基本初等函数图像及性质小结.doc

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1、整理为高等数学小结的基本初等函数1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性 复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。3.每个函数的图像很重要. 幂函数 (a 为实数)定义域：随 a 的不同而不同，但无论 a 取什么值，xa 在内总有定义。值域：随 a 的不同而不同有界性：单调性：若 a0,函数在 内单调增加； 若 a1 函数单调增加；若 0a1 时，函数单调增加；0a1 时，函数单调减少奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线 x=0 为函数图形的铅直渐近线e=2.7182，无理数 经常用到以 e

2、 为底的对数- 3 -整理. 三角函数 强调：图像正弦函数：定义域： 值域：-1,1有界性：-1,1 有界函数单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以 为周期的周期函数；余弦函数：定义域： 值域：-1,1有界性：-1,1 有界函数单调性：奇偶性：偶函数- 4 -整理周期性：正切函数：定义域： 值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：- 5 -整理余切函数：，定义域： 值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，. 反三角函数反正弦函数：定义域： -1,1 值域：有界性：- 6 -整理单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：反余弦函数 ： -定义域 值域：定义域： -1,

3、1 值域：有界性：单调性：单调减少奇偶性：周期性：- 7 -整理反正切函数： -定义域定义域： 值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：反余切函数 -定义域定义域： 值域：有界性：- 8 -整理单调性：单调减少；奇偶性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。（1）指数式与对数式的性质- 9 -整理由此可知 ，今后常用关系式 ，如：（2）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(

4、cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化积sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)函数周期性：R) 的函数的周期为 T=2/0, x形如 y=Asin(x+) 或 y=Acos(x+) (A,为常数,A周期函数性质：- 10 -（1）若 T（0）是 f(X)的周期，则-T 也是 f(X)的周期。（2）若 T（0）是 f(X)的周期，则 nT（n 为任意非零整数

5、）也是 f(X)的周期。（3）若 T1 与 T2 都是 f(X)的周期，则 T1T2 也是 f(X)的周期。（4）若 f(X)有最小正周期 T*，那么 f(X)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。（5）T*是 f(X)的最小正周期，且 T1、T2 分别是 f(X)的两个周期，则 （Q 是有理数集）（6）若 T1、T2 是 f(X)的两个周期，且 是无理数，则 f(X)不存在最小正周期。（7）周期函数 f(X)的定义域 M 必定是双方无界的集合。其他周期函数（非三角函数）Dirchlet 函数D(X)=1 X 为有理数时0 X 为无理数时复指数函数：y=e(jwt),其中 j 为虚数单位，w 为任意实数，t 为自变量。重要推论1，若有 f(x)的 2 个对称轴 x=a,x=b.则 T=2|a-b|2，若有 f(X）的 2 个对称中心（a,0）(b,0)则 T=2|a-b|3,若有 f(x)的 1 个对称轴 x=a,和 1 个对称中心(b,0)，则 T=4|a-b|- 11 -