概率论与数理统计答案(浙江大学).pdf

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1、浙大第四版(高等教育出版社)第一章 概率论的基本概念1 .-写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(-1)S=妇”，表小班人数(3)生产产品直到得到1 0件正品，记录生产产品的总件数。(-2)S=1 0,1 1,1 2,.,，.)(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。(-(3)5=00,1 00,01 00,01 01,1 01 0,01 1 0,

2、1 1 00,01 1 1,1 01 1,1 1 01,1 1 1 0,1 1 1 1,2.-设B,C 为三事件，用 力,B,C 的运算关系表示下列事件。(1)/发生，8 与 C 不发生。表示为：/月不或 4一(/8+ZC)或/一(8UC)(2)A,8 都发生，而 C 不发生。表示为：48 或或N 8 C(3)A,B,C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C(4)A,B,C 都发生，表示为：ABC(5)A,B,C 都不发生，表示为：或 S (N+8+O或 N u S u C(6)A,B,C 中不多于一个发生，即B,C 中至少有两个同时不发生相当于4 8,8 C,4 C 中至少有一个发生。故 表

3、示为：A B +B C +A C .(7)A,B,C 中不多于二个发生.相当于：彳，瓦忑中至少有一个发生。故 表示为：彳+耳+或 抗(8)A,B,C 中至少有二个发生。相当于：AB,BC,ZC 中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC6 1三 设 Z,8是两事件且尸(/尸0.6,2(8 尸0.7.问(1)在什么条件下尸(/8)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(/8)取到最小值，最小值是多少？解：由尸(/)=0.6,尸(8)=0.7 即知4 8#小，(否则/8=小依互斥事件加法定理，P(A U B尸P(A)+P(5)=0.6+0.7=1.3 1 与 P (/U B)W 1 矛

4、盾).从而山加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A U B)(*)(1)从 0 W P(/8)W P(Z)知，当4 B=4,即/C 8时 P(/B)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知，当4 U B=S 时,尸(力 B)取最小值，最小值为P(Z 8 尸0.6+0.7 1=0.3 o7 .四设/,B,C 是三事件，且尸(/)=2(8)=尸(0=!，P(/8)=尸(8。)=0,P(/C)=1.求 ,B,C 至少有一个发生的概率。O解：P(A,B,C 至少有一个发生尸P(4+8+C)=P(/l)+尸(8)+尸(。一尸(48)一？(80 P(AC)+P(ABQ

5、=予3 一51 +0 =卷54 o o8 .五 在一标准英语字典中具有5 5 个由二个不相同的字母新组成的单词，若 从 2 6个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记 4 表“能排成上述单词”/从 2 6 个任选两个来排列，排法有AM种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个 尸 =詈 =卷9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2 9）记/表“后四个数全不同”后四个数的排法有IO4种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有4彳p（/）=3=0.50410.六 在房间里有10人

6、。分别佩代着从1 号 到 10号的纪念章，任意选3 人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5 的概率。记 三人纪念章的最小号码为5”为事件4,/10人中任选3 人为一组：选法有（5）种，且每种选法等可能。又事件“相当于：有一人号码为5,其余2 人号码大于5。这种组合的种数有1X像 立 尚/（2）求最大的号码为5 的概率。记”三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3 人，选法有（学）种，且每种选法等可能，又事件B 相当于：有一人号码为5,其余2 人号码小于5,选法有1x（方种1011.-t 某油漆公司发出1 7 桶油漆，其中白漆1 0 桶、黑漆4桶，红 漆 3桶。在搬运中所标笺脱落

7、，交货人随意将这些标笺重新贴，问 个 定 货 4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为N。在 1 7 桶中任取9桶的取法有C t 种，且每种取法等可能。取得4白3黑 2红的取法有Gl）x C：x C；P(4)=品)x C：x C；2 5 21 2 .A 在 1 5 0 0 个产品中有4 0 0 个次品，1 1 0 0 个正品，任意取2 0 0 个。（1）求恰有9 0 个次品的概率。记“恰有9 0 个次品”为事件4/在 1 5 0 0 个产品中任取2 0 0 个，取法有（盟）种，每种取法等可能。2 0 0 个产品恰有9 0 个次品，取法有（那 丫 但）

8、种P(4)=4 0 0 YH 0 09 0 卜1 0(1 5 0 0、I 2 0 0（2）至少有2个次品的概率。记：A表”至少有2个次品”员 表“不含有次品”，以 表”只含有一个次品”，同上，2 0 0 个产品不含次品，取法有（盟）种,2 0 0 个产品含一个次品,取法有（4 呼1 版|种彳 二 为+为 且 为,5 互不相容。P(m =l-P(A)=l-P(B0)+P(B)=1-1100200400Y 1 1001 A 19915002001500200131九 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2 只配成一双的概率是多少？记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对”则 彳 表“4 只人

9、不配对”从 10只中任取4 只，取法有 7种，每种取法等可能。要 4 只都不配对，可 在 5 双中任取4 双，再在4 双中的每一双里任取一只。取法有7（/）=1-尸（不=1-4=辞15.十一 将三个球随机地放入4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少？记 4 表“杯中球的最大个数为，个”41,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对 小：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4 X 3 X 2 种。（选排列：好比3 个球在4 个位置做排列）对 念：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C；x 4 x 3 种。（从 3 个球中选2 个球，选

10、法有C；,再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3 利，。对出：必须三球都放入一杯中。放法有4种。（只需从4个杯中选1 个杯子，放入此3个球，选法有4种）1 6 .十二 5 0 个抑钉随机地取来用在1 0 个部件，其中有三个硼钉强度太弱，每个部件 用 3只钾钉，若将三只强度太弱的伽钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记 力 表“1 0 个部件中有一个部件强度太弱法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉组去卸完1 0 个部件（在三个钉的组中不分先后次序。但 1 0 组钉抑完1 0 个部件要分先后

11、次序）对E-.钏法有4 X 7 X 4 X C；3种，每种装法等可能对 儿 三个次钉必须硼在一个部件上。这种钾法有（C；x C%x C：4式3）X1 0种p(m=CxCh xC2X C 曲 X1 0C 5 0 X C 4 7 X X C2211 9 6 0=0.0 0 0 5 1法二：用古典概率作把试验E看作是在5 0 个钉中任选3 0 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件卸完。（钾钉要计先后次序）对瓦 佛 法 有 后 种，每种钾法等可能对 力：三支次钉必须钾在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，或“2 8,2 9,3 0 ”位置上。这种硼法有用x阁+用 x片+.+国+/：；=1 0

12、x W x蜀 种.二%邈=康=0 0 0 0 5 11 7 .十三 已知 P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（A B）=0.5,求P（51 4 u 4）。解一:P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS=A(BuB)=ABu AB注意(0/月)=勿 故有)=0.7-0.5=0.2 o再由加法定理，P(A U B)=P(A)+P(B )P(AB)=0.7+0.6-0.5=0.8于是入小喘答粽 a解 二：P(AB)=P(A)P(豆|Z)也 岂 史.05 =07-P(B A)P(S|yi)=|P(S|J)=|故 P(AB)=P(A)P(B M)=|1P L要曹渡)=

13、P(BA)P(Z)+P(月)一尸(/月)50.7+0.6-0.5=0.251 8.十四 P(Z)=：,P(8|Z)=；,P(*B)=g,求 P(/u 8)。1X1解：由小造得)(%丁件用齐至”0由乘法公式，得 P(Z 8)=P(/)P(8|Z)=*由加法公式，得 P(A u S)=P(A)+P(B)-P(AB)=!+!-工=54 o 1 2 31 9 十五 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1 点的概率(用两种方法)。解：(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,尸 1,2,

14、3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为S=(x,y)|(1,6 ),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每种结果(x,y)等可能。A=掷二骰子，点数和为7 时，其中有一颗为1 点。故2/)=_|=4 0 3方法二：(用公式P(*8)=9篙S=(x,y)x=1,234,5,6;，=1,2,3,4,5,6 每种结果均可能A=掷两颗骰子，x,y 中 有 一 个 为“1点”，B=掷两颗骰子,国+尸7”。则P(B)=3=!，P(AB)凸,6-6 6-2故 尸(川B)=P(AB)=62=2P(B)L 一 6 _3620.十六 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病

15、的概率有以下规律：P(4)=P 孩子得病=0 6 P(8|Z)=P 母亲得病|孩子得病=0.5,P(38)=尸 父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为尸(/B 二)(注意：由 于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这 里 不 是 求AB)P(AB)=P(/)=P(B M)=0.6 x 0.5=0.3,P(C AB)=-P(C AB)=-0.4=0 6从而尸(48 3 )=P(N B)P(C|/8)=0.3x 0.6=0.1 8.21,十七 已知1 0 只晶体管中有2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1

16、)二只都是正品(记为事件A)法一：用 组 合 做 在 1 0 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。P(A)=与=竺=0.62Go 45法二：用 排 列 做 在 10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。P(/)4_ 284/45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 小，儿 分别表第一、二次取得正品。X 7 28P=尸（4 4）=P（4）P（，2 IA）=-X-=（2）二只都是 次 品（记为事件B）C2 1法一：如厂/1法二：“10.?1 1法三：P(B)=P(AlA2)=P(Ai)P(A2Al)=x-=(3),只是正品，一只是次品(记为

17、事件C)法一:尸 =等唠C10,法二:P(C；xC；)x 曷 _ 16期45法三:（。）=尸（4 才2+4/2）且4 了2与4 4 互斥_ _ _ 父 2 2 8 1 A=2 4）2 4 1 4）+（4*（4 1 4）=云*5 +,=器（4）第二次取出的是次品（记为事件。）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作,法二:A o 3法三:尸（0=尸（4 石+4 W）旦4 4 与4 4 互斥尸（4（4 14）+%4 ）尸（42 14）=磊8 吟2+%2 吟1=1?22.十八 某人忘记了电话号码的最后个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字

18、是奇数，那么此概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。4 表第，次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。H=A1+A,A2+A,A2A3三种情况互斥p（）=P（4）+尸（4）P（4 1 4）+P（4）p（a 14 ）P（4 M 彳 2）1 9 1 9 8 1 3=-dX H X X-=10 10 9 10 9 8 10如果已知最后一个数字是奇数（记为事件8）问题变为在8 已发生的条件下，求”再发生的概率。=+18+4 4 4|8）=尸（4 IB）+P（4 IB）P（A2 阕）+尸（4 IB）P（A21BA,）P（A31BA,A2）-1 +4X 1 ,4 3 1 .3-5

19、+?X4+TX4X3-?24.十九 设有甲、乙二袋，甲袋中装有只白球“只红球，乙袋中装有N只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问 取 到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19 题（1）记 小，刈分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记8 表“再从乙袋中取得白球”。8=小8+/28且小，上 互斥 P(B)=P 小)+尸(A2)P(B|n TV+1,m N=-x-1-x-n +m N+A/+1 +加 N+M+i 十九(2)第一只盒子装有5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有4 只红球，5 只白球。先从第一盒子中任取2 只球放入第二盒中去，然后从第二

20、盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记 G 为“从第一盒子中取得2 只红球”。C 2为“从第一盒子中取得2 只白球二C 3 为“从第一盒子中取得1 只红球，1 只白球”，。为“从第二盒子中取得白球”，显然G，G，两两互斥，由全概率公式，有p (D)=P(G)尸(0G)+P(C2)P(O|C2)+P 9)尸(D|c3)_ C j 5 C；7 C；C 6 _ 5 311 C,11 C；11 9926.二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：4=男人,/2=女人，B=色行,显 然 小 U4

21、2=S,A 由已知条件知 P(4)=P(A2)=；。尸(81 4 )=5%,尸(81 4 )=0.25%由贝叶斯公式，有P(A.尸(4团 -P(4)尸(314)一 丽 =20 P(B)P(4)P(8|4)+P(4)P(8|4)1 5 +1 2 5 212 100 2 10000 二十二-学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率 为 亨(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：4=他第i次及格,i=l,2已知 P(4)=P(/2MI)=

22、P，P(4 l4)=%(1)8=至少有一次及格所以后=两次均不及格 =A,A2二 P(B)=1-P(B)=1-P(A,A2)=l-P(At)P(A2|A,)=1 一n-p(4)i-p(4 i Z)p 3 i=1-(1-P)(1-)=-P-P2(2)R 4 4)堂笔*(*)由乘法公式,有P(小42尸尸(41)P(42M l)=p2由全概率公式，有尸(4)=尸(4)P(4 1 4)+尸(4)尸(4 2 1 4)P=P P+(-P)-_ P 2 P=-2 2将以上两个结果代入(*)得P(4 I 4)=-=-7z p2 p P+为 +万28.二十五 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：到家时间5

23、:35 5:395：40 5:445:45 5:495:50 5:54迟 于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设 4=“乘地铁，2=“乘汽车，C=5:455:49到家”，由题意已知：P(/尸0.5,P(C|Z尸0.45,P(C|B)=0.2,P(5)=0.5由贝叶斯公式有P(/|C)C)=_ _ _ _ _ X045_ _ _ _ _=045=0.69 23P P(CA)+P(CB)0,65 1329.二十四 有两箱同

24、种类型的零件。第一箱装5 只，其 中 10只一等品；第二箱30只，其 中 18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试 求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设 Bi表 示“第 i 次取到一等品 i=l,24 表 示“第j 箱产品“j=l,2,显然小U42=S1 1 A 1 1 Q 2(1)P(BJ=-1-=0.4(B=+425 由全概率公式解)。1 2 50 2 3 0 51 10 9 1 18 17-1-尸 闺)=怨&=2 5 0 49 2 30 29=.485 721

25、 P(BJ 25(先用条件概率定义，再求P(当当)时，由全概率公式解)32.二 十 六（2）如图 1,2,3,4,5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独立，求心和R 是通路的概率。记 4 表第，个接点接通记/表 从 乙 到 R 是构成通路的。A=AA2+AAiA5+A4A5+A4AiA2 四种情况不互斥 P(A)=P(/也)+尸(小4/5)+P(/5)+尸(/，/2)P(小/24以5)+P(AiA2 AtA+P(AJA2 A3 A)+尸(小43”-5)+P A3A4A；)P(Ai Ay AAi)+P(A 1A2A3 45)+P(AiAi AT,A4A5)

26、+(小/2 43/5)+P(小”2 小5)P(小”2 ”3 ”/5)又由于A I,All 43，A4,“5互相独过。故 P(A)=p2+p3+p2+p p4+p+p+p4+p+p4+p,+p5+p5+p5 p=1 p2+3pi-5p4+2 p 二十六(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的可靠性分别为尸1，巳，尸3,尸4,将它们按图(I)的方式联接，求系统的可靠性。记4表示第i个元件正常工作，2=1.2,3,4,A表示系统正常。彳=小生小+小儿两种情况不互斥P(A)=P(A A+P(小4)一尸(小前4 4)(加法公式)=P(4)P (A2)P(力3)+P(4)P (A4)-P(小)P

27、(A2)P(/3)P=PP2P3+P1P4 P1P2P3P4(小,A2,A3,AA 独立)34,三十一 袋中装有机只正品硬币,只次品硬币,(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只，将它投掷 次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现r次国徽面”=5 任取一只是正品”=/由全概率公式，有nmm)=P(A)P(BrA)+P(A)P(B,.A)=(-r+x rm+n 2 m+nm 62tn+襄 2 _ _ _ _ _ _ mm j _ r +n m+n-2m+n 2 m+n(条件概率定义与乘法公式)3 5.甲、乙、丙三人同时刻飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.

28、5,0.7 o飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高 凡表示飞机被，人击中，；=1,2,3。Bi，B2,当 分别表示甲、乙、丙击中飞机%=与 瓦 瓦+瓦 瓦 瓦+瓦 瓦 房，三种情况互斥。%=8出2 瓦+为 瓦2+瓦当层 三种情况互斥“3 =又 B ,B2,为 独立。:.P(H J=尸(一)P(B2)尸(瓦)+尸(瓦)P(B2)P(瓦)+P(瓦)尸(瓦)P(B3)=0.4 x 0.5 x 0.3 +0.6x 0.5 x 0.3 +0.6 x 0.5 x 0.7 =0.3 6P(%)=P(&)P(B2)P(

29、瓦)+P(B.)P(B2)P(B3)+P(B)P(B2)P(B3)=0.4 x 0.5 x 0.3+0.4 x 0.5 x 0.7+0.6 x 0.5 x 0.7=0.4 1P(Hi)=P(Bi)P(B2)P(当尸0.4X0.5X0.7=0.14又因：A=HxA+H2A+Hi A 三种情况互斥故由全概率公式，有P（4尸 P（H1）P（川M）+P （，2）尸（川，2）+尸（，3）P （Z，3）=0.3 6 x 0.2+0.4 1 x 0.6+0.1 4 x 1=0.4 5 83 6.三十三 设山以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为小），1 0%（事件4），9 0%（事件小

30、）的概率分别为尸（小）=0.8,PU2）=0.1 5,P（J2）=0.0 5,现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为8）,试分别求P（4|8）P（4 2|B）,（为旧）（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）B表取得三件好物品。B=AiB+A2B+AiB三种情况互斥由全概率公式，有P(8)=尸(小)P (BA)+P(生)尸(BA2)+P(A3)P(B|4)=0.8X(0.98)3+0.1 5X(0.9)3+0.05X(0.l)3=0.8 6 2 4p(4|8)=P(B)P(4)P 4)P(B)0.8 x(0.9 8)3

31、0.8 6 2 4=0.8 7 3 1P(4|8)=P(A2B)_ P(A2)P(BA2)_ 0.1 5 x(0 9)3P(B)P(B)=0.8 6 2 4=0.1 2 6 8P(4|8)=P(A3B)_ P(A3)P(BA3)_ 0.0 5 x(0.1)3P =P(5)=-0.8 6 2 4-=0.0 0 0 13 7.三十四 将/,8,C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a ,而输出为其它一字母的概率都是（l-a ）/2。今将字母串N/4 4,BBBB,CCCC之一输入信道,输入4 4 4 4,BBBB,CCCC的概率分别为+P 2+0=D，已知输出为Z B C/，问输入的是4 4

32、 4 4的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设。表示输出信号为4 8。，Bi、当、8 3分别表示输入信号为4 4 4 4,BBBB,C C C C,则5、&、。为一完备事件组，且P（B,尸P,i=l,2,3。再 设/发、/收分别表示发出、接收字母4其余类推，依题意有P (/收 发尸P (8收I 8发尸P(C收I C发)=a ,1 rtPiAB发尸P(A收|C发尸P(8 收|A发尸P(B收|C发尸P(C 收|A发尸P(C 收|B发 尸 又 P(ABCAAAAA)=P(DBi)=P(AA)P(8 收 14 发)P(C 收 14 发)P(4 攸|A 发)=。2号 产,同样可得

33、尸(。出2)=尸(D 0)=a (与 4于是由全概率公式，得3P(D)=p(Bj)P(DB,)/=1=0。2(子)2 +(g +A)a(寸)3由 Ba y e s 公式，得P(AAAAABCA)=P(BD)=P(8 J P(0 用)P(D)2a Px2a P+(l _ a)(P2+舄)二十九 设第一只盒子装有3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有2 只蓝球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有一只蓝球的概率，(2)求有一只蓝球一只白球的概率，(3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记小、4、小分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、

34、绿球、白球，团、殳、品 分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。(1)记。=至少有一只蓝球C=AXBX+A,5,+A 3+A2Bi+A3B,5 种情况互斥由概率有限可加性，得尸（C）=尸（4 4）+p（4-）+尸（4鸟）+尸（用）+尸（一4）SSP（4）产 区）+尸（4 ）口 当）+尸 尸（鸟）+尸 P（+P（4）P（BJ3 2 3 3 3 4 2 2 2 2 57 9 7 9 7 9 7 9 7 9 9（2）记。=有一只蓝球，一只白球,而 且 知。二小当+4与 两种情况互斥P（0 =P（4 B3+尸（4反）=P（4）尸（当）+P（A3）P（Bi）3 4,2 2 167 9 7 9

35、63 尸（0 0 =9 =第=黑（注意到8 =。）三十A,B,C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给Z,B,C的电话的概率分别为,，|他们三人常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分别为4，v!，设三人的行动相互独立，求2 4 4（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B,而8却都不在的概率。解：记G、C 2、C 3分别表示打给/，B,C的电话。|、。2、。3分别表示/，B,C外出注意到G、C 2、C 3独立，且/（。）=尸（。2）=弓，尸（0

36、3）=/（）=,P（2）=P（2）=/（1）P（无人接电话）=尸（。2。3尸P（5*（。2户（。3）1111=X X =2 4 4 32（2）记G=“被呼叫人在办公室”，6=勒 瓦+。2瓦+。3瓦三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式P(G)=P(G A)+P G。2)+尸 G 2)由于某人外出与P(C)P(。|G)+P(C 2)P(4 9 2)+尸 3)尸(。3 C)否和来电话无关_2 1 2 3 1 3 13=X-r X-1-X -5 2 5 4 5 4 20(故p(A C)=p(”(3)H 为“这 3 个电话打给同一个人”/(/)=2x2x2+2x2x 2+lxlxl=_ 17.,5555

37、55555 125(4)R 为“这 3 个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A,B,C的三个电话，每种情况的概率为2 2 1 4x x =-5 5 5 125于是尸=6 卷=急(5)由于是知道每次打电话都给8,其概率是1,所以每一次打给8电话而8不在的概率为4，且各次情况相互独立4于 是 P(3个电话都打给B,B都不在的概率)=(9=2第二章 随机变量及其分布1.-一袋中有5 只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律为P（x=3）=P（一球为3号,两球为1,2号）=里1 =

38、-tC；10P（x=4）=P（一球为4号,再在1,2,3中任取两球）=L卓=2C；10P（X=5）=P（一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）=2c l 10也可列为下表X：3,4,51 3 6而 而 而3 .三 设 在 1 5 只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。尸(X=0)=售=!|C15P 个P(X=1)C；x C；3 _ 1 2G l 3 5p-2)=*/再列为下表X：0,1,2D 2 2 1 2 1P：3 5?3 5?3

39、 54 .四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为,失败的概率为g=l-p（0 y l）（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求 X 的分布律。（此时称X 服从以p为参数的几何分布。）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以 Y表示所需的试验次数，求 丫的分布律。（此时称y 服从以r.p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为4 5%,以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。解：（1）P X=k）=c/3)=Cj x(0.1)3 x(0.9)2+C；x(0.1)4 x(0.9)+x(0.1)5=0.00856(3)

40、至多有3 个设备被使用的概率是多少？P X 1)=1-P(X=0)=1 -0.59049=0.40951 五 一房间有3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。(1)以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。(2)户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任窗子的尝试不多于一次。以 y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试 求 y 的分布律。(3)求试飞次数X 小于y 的概率；求试飞次数丫小于X 的概率。解:(1)X 的

41、可能取值为1,2,3,，尸 X=尸尸 前 一1次飞向了另2 扇窗子，第次飞了出去=(犷，=1，2,(2)y 的可能取值为1,2,3P Y=P 第 1次飞了出去=；尸 y=2=P 第 1次 飞 向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去_2X 1 _ 13 2 3。丫=3 =。第 1,2次飞向了另2扇窗子,2!_ 13 PX Y =PY =k P Y Y =kk=3 P Y k PX Y Y =k4=2第 3次飞了出去 全概率公式并注意到、p x y|y =i =o )=P Y=k PX k 注 意 至收；冽l立即-P X Y Y k 4X14XI4X1=%7 =p x k3同上，PX=Y

42、=P Y=k PX=Y Y =kk=y尸 =&尸丫=&=鼻 二+鼻 和 鼻，=h 3 3 3 9 3 2 7 8 1故尸 y x =i -p x Y)=P X=1,y=0)+P (X=2,Y=Q)+P(X=2,K=l)+p（六 3）P（r=o）+P（A 3）P（r=i）+p（六 3）P（r=2）=p（x=i）p（r=o）+p（x=2,r=o）+P（X=2,y=i）+P(X=3)P(y=0)+P(X=3)P(Y=)+P(X=3)P(r=2)=C；x 0.6 x (0.4)2 x(0.3)3 +C2 x(0.6)2 X 0.4 x(0.3)8 +C/x(0.6)2 x 0.4x C x 0.7x(

43、0.3)2 +(0.6)3x(0.3)3+(0)3 X x 0.7 x(0.3)2 +(0.6)3x C fx(0.7)2x 0.3=0.2439.I 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验1 0次，成 功 3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。)解：(1)P(一次成功户一=*(2)P(连续试验1 0次，成功3次 尸 C：o(4)3(鼎)7 而。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。九 有大批

44、产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取1 0件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为1 0%,求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率(2)需作第二次检验的概率(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解：x表 示 i o 件中次品的个数，y 表示5 件中次品的个数，由于产品总数很大，故 PB (1 0,0.1),Y-B(5,0.1)(近似服从)(1)P 六0=0.9,弋0.3 4 9(2)P

45、2 =P X=2+PX=C,p 0.l20.98+C；o0.1 0.99 0.5 8 1(3)Pr 0=0.9 七0.5 9 0(4)P 0X 2,r=0 (0X W 2 与 Y=2 独立)=P 0X W 2 P 7=0=0.5 81x0.5 90 0.343(5)P AM)+P 010)=P(X 11)=0.002840(查表计算)十 二(2)每分钟呼唤次数大于3 的概率。PX 3 =PX 4 =0.566530 卜六 以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X 的分布函数是求下述概率：(1)P 至多3 分钟:(2)尸 至少4 分钟;(3)P 3 分钟至4 分钟

46、之间;(4)P 至多3 分钟或至少4 分钟;(5)P 恰好2.5 分钟解：(1)P 至多 3 分钟=P XW3=0(3)=l e-L2(2)尸 至少 4 分钟 尸(X 2 4)=l-&(4)=e(3)P3 分钟至 4 分钟之间=P3X4=Fx(4)-Fx(3)=e-12-e-6(4)P 至多3 分钟或至少4 分钟=P 至多3 分钟+P 至少4 分钟=l-e-1-2+e(5)P 恰好2.5 分钟尸尸(X=2.5 尸00,xl,18.十七 设随机变量X 的分布函数 为 七(x)=lnx,”x e.求(1)P(X 2),P 0XW3,P(2X%)：(2)求概率密度为(x).解：(1)P(X 2A&(

47、2A ln2,P(0 X W 3)=J(3)-J(0=l,P(2|=Fx(1)-Fx(2)=l n1-l n2=l n1 /(x)=F(x)=,P1 x e,.0,其它20.十 八(2)设随机变量X的概率密度/(x)为,.x ,/、一 J 1 x -1 W x W 1/(x)=不0 其它x 0 x l(2)/(x)=，2-x l x 20 其他求 X 的分布函数F(x),并 作 出(2)中的/(x)与尸(X)的图形。解：当一I W x W l 时：尸(x)=T 0ix+f y/-x2 d x=25xy l l-x2+5 ar cs inxJ-L 兀 兀 2 21 LT,1 .1=xy/l-x

48、H ar cs in x +7 t n 2当 1 时：F(x)=0 cZx +2 V1-x2c l x 4-jbt/r =1故分布函数为：0 _E V 1 A 2,1 .1F(x)-XV1 -x+ar cs in x+-7 C 7 T 21x-l-1X11X解：(2)F(x)=P(Xx)=当x 0 时，F(x)=0d t=0当0 4 x l 时，/(x)=f 0 力+=；当 1 4 x 4 2 时，F(x)=j 0 4+，/山+/(2 7)山=2x 冷1当2 、时，尸(x)=f 0 出+/山+(2-7)4+f 0 山=1故分布函数为02F(x)=乙 22X-4-121x 00 x ll x 2

49、2 1000其它现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2 只寿命大于15 00小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于15 00小时的概率为P(X 15 00)=1-P(X。.0,其它某顾客在窗口等待服务，若 超 过 10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以 y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出y 的分布律。并求尸(丫与1)。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为P(X (y)=fx(x)dx=e1dx=-e1=e2因此 y 5(5,e-2),即 P(Y=k)=(；口 (1 一 e-2 产*,(k=1,2,3,4,5P(y 1)=1-P(r

50、 1)=1-P(r =0)=1-(l-e-2)5=l-(l-y -)5=1-(l-O.l 35 3363)5=1-0.86775 =1-0.4833=0.5 167.24,二十二 设 K 在(0,5)上服从均匀分布，求方程4x2+4xK +K+2=0有实根的概率,/K 的分布密度为：/(K)=,l C 6 *2)=J f (x)dx=J y i/x+j 0t/r=y25.二十三 设 XN(3.22)(1)求尸(2XW5),P(-4)2,P(X3)若 X N(u,。2),则 P(aX WB 尸 一 P(2VXW5)=-(与 斗 力 -力(-0.5)=0.8413-0.3085=0.5 328P(