200(sincos) d(1-sin )d22xxxxx 2 0(cos )|xx(0cos 0)1.( 2cos 2) 2(4)(x3)(x

5、4)x27x12， (x3)(x4)dx3 0 (x27x12)dx3 0Error!3 00.(1 3 3372 3212 3)27 2反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)F(a)跟踪训练 1 计算下列定积分(1)dx；2 1(xx21 x)(2) 2220(cossin)d22xxx；(3)(1)dx.9 4xx考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)dx2 1(xx21 x)Er

6、ror!2 14(1 2 2213 23ln 2) (121 3ln 1)ln 2 .5 6(2) 2220(cossin)d22xxx 20cos dx xsin x 2 0|1.(3)(1)dx9 4xx (x)dxError!9 4x9 4.(2 3 12 92) (23 12 42)271 6命题角度2 求分段函数的定积分例 2 (1)若f(x)Error!求 21( )d ;f xx (2)计算定积分 |32x|dx.2 1考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 (1) 21( )df xx x2dx 20(cos1)d ,xx01又因为x2，(sin xx)cos x1，(

7、1 3x3)所以原式Error!(sin xx) 2 0|01(sin 00)(01 3) (sin 22) .4 3 2(2) |32x|dx2 1322312(32 )d(23)dxxxx5(3xx2)3 2 1|(x23x)2 3 2| .1 2反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练 2 (1)e|x|dx_.11考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 2e2解析 e|x|dx11exdx exdx011 0ex|ex|011 0e0e1e1e02e

8、2.(2)已知f(x)Error!求 f(x)dx.2 0考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 f(x)dx2 0 (2xex)dxdx1 02 1(x1 x)(x2ex)| Error!1 02 1(1e)(0e0)(1 2 22ln 2) (12 1ln 1)e ln 2.3 2类型二 利用定积分求参数例 3 (1)已知t0，f(x)2x1，若 f(x)dx6，则t_.t0(2)已知 2 (kx1)dx4，则实数k的取值范围为_2 1考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)3 (2)2 3，26解析 (1)f(x)dx (2x1)dxt2t6，t0t0

9、解得t3 或2，t0，t3.(2) (kx1)dxError!k1.2 12 13 2由 2k14，得 k2.3 22 3引申探究1若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dxf ，求t.t0(t 2)解 由 f(x)dx (2x1)dxt2t，t0t0又f t1，t2tt1，得t1.(t 2)2若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值t0解 F(t)f(x)dxt2t2 (t0)，t0(t1 2)1 4当t 时，F(t)min .1 21 4反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前

10、提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪训练 3 (1)已知x(0,1，f(x) (12x2t)dt，则f(x)的值域是_1 0(2)设函数f(x)ax2c(a0)若 f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_1 0考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)0,2) (2)33解析 (1)f(x) (12x2t)dt1 0(t2xtt2)| 2x2(x(0,1)1 0f(x)的值域为0,2)(2)f(x)dx (ax2c)dx1 01 0Error! c.1 0a 37又f(x0)ax

11、c，2 0 ax，即x0或.a 32 033330x01，x0.331若 dx3ln 2，则a的值是( )a1(2x1 x)A5 B4 C3 D2考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 D解析 dx 2xdxdxa1(2x1 x)a1a11 xx2| ln x| a21ln a3ln 2，a1a1解得a2.2 230(12sin)d2等于( )A B C. D.321 21 232考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 D解析 230(12sin)d2 30=cos d sin 3 0|.323设f(x)Error!则 f(x)dx等于( )

12、2 0A. B.3 44 5C. D不存在5 6考点 分段函数的定积分8题点 分段函数的定积分答案 C解析 f(x)dxx2dx (2x)dxError!Error! .2 01 02 11 02 15 64已知函数f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，则 f(x)dx_.3 1考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 2 3解析 f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，nxn1m2x2，解得n2，m2，f(x)x22x，则f(x)x22x，f(x)dx (x22x)dx3 13 1Error!99 1 .3 11 32 35已知f(x)Error!计算：f(x)dx.

13、0解 f(x)dx202( )d( )df xxf xx 0202=(4 -2)dcos d ,xxx x取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.所以202(4 -2)dcos dxxx x(2x22x) 2 0|sin x 2| 21，1 2即 f(x)dx 21. 01 21求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分9(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要

14、把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1dx等于( )2 1(ex1 x)Ae2ln 2 Be2eln 2Ce2eln 2 De2eln 2考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 D解析 (exln x)|2 1(ex1 x)2 1(e2ln 2)(eln 1)e2eln 2.2若 20(sincos )dxaxx2，则实数a等于( )A1 B1C D.33考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 A解析 20(sincos )dxaxx(cos xasin x) 2 0|

15、0a(10)1a2，a1，故选 A.3若S1x2dx，S2dx，S3 exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )2 12 11 x2 1AS10，所以f(1)lg 10.又当x0 时，f(x)x 3t2dtxt3| xa3，a0a0所以f(0)a3.因为f(f(1)1，所以a31，解得a1.1311设f(x)是一次函数，且 f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_1 01 017 6考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f(x)4x3解析 f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，f(x)dx (axb)dxaxdxbdx1 01 01 01 0a

16、b5，1 2xf(x)dxx(axb)dx1 01 0 (ax2)dxbxdxab.1 01 01 31 217 6Error!解得Error!f(x)4x3.12已知，则当 (cos xsin x)dx取最大值时，_.0， 20考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 4解析 (cos xsin x)dx(sin xcos x)|00sin cos 1sin1.2( 4)，则，0， 2 4 4，34当，即时， 4 2 4sin1 取得最大值2( 4)三、解答题13已知f(x)(12t4a)dt，F(a) f(x)3a2dx，求函数F(a)的最小值xa1 0考点 微积分基本

17、定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f(x)(12t4a)dt(6t24at)|xaxa146x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(a) f(x)3a2dx (6x24axa2)dx1 01 0(2x32ax2a2x)|1 0a22a2(a1)211.所以当a1 时，F(a)取到最小值为 1.四、探究与拓展14已知函数f(x)Error!则 f(x)dx等于( )11A. B.38 1243 12C. D.4 443 12考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 f(x)dx(x1)2dxdx，11011 0 1x2(x1)2dxError! ，0101

18、1 3dx以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的四分之一，1 0 1x2故 dx，1 0 1x2 4故 f(x)dx .111 3 443 1215已知f(x)是f(x)在(0，)上的导数，满足xf(x)2f(x)，且 x2f(x)1 x22 1ln xdx1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x0 时，证明不等式 2ln xex22.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf(x)2f(x)，得1 x2x2f(x)2xf(x) ，1 x15即x2f(x) ，1 x所以x2f(x)ln xc(c为常数)，即x2f(x)ln xc.又 x2f(x)ln xdx1，2 1即 cdx1，所以cx| 1，2 12 1所以 2cc1，所以c1.所以x2f(x)ln x1，所以f(x).ln x1 x2(2)证明 由(1)知f(x)(x0)，ln x1 x2所以f(x)，1 xx22xln x1x42ln x1 x3当f(x)0 时，x1 2e，f(x)0 时，01 2e，所以f(x)在(0，1 2e)上单调递增，在(1 2e，)上单调递减所以f(x)max 1 2(e)f ，e 2所以f(x) ，ln x1 x2e 2即 2ln xex22.