二矩阵乘法的性质(精品).ppt

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1、思考问题：思考问题：记甲、乙、丙三位同学的语文平时、期中、期末记甲、乙、丙三位同学的语文平时、期中、期末成绩为矩阵成绩为矩阵A，平时、期中、期末成绩的所占比例为，平时、期中、期末成绩的所占比例为矩阵矩阵B，这三位同学的语文总评成绩用矩阵，这三位同学的语文总评成绩用矩阵C表示。表示。甲同学的语文总评成绩为甲同学的语文总评成绩为 80 0.3+70 0.3+75 0.4=75 乙同学的语文总评成绩为乙同学的语文总评成绩为 90 0.3+70 0.3+80 0.4=80 丙同学的语文总评成绩为丙同学的语文总评成绩为 60 0.3+80 0.3+90 0.4=78 解：解：我们还可以利用矩阵某种运算得

2、到上述我们还可以利用矩阵某种运算得到上述总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。如果如果 那么矩阵那么矩阵C叫做矩阵叫做矩阵A和和B的乘积，记作的乘积，记作C=AB。矩阵矩阵A的第的第1行的行向行的行向量与矩阵量与矩阵B的第的第1列的列的列向量的数量积列向量的数量积 矩阵矩阵A的第的第2行的行向行的行向量与矩阵量与矩阵B的第的第1列的列的列向量的数量积列向量的数量积 1.矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 一般地，设一般地，设A是是m k阶矩阵，阶矩阵，B是是k n阶矩阵，阶矩阵，设设C为为m n矩阵。矩阵。如果矩阵如果矩阵C中第中第i行第行第j列元素列元素cij

3、是矩阵是矩阵A第第i个行个行向量与矩阵向量与矩阵B的第的第j个列向量的数量积，那么个列向量的数量积，那么C矩矩阵叫做阵叫做A与与B的乘积的乘积.记作：记作：C=AB2.定义的推广定义的推广思考问题的另解思考问题的另解例例1:设设 求：求：(1)AB和和BA；(2)AC和和AD；(3)(BA)C和和B(AC)(4)A(C+D)和和AC+AD；解：解：(1)(2)(3)(4)（1）两矩阵可乘的条件：两矩阵可乘的条件：矩阵矩阵A的列数与矩阵的列数与矩阵B的行数是相等的。的行数是相等的。（2）在数乘中，在数乘中，ab=0a=0或或b=0；在矩阵中，在矩阵中，AB=0 A=0或或B=0（3）在数乘中，在

4、数乘中，ab=ba；在矩阵中，在矩阵中，一般情况下，一般情况下，AB BA（4）在数的乘法中，在数的乘法中，ab=ac且且a 0b=c；在矩阵乘法中，在矩阵乘法中，AB=AC且且A 0 B=C 分配律分配律 AB+AC=A(B+C)(A+B)C=AC+BC 结合律结合律(AB)C=A(BC)5.进一步有进一步有1、将二元一次方程组将二元一次方程组 用矩阵的乘法运算来表示。用矩阵的乘法运算来表示。解：用矩阵乘法运算来表示：解：用矩阵乘法运算来表示：2、已知矩阵已知矩阵 ，矩阵，矩阵 ，求，求AB。解：解：向量向量 经过经过矩矩阵阵A变换为变换为向量向量 。，变换后的向量和原向量关于变换后的向量和

5、原向量关于 对称。对称。直线直线y=x1 当矩阵当矩阵A 的列数与矩阵的列数与矩阵B的行数相同时，的行数相同时，两矩阵可以相乘。两矩阵可以相乘。2 若若C=AB，则矩阵，则矩阵C中第中第i行第行第j列元素列元素cij 是矩阵是矩阵A第第i个行向量与矩阵个行向量与矩阵B的第的第j个个 列向量的数量积。列向量的数量积。3 矩阵的乘法满足结合律和乘法对加法的分配律。矩阵的乘法满足结合律和乘法对加法的分配律。4 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律。一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律。1、必做题：练习册、必做题：练习册P47/3(2)(3)，P48/5(2)，P49/22、思考题：、思考题：(A)练习册练习册P50/4 (B)如果如果AB=BA，矩阵，矩阵B就称为与就称为与A可交换，可交换，设设 ，求所有与，求所有与A可交换的矩阵可交换的矩阵B。3、选做题：用数学归纳法证明：、选做题：用数学归纳法证明：