随机事件和概率 (2).ppt

《随机事件和概率 (2).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机事件和概率 (2).ppt（170页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率1引引 言言 v概率论是研究随机随机现现象象的数量数量规规律律的数学分支.v所谓随机现象，是相对于决定性决定性现现象象而言的.v一定条件下必然发发生生(或出出现现)某一结果的现象称为决定性现象.v例如，在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；v又如在标准大气压下，纯水加热到100时必然会沸腾等等.2v这些条件和结果之间存在着必然联系的现象就是决决定性定性现现象象.3v在自然现象和社会现象中还广泛存在着与决定性现象有着本质区别的一类现象，例如：v当掷一枚硬币时，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上；v每天上午8:009

2、:00记录一个电话交换台收到用户的呼叫次数，可能是0次，1次，2次；v再如，同一门炮向同一目标发射用同一工艺过程生产的炮弹；因为炮弹制造时种种偶然因素对炮弹质量有影响、炮筒位置有差异、空气中气流的变化都影响着弹着点的位置，使弹着点在不同次发射中落在不同的位置.4v这些现象的特点是：v（1）在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果.（2）每一次试验或观察之前，不能完全肯定会出现哪种结果.（3）究竟出现哪种结果，呈现出偶然性.v这种现象称为随机随机现现象象.5v概率论研究随机现象有其独特的方法.v它不是企图追索出现每一结果的物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报在哪些条件

3、下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量观察，揭示其规律性.v例如连续多次掷一枚硬币，随着投掷次数的增加，出现正面的频率(出现正面的次数与投掷次数之比)逐渐稳定于1/2，从而揭示“出现正面”这一结果发生的可能性大小为1/2；v又如多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数等等.6v概率论有悠久的历史，它的起源与赌博问题有关.v16世纪，意大利的学者开始研究掷色子(骰子)等赌博中的一些简单问题，例如比较两个色子出现点数之和为9与10的可能性大小.v17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马(P.de Fermat)及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较

4、复杂的赌博问题，他们解决了“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等.v随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有一种相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展.7v使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利(J.I.Bernoulli)，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率.v随后棣莫弗(A.de Moivre)和拉普拉斯(P.S.Laplace)又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式.v拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了分析的概率理论，明确给出

5、了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段.8v19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.v20世纪初受物理学的刺激，人们又开始研究随机过程.这方面柯尔莫哥洛夫、维纳(N.Wiener)、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒(W.Feller)等人做了杰出的贡献.9v如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了三个世纪.v二十世纪初完成的勒贝格测度(H.L.Lebesgue)与积分理论及

6、随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础.v在这种背景下苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的测测度度论论式式的定义和一套严密的公理体系.他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年概率论的迅速发展起了积极的作用.10v数理统计学是概率论的一个姐妹学科，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.v统计学自古有之，例如人口统计、社会调查等.但它不是现代意义下的数理统计学，只是数据的记录和整理.v数理统计学是随着概率论的发展而发展起来

7、的.v当人们认识到必须把数据看成是来自一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不能局限于数据本身之日，也就是数理统计诞生之时.11v在19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，特别是高斯(C.F.Gauss)和勒让德关于观测数据的误差分析和最小二乘法.v但数理统计学发展成为一门成熟的学科，则是20世纪上半叶的事.v皮尔森(K.Pearson)、费希尔(R.A.Fisher)作出了重大贡献，1946年，克拉默发表的统计学的数学方法是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志.12v数理统计学用到很多近代数学知识，但与其关系最密切的是概率论.v在很大程度上可以说

8、概率论是数理统计的理论基础，数理统计是概率论的一种应用，并且补充和丰富了概率论.它们是两个并列的数学分支，并无从属关系.v目前，概率论与数理统计的理论与方法已广泛的用于自然科学、技术科学、社会科学及人文科学的各个领域.v近年来随着科学技术的迅速发展，它在经济、管理、工程、技术、物理、气象、海洋、地质等领域中的作用愈益显著.13v随着计算机的发展与普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法.v概率论与数理统计向各个领域渗透，产生了许多新的分支和边缘科学，如生物统计、统计物理、数学地质、教育统计等.v同时概率论与数理统计又是许多新的重要学科的基础，如信息论、控制论、排队论、预测

9、论、可靠性理论及人工智能等.v概率论与数理统计，作为理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学分支正日益受到人们的重视并发挥着重大的作用.14第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率v1 1.1 1 随机事件 v1.1.11.1.1 必然现象和随机现象必然现象和随机现象v人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分为两类：一类是必然现象必然现象，或称确定性现象确定性现象；另一类是随机现象随机现象，或称不确定性现象不确定性现象.v必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的.15v必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象.v例如

10、：v在标准大气压下，将纯水加热到100,水必然沸腾；用手向空中抛出的石子，必然下落；作匀速直线运动的物体，如果没有外力的作用，必然继续作匀速直线运动等等，v这些现象都是必然现象.v对这种现象来说，只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的.16v随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象：对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，是无法预言的.v例如：v新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩；向一个目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标；测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量的结果不一定相同等等，v这些现象都是随机现象.17v对随机现

11、象，是否有规律可寻呢？v人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，所得的结果却呈现出某种规律性.v例如：v(1)掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，就会发现正面和反面出现的次数几乎各占1/2.v历史上，蒲丰(Buffon)掷过4040次，得到2048次正面；皮尔逊(K.Pearson)掷过24000次，得到12012次正面.18v(2)对一个目标进行射击，当射击次数不多时，弹孔的分布看不出有什么规律性；v但当射击次数非常多时，就可以发现弹孔的分布呈现出一定的规律性：弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的地方弹孔越密，越远离目标的地方弹孔

12、越稀.19xOy20v(3)从分子物理学的观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果.v由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着地，运动的速度和轨道都是随机的，因而气体分子对器壁也是随机的.v初看起来器壁所受的压力是不稳定的；v可是实验证明，由于分子的数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性.v分子的数目越大，压力就越稳定.21v从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来.这种规律性称为随机现象的统计规随机现象的统计规律性律性.v概率论和数理统计就是研究随机现象统

13、计规律的一门数学学科.22第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率v1 1.1 1 随机事件 v1.1.21.1.2 随机试验与事件、样本空间随机试验与事件、样本空间v对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学实验(为了叙述方便，统称为试验).v例如，掷一枚硬币，观察哪面朝上；v向一个目标进行射击，观察是否命中；v从一批产品中随机抽取一个产品，检查它是否合格；23v向坐标平面内任投一银针，测量此针的针尖指向与x轴正向之间的交角等等；v这些都是试验.通过仔细的分析，可以发现，这些试验具有如下的共同特点：v（a）试验可以在相同的条件下重复进行；v（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是

14、事先已知的；v（c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的.24v如掷硬币的例子，试验是可以在相同的条件下重复进行的，试验的可能的结果有两个，即正面和反面；每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言正面出现还是反面出现.v人们将满足上述（a）、（b）、（c）三个条件的试验，称为随机试验随机试验，简称为试验试验，以字母E来表示.v为了研究随机试验，首先要知道这个试验的所有可能的结果是哪些.v随机试验的每一个可能的结果称为基本事件基本事件，也称作样本点样本点，用字母e表示.25v随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的的样本空间样本空间，

15、记为S.v在讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间。对一个具体的试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定.v下面看几个例子.v例例1 1 掷一枚质量均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是个随机试验.v可能的结果有两个：正(正面朝上)，反(反面朝上).v故样本空间 vS=正，反 26v例例2 2 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验.v可能的结果有四个：v(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).v这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果.v故样本空间vS=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).27v例例3 3 记录

16、某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，这是个随机试验.v它的基本事件(记录的结果)是一个非负的整数，v由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间vS=0,1,2,v例例4 4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命，这是个随机试验.v设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间vS=t|t0.28v例例5 5 观察某个地区一昼夜的最低温度x和最高温度y.v设这个地区的温度不会小于T0也不会大于T1，则样本空间vS=(x,y):):T0 xyT1.29v在试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件随机事件，简称为事件事件，以字母A，B，C，等等来表示.v有了样本空间的概念便可以用集合的语言来定义事件

17、.v下面先从一个例子来分析.30v例例6 6 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这是个随机试验.v在这个随机试验中，若设vA表示事件“第一次出现正面”.v在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现基本事件v(正，正)，(正，反)v中的一个.v这样可以认为A是由(正，正)，(正，反)组成的，而将A定义为它们组成的集合vA=(正，正)，(正，反).31v又如v事件B表示“两次出现同一面”v在一次试验中，B发生当且仅当在这次试验中基本事件v(正，正)，(反，反)v中的一个出现.v这样可以认为B是由(正，正)，(反，反)组成的，而将B定义为它们组成的集合vB=(正，正)，(反，反

18、).32v类似地，事件C=“至少有一次出现正面”，可定义为集合 vC=(正，正)，(正，反)，(反，正).v事件D=“第一次出现反面”，可定义为集合vD=(反，正)，(反，反).v一般地，人们将事件定义为基本事件的某个集合，即样本空间的某个子集，称事件A发生，当且仅当A中的某一个基本事件出现.33v特殊事件v样本空间S和空集作为S的子集也看作事件.v由于S包含所有的基本事件，故在每次试验中，必有一个基本事件e S发生，即在试验中，事件S必然发生；因此,S是必然必然事件事件.v又因在中不包含任何一个基本事件，故在任何一次试验中,永远不会发生；因此,是不可能事件.常用S,分别表示必然事件与不可能事

19、件.v必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但是为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个极端情形来处理.34v再看几个事件的例子v例例7 7 在例3的“记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数”这个随机试验中，若设vA=“呼叫次数不超过三次”，vB=“呼叫次数大于五次”，v则vA=0,1,2,3，vB=6,7,8,.35v例例8 8 在例4的“从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命”这个随机试验中，若设vA=“灯泡的寿命小于五小时”v则vA=t:0t:0t t55.v例例9 9 在例5的“观察某个地区一昼夜的最低温度和最高温度”这个随机试验中，若设vA=“最高温度与最低温度之差不超

20、过10”，v则vA=(x,y):):y x 10，T0 xyT1.36第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率v1 1.2 .2 事件的关系和运算事件的关系和运算 v在实际问题中，往往要在同一个试验中同时研究几个事件以及它们之间的联系.v详细分析事件之间的关系，不仅可以帮助人们更深入地认识事件的本质，而且可以大大简化一些复杂的事件.37v在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间S.S样本空间Sv矩形内的每一点表示样本点e(基本事件).样本点样本点e38v在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间S.Sv用矩形S内的个圆表示事件A.A39v在下面的叙述中，

21、为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间S,矩形内的每一点e表示样本点(基本事件)，并用矩形内的两个圆分别表示事件A和事件B.ABS40v1 1.事件的包含和相等v若事件A中的每一个样本点都属于事件B(图1.1)，SBA图1.1 A Bv则称事件事件B包含包含事件事件A，v记作vABv或vBA.41v显然，这时事件A发生必然导致事件B发生.v故B包含A，也常定义为：“若A发生必然导致B发生，则称B包含A”.42v例如，在1.1节例6将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这个随机试验中，若v设A表示事件“第一次出现正面”C表示事件“至少有一次出现正面”v由于A=(正，正)，(

22、正，反)C=(正，正)，(正，反)，(反，正)v故有AC.43v对任意的事件A，有AS.SAv如果AB,且BA,则称A与B相等,记作A=B.44v2.2.事件的积(或交)v同时属于A和B的样本点的集合(图1.2)，SABAB图1.2 A Bv称为A与B之积积(或交交)，v记作vA Bv或vAB.45v显然，事件AB发生等价于事件A与事件B同时发生，常称AB为A与B同时同时发生的事件发生的事件.46v在1.1节例7的“记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数”这个随机试验中，若设A=“呼叫次数不超过三次”，B=“呼叫次数大于五次”，v则v由于A=0,1,2,3，B=6,7,8,，v从而AB=.

23、47v对任意的事件A，有SA=A；v若AB，则有AB=A.48v3.3.互不相容事件v若AB=，即A与B不能同时发生(图1.3)，SAB图1.3 AB=v则称A与B为为互不相容互不相容的的事件事件(或互斥互斥事件事件).vIncompatible eventsIncompatible eventsv或vMutually exclusive Mutually exclusive eventsevents49v例如，在1.1节例7的“记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数”这个随机试验中，若设A=“呼叫次数不超过三次”，B=“呼叫次数大于五次”，v则v由于A=0,1,2,3，B=6,7,8,，

24、v从而AB=，v因此A与B为互不相容的事件.50v再如必然事件S与不可能事件是互不相容的事件.v如果A1 1,A2 2,An n中的任意两个事件是互不相容的，则称A1 1,A2 2,An n是互不相容的互不相容的.v如果A1 1,A2 2,An n,中的任意两个事件是互不相容的，则称A1 1,A2 2,An n,是互不相容的互不相容的.51v4.4.事件的和(或并)v至少属于A和B二者之一的所有样本点组成的集合(图1.4)，SABAB图1.4 A Bv称为A与B之和(或并并)，v记作vABv或vUnionUnion.52v显然，事件AB发生，表示A发生或B发生或A与B同时发生，即A与B中至少有

25、一个发生.v因此，常称AB为A与B中至少有一个至少有一个发发生的事件生的事件.v若A与B是互不相容的事件，则它们的和AB也记为A+B.53v例如，在1.1节例6的“将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况”这个随机试验中，若设A表示事件“第一次出现正面”，B表示事件“两次出现同一面”，D表示事件“第一次出现反面”，则由于vA=(正，正)，(正，反)B=(正，正)，(反，反)D=(反，正)，(反，反)v故有vAB=(正，正)，(正，反)，(反，反)vA+D=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).54v5.5.事件的差 v包含在A中而不包含在B中的所有样本点组成的集合(图1.

26、4)，SA-BBA图1.5 A-Bv称为A与B之差差，v记作vA B.v显然，事件A B发生，表示事件A发生而发生而B不不发生发生.55v例如，在1.1节例6的“将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况”这个随机试验中，若设A表示事件“第一次出现正面”，B表示事件“两次出现同一面”，C表示事件“至少有一次出现正面”，D表示事件“第一次出现反面”，则由于vA=(正，正)，(正，反)vB=(正，正)，(反，反)vC=(正，正)，(正，反)，(反，正)vD=(反，正)，(反，反)v故有vA B=(正，反)，A C=，A D=A.56v对任意的事件A，有vA A=，vA=A，vA S=.5

27、7v6.6.对立事件vS与A之差差S A(图1.6)，SAA Ac图1.6 A Acv称为A的对立事件对立事件，v记作vAc.v或58v由定义可知，在任意一次试验中，A与Ac不可能同时发生，但它们二者之中必然有一个发生.v因而，Ac就是“A不发生”，且(Ac)c=A，即v显然，若事件A、B满足AB=，AB=S，v则A、B互为对立事件：B=Ac，A=Bc，v即59v此外，对任意两事件A、B有：A B=ABcv即60v事件的和与事件的积可以推广到n个事件及可列无限多个事件上去.v用A1 1A2 2An n或v表示“A1 1,A2 2,An n中至少有一个发生”的事件，称之为A1 1,A2 2,An

28、 n的和和.v当A1 1,A2 2,An n互不相容时，它们的和可以写成A1 1+A2 2+An n或61v用v表示“A1 1,A2 2,An n,中至少有一个发生”的事件，称之为A1 1,A2 2,An n,的和和.v用v表示“A1 1,A2 2,An n同时发生”的事件，称之为A1 1,A2 2,An n的积积.62v用v表示“A1 1,A2 2,An n,同时发生”的事件，称之为A1 1,A2 2,An n,的积积.63v上面利用集合的概念描述了事件的概念、关系及运算，为了将它们与集合论中的相应的部分对照，列表如下.64表 符符 号号 概概 率率 论论 集集 合合 论论 SeAAcABA

29、=BABABABAB=样本空间，必然样本空间，必然事件事件 不可能不可能事件事件 基本事件基本事件(样本点样本点)事件事件 A A的对立事件的对立事件 事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生事件事件A与与事件事件B相等相等事件事件A与与事件事件B至少有一个至少有一个发发生生事件事件A与与事件事件B同时同时发生发生事件事件A发生而发生而事件事件B不发生不发生事件事件A与与事件事件B互不相容互不相容空间空间(全集全集)空集空集 元素元素 子集子集 A的的余集余集 A是是B的的子集子集A与与B相等相等 A与与B的的并集并集 A与与B的的交集交集 A与与B的的差集差集A与与B没有公共元素

30、没有公共元素 65事件与集合的概念、关系及运算对照表符符 号号概概 率率 论论集集 合合 论论SeAAcAB样本空间，必然样本空间，必然事件事件不可能不可能事件事件基本事件基本事件(样本点样本点)事件事件A的对立事件的对立事件事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生空间空间(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的的余集余集A是是B的的子集子集66事件与集合的概念、关系及运算对照表续符符 号号概概 率率 论论集集 合合 论论A=B事件事件A与与事件事件B相等相等A与与B相等相等AB事件事件A与与事件事件B至少有一至少有一个个发发生生A与与B的的并集并集AB事件事件A与与事件事件B同时

31、同时发生发生A与与B的的交集交集A B事件事件A发生而发生而事件事件B B不发生不发生A与与B的的差集差集AB=事件事件A与与事件事件B互不相容互不相容A与与B没有公共元没有公共元素素67v由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得事件的事件的运算性质运算性质如下：v（1）交换律交换律:v AB=BA，AB=BA ；v（2 2）结合律：）结合律：v(AB)C=A(BC)，v(AB)C=A(BC)；68v（3）分配律分配律:v(AB)C=(AC)(BC)，v(AB)C=(AC)(BC)；v（4）对偶原理：）对偶原理：v(AB)c=AcBc，v(AB)

32、c=AcBc；v即v都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发生的对立事件是都不发生.69v对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到更多个事件的情况，即v用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的积，事件积的对立事件等于对立事件的和.70v例例1 1 在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径都必须合格.v设A、B、C分别表示事件“直径合格”，“长度合格”，“产品合格”，则v(a)CA,CB；v(b)Cc,Bc,Ac分别表示“产品不合格”，“长度不合格”，“直径不合格”；v(c)C=AB；v(d)Cc=AcBc；v(e)C=A Bc.71v例例2 2 某射手向一个目标进行三次射击，令v

33、则7273v再看几个事件的例子v例例3 3选择题：v若随机事件A、B满足AB=AcBc 则().v(A)AB=；(B)AB=S；(C)AB=A；(D)AB=B.v（答案：(B)74v解解：由对称性知(C)、(D)不成立，否则两个都成立；若(A)成立，则A=B=，与已知矛盾，故排除法只能选(B).v事实上，由于v故7576概率论与数理统计第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率77v将一颗构造均匀的色子投掷一次，求事件A=“掷得奇数点”，B=“掷得偶数点”，C=“掷得么(幺)点”的概率.v解解 因样本空间S=1,2,3,4,5,6，事件A=1,3,5，B=2,4,6，C=1，故P(A)=3/6=

34、1/2，v同理P(B)=1/2，P(C)=1/6.78第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率v1 1.3 3 古典概率古典概率v当做一个随机试验时，常常会发现有些事件出现的可能性大些，有些事件出现的可能性小些，有些事件出现的可能性彼此大致相同.v事件出现的可能性的大小，是客观存在的，它揭示了这些事件的内在的统计规律.v在生产实际中，了解和掌握事件发生的可能性的大小是有重要意义的.79v例如，知道了某电话交换台在24小时内出现某些呼唤次数的可能性的大小，就可以根据要求，合理地配置一定的线路设施以及管理人员等.v为了研究事件发生的可能性的大小，就需要用一个数字来描述这种可能性的大小，人们就把刻

35、画这种可能性大小的数值叫做事件的概率.v事件A，B，C，的概率分别用P(A)，P(B)，P(C)，v来表示.v由此可知，概率是随机事件的函数.80v对于一个给定的事件，概率到底是一个什么数？怎样求？v下面先对一种最简单的情况加以讨论.81第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率v1 1.3 3 古典概率古典概率v1 1.3 3.1 1 古典概率的定义与计算古典概率的定义与计算 v先看一个简单的例子，投掷一枚均匀的硬币，考虑出现正面和出现反面这两个事件的概率.v由于硬币是均匀的，因而出现正面和出现反面的可能性是一样的.故人们有理由认为出现正面和出现反面这两个事件的概率都是1/2.82v这个例子

36、具有下面两个特点：v()样本空间包含的基本事件的个数是有限的；v()每个基本事件发生的可能性是相等的.v第一个特点是显然的；v第二个特点，严格说来，是很难具备的.v因为实际的硬币两面的花纹不同，凹凸分布不同，故硬币不是绝对均匀对称的.v不过花纹、凹凸这些因素对出现正面或反面的影响很小，可以把它们忽略，而认为出现正面和出现反面是等可能的.83v具有上述两个特点的试验，叫做古典概型试验，它是概率论初期研究的主要对象，一般有下面的定义.v定定义义1 1.1 1 设E是一个随机试验，若它的样本空间S满足下面两个条件：()只有有限个基本事件；()每个基本事件发生的可能性是相等，v则称E为古典概型的试验古

37、典概型的试验.v在古典概型的情况下，事件A的概率定义为84v在古典概型的情况下，事件A的概率定义为 P(A)=A所包含的基本事件个数/S所包含的基本事件总数 =#(A)/#(S)(1.3)v即v用这个公式计算古典概率时，必须计算样本空间中的基本事件总数以及事件A中包含的基本事件的个数.这种计算常常要用到排列与组合的知识.85v排列与组合 v1 1.两个基本原理 v(a)加法原理v完成一件事，有两类不同的办法.在第一类办法中有m种方法，在第二类办法中有n种方法，两类办法中的每一中方法都能完成这件事，那么完成这件事共有m+n种不同的方法.v(b)乘法原理v完成一件事，必须通过两个步骤.第一步骤有m

38、种方法，第二步骤有n种方法，那么完成这件事共有mn种不同的方法.86v显然，加法原理、乘法原理这两条原理可以推广到多个过程的场合.v2 2.排列 v(a)有重复排列v从n个不同的元素中，每次取m个元素按一定顺序排成一列，并且每个元素可以重复抽取(列如有放回的抽取：取一个后，放回去，再取一个，然后又放回去，这样进行m次)这样的排列叫做有重复排列.v所有不同的排列个数为N=nm(这里的m可以大于n)87v(b)无重复排列v从n个不同的元素中，每次取m(mn)个元素按一定顺序排成一列，每个元素不能重复.这样的排列称为无重复排列.v所有不同的排列个数为Pnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)v当m

39、=n时,式Pnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)变为Pnn=n(n-1)(n-2)3*2*1=n!vPnn称为n个元素的全排列数，而Pnm(m0).向平面任意投一长为l(l0），两个信号等可能的进入收音机，如果这两个信号的时间间隔小于(0T)，收音机会受到干扰，则收音机受到干扰的概率P(A)为().v答案：162v解解：设x,y分别表示两个信号进入收音机的瞬间，则x,y的全部可能值区域D=(x,y)|0 xT,0yT,v其面积v当|x-y|时，收音机受到干扰，即事件A发生，有利于A发生的样本点的集合是D子区域D1 1(如图阴影)，其面积163yTO Txx-y=y-x=y=xSA164v依几何概率公式165v例例2 2 将一段长为a的木棒随机地截成三段，求三段能构成三角形的概率？v解解：设A表示“三段能构成三角形”，设其中两段的长分别为x,y则另一段长为a x y，从而0 xa，0ya，0 x+ya v它们确定了平面区域S(如图).v事件A发生的充分必要条件是0 xa/2，0ya/2，a/2x+yav它们确定了区域S的子区域A(如图阴影)，166yaOaxy+x=aS167yaOaxy+x=aS a/2 a/2y+x=a/2A168yaOaxx=a/2y+x=ay=xSA a/2 a/2y=a/2y+x=a/2169v依几何概率公式170