微积分微积分微积分 (11).pdf

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1、案例 1 设某商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性252ppQ，又知该商品价格为 10 时的需求量为 500，求需求函数 Qfp.解解 由题意有 252d.dppQ pp QQ,即 d52dQpp,分离变量得：d52dQpp,积分得 25Qppc,代入条件 10500pQ得650c,故所求需求量与价格的函数关系为 26505Qpp.案例 2 已知某厂的纯利润 L 对广告费x的变化率ddLx与常数A和纯利润 L之差成正比.当0 x 时，0LL，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系.解解 由题意有 00d,d,xLk ALxLL （k为常数）分离变量 ddLk xAL,两边积分 1lnlnALkx

2、c,从而 kxALce （其中11cc），即 kxLAce，由初始条件00 x xLL 解得0cAL，所以纯利润与广告费的函数关系为 0kxLAALce.案例 3 3 在商品销售预测中，时刻t时的销售量用 QQ t表示如果商品销售的增长速度ddQt正比于销售量Q与销售接近饱和水平的程度 aQ t之积（a为饱和水平）,求销售量函数 Q t.解解 由题意有 ddQkQ aQt,这里k为比例系数，分离变量得 ddQk tQ aQ,等式变形为 11ddQak tQaQ,两端积分得 1lnQaktcaQ （1c为任意常数）,即 12akt caktQec eaQ （1c为任意常数）,从而可得通解为 22

3、211aktaktaktac eaQ tc ec e（1c为任意常数）,其中1c将由给定的初始条件确定.案例 4 4 某银行账户，以连续复利方式计息，年利率为 5%，希望连续 20 年以每年 12000 元人民币的速率用这一账户支付职工工资，若 t 以年为单位，账号上余额()Bf t所满足的微分方程，且问当初始存入的数额0B为多少时，才能使 20年后账户中的余额精确地减至 0.解解 显然，银行余额的变化速率=利息盈取速率工资支付速率 因为时间 t 以年为单位，银行余额的变化速率为ddBt,利息盈取的速率为每年0.05B 元，工资支付的速率为每年 12000 元，于是，有 d0.0512000d

4、BBt，利用分离变量法解此方程得 0.05e240000tBC，由00|,tBB得0240000CB，故0.050240000 e240000tBB，由题意，令20t 时，0B，即 00240000 e240000B，由此得10240000240000eB时，20 年后银行的余额为零.案例5 某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本y对汽车大修时间间隔x的变化率等于2281,yxx已知当大修时间间隔1x(年)时，总维修成本27.5y(百元).试求每辆汽车的总维修成本y与大修的时间间隔x的函数关系并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？解解 设时间间隔x以年为单位，由题

5、意 21d281,d|27.5,xyyxxxy 22dd223281eed27 =27 =.xxxxyxcxxcxcxx 由1|27.5xy，可得1,2C 因此 22 712yxx 又 227yxx ，令0y，得3x (负根舍去)，541.y(3)0.yx 因此3x 是y的极小值点，从而也是最小值点，即每辆汽车 3 年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低.案例 6 （市场动态均衡价格）设某商品的市场价格 pp t随时间t变动，其需求函数为,0dQbap a b，供给函数为,0sQdcp c d ，又设价格 p 随时间t的变化率与超额需求dsQQ成正比，求价格函数 pp t.解解 由题意有 0d,d0,dstpA QQA ac pA bdtpp 由一阶线性方程通解公式可得 dd111()(),A a ctA a ctA a c tA a c tA a c tpeA bd ecA bdeecA acbdc eac 由初始条件 0,0tpp得 10bdcpac,代入上式得 0A a c tbdbdppeacac.显然当t 时，bdp tac称bdac为均衡价格，即当t 时，价格将逐渐趋向均衡价格.