概率论与数理统计答案_浙江大学主编.docx

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1、第一章概率论的基本概念注意：这是第一稿(存在一些错误)1 解：该试验的结果有 9 个：(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c).所以，(1)试验的样本空间共有9个样本点。(2)事件A包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身 体健康者。即A所包含的样本点为(0, a), (1, a), (2, a),(3)事件B包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有 病者。即B所包含的样本点为(0, a), (0, b), (0, c).2、解(1)abJ

2、bcJac.abcJabcJabcJabc ；(2)abJbcJac(提示：题目等价于.，B, 3至少有2个发生，与(1)相似)；(3)abcJabcJabc；(4)或 ABC；(提示：A, B, 3至少有一个发生，或者A, B,。不同时发生)：3错。依题得P(AB)=P(A)+P-p(AU8)= 0,但APIB#空集，故a、B可能 相容。(2)错。举反例(3)错。举反例(4)对。证明：由。5)=。-6 , P(B)= 0.7 知p(AB)= p(A)+ p(B)- p(A U B)= 1.3 p(A U B)0.3，即4和 b 交非空，故 A 和 B 定相容。4、解(1)因为A, B不相容，

3、所以A, 3至少有一发生的概率为：P(A|J B) = P(A) + P(B)=0.3+0.6=0.9(2) 4 B都不发生的概率为：P(/lUfi) = l-P(AUB) = 1-0.9 = 0.1：(3) A不发生同时8发生可表示为：Apjfi,又因为A, 8不相容，于是P(Ap|B) = P(B) = 0.6；5 解：由题知 P(AB U AC U BC)= 0.3 P(ABC)= 0.05因 p(AB U AC U BC) = p(AB)+ p(AC)+ p(BC)- 2p(ABC)得，p(AS)+p(AC)+p(SC)= 0.3 + 2p(ASC)=0.4故A,B,C都不发生的概率为

4、曲胫)=1- p(aUbUc)=1- Kp(A)+ p+ p(c)- P(AB)+ P(AC)+ p(BC)+ p(ABC)= 1-(1.2-0.4+ 0.05)= 0.156、解 设4 = “两次均为红球” , B= “恰有1个红球”, C = “第二次是红球”Q7若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：,抽不到红球的概率是：,则 1010Q O(1) P(A) = X = 0.64；10 10OQ(2) P(B) = 2x x(l )=0.32； 1010(3)由于每次抽样的样本空间一样，所以：QP(C) = = 0.810若是不放回抽样，则尸=型；45(2) P呼的C 45,、c/小 a!a

5、+aa! 4(3)尸(C) = 3 72至=一。Ao 57解：将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点，则样本空间共有30!个样本点。(1)把两个“王姓”学生看作-整体，和其余28个学生一起排列共有29!个样本点，而两个“王姓”学生也有左右之分，所以，两个“王姓”学生紧挨在一起共有229!个样本点。229!1即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为30!15。(2)两个“王姓”学生正好一头一尾包含228!个样本点，故2-28!1两个“王姓”学生正好一头一尾的概率为30!435 8,解(1)设4 = “1红1黑1白”,则安上；C； 35(2)设8=“全是黑球”,则r3 1尸=4=一；C； 35(

6、3)设。=第1次为红球，第2次为黑球，第3次为白球,则 %)=辽=2。7!359解：设4=悌1号车配对, i = 12,9若将先后停入的车位的排列作为一个样本点，那么共有史个样本点。由题知，出现每一个样本点的概率相等，当A发生时，第i号车配对，其余9个号可以任意 排列，故P&.(2) 1号车配对，9号车不配对指9号车选28号任一个车位，其余7辆车任意排列，共有 77个样本点。故(A讣 2仅出44)= p(4A8|AA)p(A4), p(4a81A4)表示在事件：已知1号和 9号配对情况下，28号均不配对，问题可以转化为28号车随即停入28号车位。记 B, = 第i+1 号车配对, i = l,

7、2,.,7o则 pW 41A4)= p(bi-b7)=i-p(bi U-Ufi7)由上知，PP(“君=加“/如P(4 当)=1tJ-7!。则0, P0 ,即p（A）p0,故P（A8）/P（A）P（8）,即a,B不相互独立。与已知矛盾，所以A,B相容。（2）可能对。证明：由P（A）=0-6 P（5）= 0.7知p（AB）= p（A）+ p（B）-p（AUB）=1.3-p（AUB）0.3p p =0.6 x 0.7 = 0.42P（A8）与p（A）p（B）可能相等，所以A B独立可能成立。（3）可能对。对。证明：若A,B不相容,则P（A3）= 0。而P（A）0, P0,即p（A）p0, 故P（M*

8、Ma）P（8）,即a,B不相互独立。18、证明：必要条件由于A, 8相互独立，根据定理152知，A与5也相互独立，于是:P(A IB) = P(A), PA IB) = P(A)即 P(A I B)= P(A I 初充分条件由于P(AIB) = 辿及P(AI后)=P(B)P(AB)P(B)陪穿结合已知条件成立P(A5) _ P(A)-P(A8)P(B) - l-P(B)化简后，得：P(AB) = P(A)P(B)由此可得到，A与8相互独立。20、解设A,分别为第i个部件工作正常的事件，8为系统工作正常的事件，则P(4)= p,(1)所要求的概率为：a = P(B) = P(AlA2A,jAiA

9、2A4jAiAA4jA2AiA4)= P(A,A2A3)+P(Ai12A4) + P(A1A(A4) + P(A2A34)-3P(A1VA3A4)=PlP2P3 + P1P2P4 + PlP3P4 + P2P3P4 - 3Plp2P3P4(2) 设C为4个部件均工作正常的事件，所要求的概率为：尸=P(C I 8) = PlP2P3P2。a(3) y = C；a?(l a) o 21解.记6 = 第i次出现正面 i = l,2n p(4) = p(G c,_)= p(cJP(C-i)p(G ) = p(i - p)” pM = p(G c2c3c4)+p(c,c2c3c4)= p2(i-p)(2

10、)MG 畸*，)(3)*)=嚅P，(1-P)= D p2(l-p)22、解设A =照明灯管使用寿命大于1000小时, B =照明灯管使用辱命大于2000小时, C=照明灯管使用寿命大于4000小时,由题意可知P(A) = 0.95, P(5) = 0.3, P(C) = 0.05(1) 所要求的概率为：P(CA) =P(ACP(A)0.05 _ 1 K95 -I?(2)设A,分别为有i个灯管损坏的事件(i = 0,l,2,3)，a表示至少有3个损坏的概率, 则p(4)= p(8)=(O.3)10 = 0.0000059P(4)= C： P 7 (1- P(B) = 0.0001378P(4)=

11、 Gj P(B)(1- P(B)2 = 0.0014467所耍求的概率为：a = l- P(&)-P(A,) - P(4) = 0.998423解：设4=系统能正常工作, B = 系统稳定, C = 系统外加电压正常,则 p(C)= 0.99 p(B|C)=0.9 P(B|C)= 0.2 p05)= 0.8 /丽)=0.9()P(A)= P(A忸)p(B)+ p(A|B)p(B)=ps)p(叫 c)p(c)+ p(b|c)p(c)+ i- p(乖)p 舸 c)p(c)+ p(b|c)p(c)=0.8 x(0.9 X 0.99 + 0.2 x 0.01)+(1- 0.9)x (1- 0.9)x

12、0.99 + (1-0.2)x 0.011=19(2)记4 = 第i个元件正常工作，则p(A)=而p(4 UU4)=1 - p(4 4)= l-p(A).p(4) 0.9984第二章随机变量及其概率分布注意：这是第一稿(存在一些错误)1解：X取值可能为2,3,4,5,6,则X的概率分布律为：=2)=高=/p(X=3)+ = *妙二 9P(X =4)= 丁 =/p(X=5)专综P(X =6) = -r = y。2、解(1)由题意知，此二年得分数X可取值有0、1、2、4,有P(X =0) = 1-0.2 = 0.8p(x =l) = 0.2x(l-0.2) = 0.16 9P(X =2) = 0.

13、2 X 0.2 X (1-0.2) = 0.032fP(X =4) = 0.2x0.2x0.2 = 0.008从而此人得分数X的概率分布律为：x o 124P 0.80. 160.0320.008(2)此人得分数大于2的概率可表示为：P(X 2) = P(X = 4) = 0.008 .t(3)已知此人得分不低于2,即XN2,此人得分4的概率可表示为:P(X = 41X2 2) =P(X =4)P(X 2)0.0080.032 + 0.0083解：(1)没有中大奖的概率是P|=(i-i(r7)；(2)每一期没有中大奖的概率是n期没有中大奖的概率是p2 = pn=(l-10-7)，1) = 1-

14、P(X 1) = 1-P(X = 0) = 1-(1-0.51)3 = 0.8824；(2)恰有1名男婴的概率可表示为：P(X =l) = C；0.51x(l-0.51)2 =0.3674：(3)用a表示第1,第2名是男婴，第3名是女婴的概率，则a=0.512x(l-0.51) = 0.127 ；(4)用尸表示第1,第2名是男婴的概率，则夕= 0.512 =0.260。5解：X取值可能为0,1,2,3； Y取值可能为0,123p(x = 0)= (l-p,)(l-p2)(l-p3),= 1) = p, (1-p2)(l -/?3) +p2 (1-)(1-p3)+/?3(l-p, )(1-p2)

15、,P(X = 2)=P42(1-P3)+P|P3(1-P2)+P3P2(1-PJ，P = 3)=P|P2P3。Y取每一值的概率分布为：p(y = o) = Pi，p(y= i)=(i-pjp2，p(y=2)=。一 pJ(iP2)P3，p(y=3)=(i-p,)(i-p2)(i-p3).6、解由题意可判断各次抽样结果是相互独立的，停止时已检查了 X件产品，说明第X次抽样才有可能抽到不合格品。X的取值有1、2、3、4、5,有p(x =k) = p(l-p)J,k = 1,2,3,4,P(X=5) = (l-p)4；(2)尸(X 4 2.5) = P(X =1) + P(X =2) = p + p(

16、l-p) = p(2-p)。7 解：(1) a = (l-0.1)3 0.12 + /(1-0.1)4 0.1+ /(l-O.l)5 =0.991,夕=1一额.23(1-0.2y+ ；o240_o.2)+ /0.25 =0.942 o(2)诊断正确的概率为p = 0.7a+ 0.34=0.977。(3)此人被诊断为有病的概率为p = 0.7a + 0.3(l-夕)= 0.7。7、解(1)用X表示诊断此人有病的专家的人数，X的取值有1、2、3、4、5。在此人有 病的条件下，诊断此人有病的概率为：a = P(X N3) = P(X =3) + P(X =4) + P(X =5)= C(l-0.1)

17、30.12+C/(l-0.1)40.1 + Cs(l-0.1)5 = 0.991在此人无病的条件下，诊断此人无病的概率为：P=P(X 3) = P(X =O) + P(X =1) + P(X =2)=C；(l - 0.2)5+ C；(1 - 0.2)4 0.2+ C；(1-0.2)3 Q 22 =0.942(2)用/表示诊断正确的概率，诊断正确可分为两种情况：有病条件下诊断为有病、无病 条件下诊断为无病，于是：7 = 0.7a+ 0.3 = 0.977；(3)用表示诊断为有病的概率，诊断为有病可分为两种情况：有病条件下诊断此人为有 病、无病条件下诊断此人为有病，于是：/7 = O.7a + O

18、.3x(l - 0 = 0.711；8、解用A表示恰有3名专家意见一致，5表示诊断正确的事件，则P(AB) = 0.7 x P(X = 3)+0.3 x P(X = 2) = 0.112P(A) = 0.7 xP(X =3KX =2)+ 0.3 xP(X =2nJcX =3) = 0.1335所求的概率可表示为：P(8IA) = = 0.842P(A)9解：(1)山题意知，候车人数乂 =攵的概率为p(X =%) = -,k .则 p(X=O) = e-从而单位时间内至少有一人候车的概率为p = l-eT,所以l-e7 =l-e4解得4 = 4.5则 p(X=D = J :-。 k!所以单位时间

19、内至少有两人候车的概率为p = l p(x =0)-p(x =l) = l-5.5e5。z 、 0-323 24(2)若;1 = 3.2,则 p(X=&) = 3 2则这车站就他一人候车的概率为P =峭 O10、解 有题意知，X 乃(力)，其中；1 = *(1) 10： 00至12： 00期间，即f = 120,恰好收到6条短信的概率为:zv q-(-6)6 324 /r(X = 6) =e = U.lol ；6!6!5(2)在10： 00至12： 00期间至少收到5条短信的概率为：4P(X N5) = 1-P(X 5) = 1-ZP(X =&)k=01 t1 1 IS/=1 / = 1 1

20、ijek=o k!于是，所求的概率为：324P(X =61X2 5)=?o5(？-115)11、解：由题意知，被体检出有重大疾病的人数近似服从参数为/l = p = 3000x!= 3 1000/、 e3 3k的泊松分布,即 p(X=*) =, k =0,1,2,0k.则至少有2人被检出重大疾病的概率为p = l-p(X =0)-p(X =l) = l-e-3-3e-3 0.801 oF(x) = P(X x) = x222x 112、解（1）由于P0X41） + P（2WX43） = ； + ； = l,因此X的概率分布函数为: 0xl1 x2 ,2x 32 5-13(2) PX2.5 =

21、=- = -2413、解： 由1/（xx= 0（4-/蛆=1解得c =：（2）易知 xWO 时，F（x） = 0； xN2 时，F（x） = l；当0尤2时，*x）=门（y总 q f（4_y2,）,=（J；6人）0,x0,(12x-x3)所以，X的分布函数为F(x) =L, 0x2.(3) p(-lX l) = F(l)-F(-l) = F(l) = joll216(4)事件-1X恰好发生2次的概率为p=p(-lX l)2(l-p(-lX i)3 = 14、解（1）该学生在7： 20过X分钟到站，XU（0,25）,由题意知，只有当该学生在 7： 20-7： 30期间或者7： 40-7： 45期

22、间到达时，等车小时10分钟，长度一共15分钟，所 以：153P该学生等车时间小于10分钟=PX 10=- = -；（2）由题意知，当该学生在7： 20-7： 25和7： 357： 45到达时，等车时间大于5分钟又 小于15分钟，长度为15分钟，所以：153P该学生等车时间大于5分钟又小于15分钟=P5X 5 其中该学生乘上7:30的班车且*5=(=(,PX5=彳 =1，于是IP该学生乘上7:30的班车IX5=1 = 。4 4515、解：由题知，X服从区间(-1,3)上的均匀分布，则X的概率密度函数为o,其他。3 在该区间取每个数大于0的概率为一，则4p/ = 2 = (；) k =0,1,2,

23、，。16、解(1)P(X 2.5) = P- =尸 -2.5)a aa=1- -2.5) = 1-(-2.5) a= 0(2.5) = 0.9938(2)P(X 3.52) = 52-) = p(zZ -1.48)tr cra= 0(-1.48) = 1-0(1.48)= 1-0.9306 = 0.0694(3)n. . v il n/4 X6-/7. X ,P(4 X 6) = P( )=P(-l 170) = 17 )a (J=P芯上 0)G= 1-0(0) = 0.5(2)该青年男子身高大于165cm且小于175cm的概率为：165 - u X u 175 - /X uP(165 X 1

24、75) = P( -)=P(-l - 1)cr T crT=一(一 1) = 2-1= 1.6826-1 = 0.6826(3)该青年男子身高小于172cm的概率为：P(X 172) = P(土型 172-)= p(L/ 0,4) (7(7b。= 0)(0.4) = 0.655419、解：系统电压小于200伏的概率为p| =p(X 4 200)=(独二生=(一0.8),在区间200,240的概率为p2 = p(200 X 240)=40 一 220)1200-220一|I 25= D(0.8)- 240) = 1-0) =1-0(0.8).(1)该电子元件不能正常工作的概率为a=0.1p1+0

25、.001p2+0.2p3 =0.064。(2)/=丝2 = 0.662。 a(3)该系统运行正常的概率为。=舌(1-07 + (1-03 =0.972。20解(1)有题意知：P(|z| a) = P(-a Z a) = aI ct于是P(Z2a) =,2从而得到侧分位点a = z(l_)/2 ； (2)P(Z b) = P(Z b或Z b) + P(Z b) = a,a于是 P(Zb) = ,结合概率密度函数是连续的，可得到侧分点为b = za/2 ,(3)P(Zc) = a于是 P(Z c) = l-a ,从而得到侧分位点为c = Z_a。21、解：由题意得，p(Xz) = l 一则中(甘卜

26、MW卜(甘卜) = 5。：34:16,解得 = 15 , x2 = 17 o22、解(1)由密度函数的性质得：1 = f(x)dx =a exdx = ay/7r J-ocJ-x所以1a = I； yJ7T(2)p(x -) = l-P(X g) = l =j J5公=1 一(击)= 1-0.761 = 0.239。1/i x023解：(1)易知X的概率密度函数为/(x) = 80, x10)= ：/(x)dx = e-(3)等待时间大于8分钟且小于16分钟的概率是 p(8 X 16) = f x)dx = e -e p5x 150)2P(X 150) = C3 1 - P(X 150)2 P

27、(X 150),其中 P(X 150)=00.0加-03公=0.7769于是 a = 3 l-P(X 150)2P(X 6) = P(X 6) P(取到甲厂的产品)+ P(y 6) P(取到乙厂的产品)= 0.4 3 dx + 0.6=0.4广2+0.6 =0.2749(2)该产品寿命大于8年的概率为：P(Z 8) = P(X 8)- P(取到甲厂的产品)+ P(Y 8)- P(取到乙厂的产品)产1dx + 0.6 I 上6= 0.4e 3+0& 3 =0.1860所求的概率为:P(Z 81Z 6) = 8) = o 6772 oP(Z 6)25、解：(1)由题知，/(x) =0.2产,x 0

28、, x4)= p(X =4) + p(X =5)= 0.7(l-0,7)2-0.7+ 0.7(l-0.7)3-0.7 =0.216 28、解(1)由密度函数的性质可得: 1 = f (x)dx - J c(4-jr2)dr = 9c 于是c = -9(2)设x, y的分布函数分别为：fxm，耳(无)，y的概率密度为力(x),有Fy(x) = P(Y x) = P(.3X x) = P(X x) = Fx(x)那么，/y(X)=；/gx)=0,有工(x) = P(Z x) = P(|X| x) = P(-x X x) = Fx(x)-Fx(-x),于是有 /z(x) = /(x) + /(-x)

29、 =，-(4-x2),0x1 9(4 ), 1 x 2从而，Z的概率密度为：fz(x) = 27-(4-x2),0x1-(4-x2),1x2, 90,其他Z的分布函数为:02(12x-x3 )/27, 0E %(x) = ,(12x-x3 + 11)/27,1x229、解：(1)依题知，N)乃(4)当.40时，3(/) = 0,当t0时，FT(t)=fN(l)(y)dy = l-e-所以，T的概率分布函数为耳(。=ez,0,Z0, r/0+/|t/0) =P(T 九+1，丁 幻P(T外P(T 6 +，)P(T 。)(，o+r)eA,30、解由题意知，XU(0,l),即X的概率密度为:fx (x

30、)=fl,XG(0,l) fo,其他设x, y的分布函数分别为：4(x),4(y),其中y = xz有0,x 0Fx(x) = P(X1当yWO,显然有尸丫()= 0。当y0Fr(y) = P(Yy) = P(Xn y) = P(0Xn y) = P(0X) = Fx!)I -i,那么 /)=清,y0,其他31解：由题意知，X的概率分布函数为E(x) = 0, 2x 3兀1,x0,3n0 V x , 2、3冗x N .2则 p(y y) = p(cos X y)=p(X arccosy)=尸(arccosy)0,4(乃一 arccosy3万2 arccosy1-3兀1,y-i,TWy0,0yi

31、-32、解 由题意知，X NWd),即X的概率密度为: fx (x) = -=1/2),国 0,有4(y) = P(y W y) = P(X 2 W y)=h一下 X=FJ-7y)那么fY(y)=0,y 02yly2,2万 y-cr33解:由题意知,(ax + b)dx = 1 a = 解得3b = .6(2) y = J7的反函数为x = V ,则/r(y) =,A(/)2y,o,0 y V2,其他。y(2/+i)30,0 y 0,有K(y) = P(Y y) = P(ex y) = P(X In y),0,从而求得y的概率密度：4。)= 又Z = ln|X|,于是Fz (z) = P(Z

32、z) = P(ln IX 区 z) = P(|X 区/)=P(-ezXez) = Fx(ez)-Fx (-ez)从而 00fz(z) = lfx(ez)+fx(-ez)le第三章多维随机变量及其概率分布注意：这是第一稿（存在一些错误）1、解 互换球后，红球的总数是不变的，即有X+Y = 6, X的可能取值有：2, 3, 4, Y的取值为：2, 3, 4。则（X,Y）的联合分布律为:P(X=2,y = 4) = P(X=4,y = 2d = 5 5 252 2 3 3 13 p(x =3,y = 3) =+ - =5 5 5 5 25由于x + y = 6,计算x的边际分布律为：p(x =2)

33、= P(X =2,y = 4)=13p(x =3) = P(X =3,r =3) = p(x =4) = P(X =4,y = 2) =卷(1)PX =0 = PX =0,y =0 + PX =0,y = l = 0.4 + a pX +Y = 1 = PX =0,丫 = 1 + PX =1,丫 = 0 = a + b因事件x =0与事件x + y = 1相互独立，则 px =o,x + r = i = px = o 尸x+y = i,即a = (0.4 + a)(a + Z?)由（1）,（2）解得a = 0.4b = 0.13、解利用分布律的性质，由题意，得 a + 0.1 + 0.1 + & + 0.1 + 0.1 + c = lP-0IX2)=笠发/P(r0,X=l) a + O.l P(X =1) a+OA + b0.5Py = l = b + c = 0.5计算可得：a = c = 0.2b