集合.doc

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1、集合集合集合内容是高考中必考的内容，命题以考察概念和运算为主和集合的表示方法，一般集合内容是高考中必考的内容，命题以考察概念和运算为主和集合的表示方法，一般 是容易题居多。是容易题居多。常考考点与核心内容常考考点与核心内容( (1) )集合的概念与运算：要求掌握集合与集合，集合与元素之间的关系，熟练掌握集合集合的概念与运算：要求掌握集合与集合，集合与元素之间的关系，熟练掌握集合 的交并补的运算，注意图形结合思想的应用，借助维恩图和数轴等工具来解决集合的运算的交并补的运算，注意图形结合思想的应用，借助维恩图和数轴等工具来解决集合的运算 问题。同时注意集合元素的确定性、互异性、无序性。问题。同时注

2、意集合元素的确定性、互异性、无序性。( (2) )以集合为载体融合其他内容考查，尤其是集合与解不等式和方程的综合出题。以集合为载体融合其他内容考查，尤其是集合与解不等式和方程的综合出题。( (3) )借助集合相关概念给出新定义借助集合相关概念给出新定义基础篇基础篇10 课标课标(1)已知集合，则RxxxA, 2ZxxxB, 4BAA(0，2)B0，2CD 2 , 02 , 1 , 0考点考点：解不等式，集合的基本运算解析解析：，注意 B 中的定义域，22xxAZxxxB,1600x 2 , 1 , 0BA答案答案：D10 北京北京 1集合，则30xZxP92xRxMMPABCD 2 , 12

3、, 1 , 030 xx30 xx考点考点：解不等式，集合的基本运算解析解析：，因此2 , 1 , 0P3 , 3M2 , 1 , 0MP答案答案：B10 湖南湖南1已知集合，则( )3 , 2 , 1M2,3,4N ABCDNM MN 3 , 2NM 4 , 1NM 考点考点：集合的交集与子集的运算解析：解析：MN3 , 2 , 14 , 3 , 2 3 , 2答案：答案：C 10 江西江西2若集合，则( )RxxxA, 1RxxyyB,2BAAB11xx0xxCD10 xx考点：集合的性质与交集以及绝对值不等式运算解析：常见的解法为计算出集合 A、B；，（注意在A11xx0yyB求解集合

4、B 时，元素为 y）解得 10xxBA答案：C(10 安徽 2)若集合，则RA21log21xxAAB ,220 , ,22CD ,220 , ,22考点：解对数函数不等式，集合运算解析：，所以RA22021log21xx ,220 ,答案：A 提高篇提高篇10 湖北湖北 2设集合 A，B，则 AB 的子集的 1164,22yxyxxyyx3,个数是A4B3C2D1考点：集合的性质与交集以及椭圆与指数函数的图像解析：集合 A 是椭圆的点集，集合 B 是指数曲线的点集合，画出椭圆和指116422 yx数函数图象，可知其有两个不同交点，记为 A1、A2，则 AB 的子集应为，xy3，共四种，故选

5、A. 1A 2A21, AA答案：A10 四川四川 (16)设为复数集的非空子集.若对任意，都有，SCxSyyxyx，则称为封闭集下列命题：SxyS集合为封闭集；为虚数单位为整数 ibabiaS,若为封闭集，则一定有；SS0封闭集一定是无限集；若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是SCTST_(写出所有真命题的序号) 考点：复数运算集合的性质解析：设,经过验证可知正确.,xabi ycdi当 S 为封闭集时，因为 xyS，取 xy，得 0S，正确对于集合 S0，显然满足素有条件，但 S 是有限集，错误取 S0，T0，1，满足，但由于 011T，故 T 不是封闭集，CTS错误或取，

6、.但，故 T 不是封闭集，错误1SiT 1TS Ti 1答案： 注意：这种题目是集合的新概念，同学们在做这类题目的时候要注意审题，例如这道 题目中，没有要求 x 不等于 y，要讨论这种情况。10 北京北京 20已知集合.对 2, 2 , 1,1 , 0,21nnixxxxxXSinn于，naaaA,21nnSbbbB,21定义与的差为：；ABnnbababaBA,2211与之间的距离为.AB niiibaBAd1,()证明：，有，且；ABnSCnSBABAdCBCAd,()证明：，三个数中至少有一个是ABnSCBAd,CAd,CBd,偶数；()设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为nS

7、P P2mmP.证明： Pd 12mmnPd考点考点：结合集合相关概念给出新定义，考查能力规律方法规律方法：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个nSnSn 维的坐标，其中每个坐标值都是 0 或者 1，也可以这样理解，就是一个 n 位数字的数组， 每个数字都只能是 0 和 1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是 看两个数组有多少位不同，因为只有 0 和 1 才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核 心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了由于每个坐标值不是 0

8、就是 1，我们记 0, 11, 0xxx这时，我们发现，若 S 中元素 A 和 B 的第 i 位数分别是 x 和 1，那么 AB 的第 i 位数就是.x并且有，若 S 中元素 A 和 B 的第 i 位数分别是和，那么 AB 的第 i 位数就是xy.yxyx第一问，因为每个数位上都是 0 或者 1，取差的绝对值仍然是 0 或者 1，符合的要nS求然后是减去 C 的数位，不管减去的是 0 还是 1，每一个 a 和每一个 b 都是同时减去的，因此不影响他们原先的差这个大题最核心的是处理数组上的每一位数，所以我们研究第 i 位数.只要我们得到就可以得到.由于仅可能取 0 或 1iiiiiibacbca

9、BAdCBCAd,ic我们就可以分类讨论.当时，结论显然；当时0ic1ic.就正得了结论.当然，如果同学们发现这样一个规iiiiiiiibabacbca律，题目会变得简单：对于 S 中元素 A，设它的第 i 位数是那么从而ia10ia.iiiaaa111第二问，依旧从第 i 位数下手.题目要证，三个数中至少有BAd,CAd,CBd,一个是偶数，那么我们可以考虑反证法，若，全是奇数则BAd,CAd,CBd,是奇数.这时，我们就可以研究.CBdCAdBAd,CBdCAdBAd,对 S 中元素 A，B，C，设它们的第 i 位数分别是，.则iaibic就是所有的和.由于CBdCAdBAd,iiiiii

10、cacbba中，对称，我们不妨设.那么，的取值有四种iiiiiicacbbaiaibiciaibic可能，它们分别取 1，1，1 或 1，1，0 或 1，0，0 或 0，0，0.对这四种情况分别进行讨论，我们发现不是取 0 就是取 2，都是偶数.所以iiiiiicacbba只能是偶数，从而，不可能全是CBdCAdBAd,BAd,CAd,CBd,奇数.当然，也可以这样证：先比较 A 和 B 有几个不同(因为距离就是不同的有几个)，然后 比较 A 和 C 有几个不同，这两者重复的(就是某一位上 A 和 B 不同，A 和 C 不同，那么这 一位上 B 和 C 就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计

11、算了一次)，剩下的就是 B 和 C的不同数目，很容易得到这样的关系式：，从而三者不可能同为奇数ikh21第三问，首先理解 P 中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而2 mC2 mC距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生 了多少个不同，如此下去，直到第 n 位然后思考，第一位一共 m 个数，只有 0 和 1 会产 生一个单位距离，因此由 m 个第一位数产生的距离数就是这 m 个数中 0 的个数乘以 1 的个 数(PS：要产生一个单位距离，必须找到一个第一位是 0 的，在找到一个第一位是 1 的.这 样的找法一共有”这 m 个第一位数中 0 的个

12、数乘以 1 的个数”这么多种，从而 m 个数组第 一位数产生的距离就是”这 m 个第一位数中 0 的个数乘以 1 的个数”)其它位与此类似.那么我们设这 m 个数组中第 i 位一共有个 1，那么就有(mti)个 0.因此在这个位置上所产it生的距离总和为.iitmt这时我们再回到题目要证的不等式.要证， 12mmnPd只需证 122mmn CPdm总即 12 21mmn mmPd总化简得 42mnPd总对第 i 位来说，总距离为，这里 m 为定值，iitmt利用二次函数性质，我们知道42mtmtii这样，一切就水到渠成了此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范解析解析：(1)设，naaaA

13、,21nbbbB,21nnScccC,21因，故，ia 1 , 0ib 1 , 0iibani, 2 , 1即nnnSbababaBA,2211又，iaib 1 , 0icni, 2 , 1当时，有；0iciiiiiibacbca当时，有1ic iiiiiiiibabacbca11故BAdbaCBCAdniii,1 (2)法一：对 S 中元素 A，B，C，设它们的第 i 位数分别是，iaib 1 , 0ic中，对称，我们不妨设.那么，iiiiiicacbbaiaibicia ibicia，的取值有四种可能，它们分别取 1，1，1 或 1，1，0 或 1，0，0 或 0，0，0.这时，ibic的

14、值分别为 0 或 2 或 2 或 0.所以必是iiiiiicacbbaiiiiiicacbba偶数.从而 niniiiiiniiicacabaCBdCAdBAd111, niiiiiiicbcaba1所以是偶数.CBdCAdBAd,若，都是奇数，则也是奇BAd,CAd,CBd,CBdCAdBAd,数，由上面结论，是偶数推出矛盾，故CBdCAdBAd,至少有一个是偶数.CBdCAdBAd,法二：设，naaaA,21nbbbB,21nnScccC,21记，kBAd,lCAd,hCBd,记，由第一问可知：nSO0, 0 , 0kABOdABAAdBAd,lACOdACAAdCAd,hACABdCBd

15、,即中 1 的个数为 k，中 1 的个数为 l，iiab iiac ni, 2 , 1设 t 是使成立的 i 的个数，则有，1iiiiacabilkh2由此可知， ，不可能全为奇数，即，三个数中至klhBAd,CAd,CBd,少有一个是偶数(3)显然 P 中会产生个距离，也就是说，其中2 mc PBAmBAdCPd,2,1表示 P 中每两个元素距离的总和 PBABAd,分别考察第 i 个分量，不妨设 P 中第 i 个分量一共出现了个 1，那么自然有个ititm0，因此在这个分量上所产生的距离总和为，42mtmtiini, 2 , 1那么 n 个分量的总和 PBABAd, niiinmmntmt

16、12244即 PBAmmmmn CnmBAdCPd,222124,109 北京北京 20已知数集具有性质P；naaaA,212,121naaan对任意的 ，与两数中至少有一个属于.injij1jiaaij aaA()分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；4 , 3 , 16 , 3 , 2 , 1P()证明：，且；11an nnaaaaaaa11 21 121 ()证明：当时，成等比数列.5n1a2a3a4a5a考点考点：集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想 方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.解析：解析：()由于与均不属于数集，该数集不具有性质

17、P.43344 , 3 , 1由于，都属于数集，2131613226 36 11 22 33 666 , 3 , 2 , 1该数集具有性质 P.PS： 3 不是 4 的因子，而 1，2，3，6 都是 6 的因子.从而我们可以猜想(证明也是很 容易的)对于正整数 n，由 n 的所有正因子组成的正整数的集合具有性质 P 且这个集合是有 限集.对于有限集我们常常先讨论它的最大元与最小元，因为它们往往具有很好的性质. 由 正整数 n 的所有因子组成的正整数的集合是一个很好的例子，这些集合具有(II)(III)问中的性质，并且我们很容易将这些证明推广到一般情形.()具有性质 P，与中至少有一个属于 A，

18、naaaA,21nnaann aa由于，故.naaa211nnnaaaAaann从而，Aaann111a，故.naaa211nnkaaaAaanknk, 3 , 2由 A 具有性质 P 可知.Aaaknnk, 3 , 2 , 1又，121aa aa aa aannnnnn，1nn aa 2 1aaann1 2nnaaannaaa1从而，nnnnnnnnaaaaaa aa aa aa 121 121.n nnaaaaaaa11 21 121 ()由()知，当时，有，即，5n2 45aaa3 35aaa2 3425aaaa，5211aaa54243aaaaaAaa43由 A 具有性质 P 可知.Aaa34由，得，且，2 342aaaAaa aa3423 2 231aaa2 2334aaa aa，即，是首项为 1，公比为成等比2 12233445aaa aa aa aa1a2a3a4a5a2a数列. 注意注意：解决这类题目时，读懂新概念，从第一问开始，通常第一问比较简单，同时为 后面几问提供方法和结论。