证明两条直线互相垂直.ppt

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1、4 4、证明两条直线互相垂直、证明两条直线互相垂直证明两条直线垂直的常用定理：证明两条直线垂直的常用定理：（1）两直线相交成直角，则两直线垂直）两直线相交成直角，则两直线垂直.（2）邻补角的两角的平分线互相垂直）邻补角的两角的平分线互相垂直.（3）在同一三角形中，有两角互余，则第三角必是直）在同一三角形中，有两角互余，则第三角必是直角角.（4）等腰三角形三线合一）等腰三角形三线合一.（5）圆的切线垂直于过切点的半径）圆的切线垂直于过切点的半径.（6）勾股定理逆定理）勾股定理逆定理.（7）平分弦（非直径）的直径垂直于弦）平分弦（非直径）的直径垂直于弦.（8）菱形的对角线互相垂直）菱形的对角线互相

2、垂直.证明两条直线垂直的常用方法：证明两条直线垂直的常用方法：（1）利用垂直的定义证明）利用垂直的定义证明例例1 已知已知C是线段是线段AB上的一点，上的一点，AD/BE,AD=AC,BE=BC.求证：求证：DCCEACBED123欲证两直线垂直，可证两直线相交成直角欲证两直线垂直，可证两直线相交成直角.（2 2）利用补角的两角平分线互相垂直证明）利用补角的两角平分线互相垂直证明例例2（同例（同例1）ACBED1234G欲证两直线垂直，可证这两直线分别为邻补角的平分线欲证两直线垂直，可证这两直线分别为邻补角的平分线.（3 3）利用三角形内角和定理证明）利用三角形内角和定理证明例例3 已知在梯形

3、已知在梯形ABCD中中AB/CD,AB+CD=BC,O是是AD的中点的中点.求证：求证：OBOC.ABCDOE1234欲证两直线互相垂直，可证同一三角形中的另两个角的和等于欲证两直线互相垂直，可证同一三角形中的另两个角的和等于这两条直线相交所成的角这两条直线相交所成的角.（4 4）利用等腰三角形性质证明）利用等腰三角形性质证明例例4 四边形四边形ABCD中，中，ABC=ADC90，点，点M、N分别是对角线分别是对角线AC、BD的中点的中点.求证：求证：MN BD.ABCDMN等腰三角形三线合一，欲证两直线互相垂直，如题设中有等腰等腰三角形三线合一，欲证两直线互相垂直，如题设中有等腰三角形（或隐

4、含等腰三角形），常可通过等腰三角形三线合一三角形（或隐含等腰三角形），常可通过等腰三角形三线合一来证明来证明.（5）利用特殊平行四边形性质证明）利用特殊平行四边形性质证明例例5 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=2AD，AE=AD=DF，CE、BF分别交分别交AB、CD于于G、H.求证：求证：BHCG.ABCDEFGH123欲证两直线互相垂直，如果这两直线分别是四边形对角线所在欲证两直线互相垂直，如果这两直线分别是四边形对角线所在直线，常可证明这个四边形为菱形直线，常可证明这个四边形为菱形.（6 6）利用切线的性质证明）利用切线的性质证明例例6 已知已知AB是是 O的直径，的直径，

5、CD切切 O于于E，CA、DB都是都是 O的切线，的切线，AD、BC相交于相交于M，EM延长线交延长线交AB于于F.求证：求证：EFABABOCEFDM1、遇到圆的切线，常想到切线的性质和切线长定理、遇到圆的切线，常想到切线的性质和切线长定理 2、欲证一直线垂直于另一直线，可证这条直线平行于垂直另一、欲证一直线垂直于另一直线，可证这条直线平行于垂直另一直线的直线直线的直线.5 5、证明线段的和差倍分、证明线段的和差倍分证明线段和差倍分的常用定理证明线段和差倍分的常用定理（1 1）三角形中位线等于第三边的一半）三角形中位线等于第三边的一半.（2 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）直角三角

6、形斜边上的中线等于斜边的一半.（3 3）直角三角形中，）直角三角形中，3030角所对的边等于斜边的一半角所对的边等于斜边的一半.（4 4）相似三角形对应边成比例，平行线分线段成比例）相似三角形对应边成比例，平行线分线段成比例.（5 5）三角形中线被重心分成）三角形中线被重心分成2 2：1.1.（6 6）梯形中位线等于两底和的一半）梯形中位线等于两底和的一半.证明线段的和差倍分的常用方法证明线段的和差倍分的常用方法（1 1）直接利用定理证明）直接利用定理证明例例1 已知在已知在ABC中，中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线分别的垂直平分线分别交交BC、AB于点于点M、N求证：求证：CM=

7、2BM.ABCMN1D2欲证一线段是另一线段的两倍，如果条件中有直角三角形，常欲证一线段是另一线段的两倍，如果条件中有直角三角形，常想到直角三角形的性质想到直角三角形的性质.ABCMN1231 1、欲证一线段为另一线段的两倍，常可把较长线段分成两段，、欲证一线段为另一线段的两倍，常可把较长线段分成两段，证明其分别等于另一条线段的长证明其分别等于另一条线段的长.2.2、条件中有一直线过一线段、条件中有一直线过一线段中点时，常想到平行线分线段成比例中点时，常想到平行线分线段成比例.（2 2）利用延短等长法证明）利用延短等长法证明例例2 已知已知E是正方形是正方形ABCD的的BC边上一边上一点，点，

8、F是是 DAE的平分线与的平分线与CD的交点的交点.求证：求证：AE=FD+BE.ABCDFEG12345欲证一线段等于两线段之和，常可作两短线段之和，证明其等欲证一线段等于两线段之和，常可作两短线段之和，证明其等于较长线段于较长线段.（3 3）利用代数方法推算）利用代数方法推算例例4 已知已知AB/CD,E、F分别为分别为BC、AD的中点的中点.求证：求证：ABCDEFGH1 1、欲证一线段等于两线段之差，可设法先作出两线段之差、欲证一线段等于两线段之差，可设法先作出两线段之差.2 2、欲证一线段为另一线段的一半，常想到三角形的中位线的性质、欲证一线段为另一线段的一半，常想到三角形的中位线的

9、性质.6、证明角的和差倍分、证明角的和差倍分证明角的和差倍分常用定理：证明角的和差倍分常用定理：（1）三角形的外角等于它的两个不相邻的内角之和）三角形的外角等于它的两个不相邻的内角之和.（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.（3）一直角三角形的斜边为短直角边的两倍，则短直角边）一直角三角形的斜边为短直角边的两倍，则短直角边所对的角为另一锐角的一半所对的角为另一锐角的一半.（4）菱形对角线平分一组对角）菱形对角线平分一组对角.证明角的和差倍分举例证明角的和差倍分举例例例1 1 在在ABCABC中，中，B BC,ADC,AD是高，是高，ATAT是

10、是 A A的平分线的平分线.求证：求证：TADABCDT123如果条件中有垂线，常隐含着直角三角形条件，而直角三角形如果条件中有垂线，常隐含着直角三角形条件，而直角三角形两锐角互余是证角的和差倍分时建立两角联系的常用桥梁两锐角互余是证角的和差倍分时建立两角联系的常用桥梁.例例2 已知已知MN/PQ,ACPQ,BD和和AC交交于于E，且，且DE2AB.求证：求证：ABDMNCPQGE1234题设中的平行线、垂线等都隐含着角与角的关系，要注意联想，题设中的平行线、垂线等都隐含着角与角的关系，要注意联想，找出角之间的关系找出角之间的关系.例例3 已知已知A的平分线交的平分线交BC于于F，C的平分线交

11、的平分线交A的平分线于的平分线于E.求证：求证：ABCDEFG欲证一角等于两角之和（或差）的一半，常分别从不同的途径欲证一角等于两角之和（或差）的一半，常分别从不同的途径找出这角与已知两角的关系，再用代数方法进行计算找出这角与已知两角的关系，再用代数方法进行计算.7、证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差、证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差证明有关成比例线段常用的定理：证明有关成比例线段常用的定理：（1）相似两三角形的对应边成比例）相似两三角形的对应边成比例.（2）平行于三角形一边的直线截其它两边（或延长线）所成对）平行于三角形一边的直线截其它两边（或延长线）所成对应线段成比例应线段成

12、比例.（3）在）在RtABC中，若中，若A=90，ADBC，则，则 AD2=BDCD；AB2=BDBC;AC2=CDBC.（4）勾股定理）勾股定理.（5）等底（等高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）等底（等高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比之比.（6）相似三角形面积之比等于相似比的平方）相似三角形面积之比等于相似比的平方.证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差的常用方法证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差的常用方法（1）利用相似三角形证明）利用相似三角形证明例例1 已知在已知在ABC中，中，AB=AC，点，点D、E、F分别在分别在BC、AB、AC上，上，EDF=B.求证

13、：求证：BDCD=BECF.ABCEDF1231、欲证两线段的积等于另两线段的积，常将等积式改写成比例式，、欲证两线段的积等于另两线段的积，常将等积式改写成比例式，证比例线段证比例线段.而利用相似三角形证明比例线段是常用的方法而利用相似三角形证明比例线段是常用的方法.2、当四条线段恰好两两分布在以它们为边的两个三角形中时，欲、当四条线段恰好两两分布在以它们为边的两个三角形中时，欲证它们成比例，应考虑证明这两个三角形相似证它们成比例，应考虑证明这两个三角形相似.3、为确定哪两个三角形相似，常可用三点定形法进行观察、为确定哪两个三角形相似，常可用三点定形法进行观察.例例2 已知在已知在ABC中，中

14、，A=90，内接正方形，内接正方形DEFG的边的边DE与与BC重合重合.求证：求证：DE2=BDEC.ABCDEFG欲证一线段为另两线段的比例中项，常可通过相似三角形证明欲证一线段为另两线段的比例中项，常可通过相似三角形证明.当用三点定形法确定两三角形有困难时，常利用线段的等量待换当用三点定形法确定两三角形有困难时，常利用线段的等量待换来证明来证明.例例3 已知已知AD是是RtABC的斜边的斜边BC上的上的高，高，E是是CB延长线上的点，且延长线上的点，且 EAB=BAD.求证：求证：BD：DC=AE2：EC2.AECBD在证明成比例线段时，如条件中有母子直角三角形，常想到射影在证明成比例线段

15、时，如条件中有母子直角三角形，常想到射影定理定理.例例4 已知已知ABC中，中，D为为BC上一点，上一点，AD=BD，ADC=80，C=60.求证：求证：AC2-CD2=CDAD.ABCD较复杂的线段的平方或积的和差问题，往往是成比例线段问题较复杂的线段的平方或积的和差问题，往往是成比例线段问题的发展，可以以相应的成比例线段为基础，进行必要的等量代的发展，可以以相应的成比例线段为基础，进行必要的等量代换换.2、利用平行线分线段成比例定理证明、利用平行线分线段成比例定理证明例例5 已知已知F是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边BC延延长线上一点，长线上一点，AF交交BD于于E，交，交DC于于

16、G.求证：求证：AE2=EFGEABCDEGF在证成比例线段时，若条件中有平行线，常想到利用平行线分线在证成比例线段时，若条件中有平行线，常想到利用平行线分线段成比例定理段成比例定理.若两线段之比不能和另两线段之比直接建立联系，若两线段之比不能和另两线段之比直接建立联系，常通过中间比进行过渡常通过中间比进行过渡.例例6 已知已知AD是是ABC的中线，任一的中线，任一直线直线CEF分别交分别交AD、AB于于E、F.求求证：证：ABCEFDG在证成比例线段时，如果条件中有三角形一边的中点，常想到在证成比例线段时，如果条件中有三角形一边的中点，常想到三角形中位线定理及逆定理三角形中位线定理及逆定理.

17、添适当的平行线是产生、转换比例添适当的平行线是产生、转换比例线段的重要方法线段的重要方法.例例7 已知四边形已知四边形ABCD中，中，B=D=90 ，P是是AC上一点，上一点，PE CB于于E，PF AD于于F.求证：求证：ABCDPFE 欲证线段比的和（或差）等于常值，常把已知线段比转换成欲证线段比的和（或差）等于常值，常把已知线段比转换成在一条直线上的线段所组成的比，然后进行计算在一条直线上的线段所组成的比，然后进行计算.而连接这一转而连接这一转化的桥梁，往往是平行线或相似三角形化的桥梁，往往是平行线或相似三角形.例例8 已知已知ABC=120，BD是是ABC的平分的平分线线.求证：求证：

18、ABCDE12345（3 3）利用勾股定理证明）利用勾股定理证明例例9 已知在已知在ABC中，中，AB=AC，DE/BC,DE与与AB、AC交于交于D、E.求证：求证：EB2CE2=BCDEABCDEMHK8 8、证明面积相等、证明面积相等证明面积相等常用定理：证明面积相等常用定理：（1）等底等高的两三角形（或平行四边形）面积相等）等底等高的两三角形（或平行四边形）面积相等.（2）等底（等高）的两个三角形的面积之比等于高（底）之）等底（等高）的两个三角形的面积之比等于高（底）之比比.（3）相似三角形面积之比等于相似比的平方）相似三角形面积之比等于相似比的平方.（4）全等三角形的面积相等）全等三角形的面积相等.