数值分析知识内容 (1).pdf

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1、第 1 章 数值计算引论 1.1 数值分析的研究对象与特点 数值分析(Numerical Analysis)这门课程的主要内容是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法，对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等.数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支.数学学科十分广泛，这里只涉及工程和科学实验中常见的数学问题，如非线性方程（组）、函数的插值与逼近、微积分、线性方程组、常微分方程、矩阵的特征值问题等，它们是其他数学的基础.我们知道，无论是自然科学、社会科学还是其它学科，其研究领域大量涉及数学问题的求解，其解包括解析解和数值解.解析解固然很重要，但不是任何时

2、候都能获得的，即使能得到解析解，有时也不一定实用.例如定积分baxdxeI2，其中的被积函数2)(xexf没有有限形式的原函数)(xF，因此也就不能用牛顿-莱布尼茨公式)()(aFbFI求积分值.又如，工程中常用的常微分方程模型00)(),(yxyyxfy也没有有限形式的解析解，而从应用的角度看能得到数值解也就够了.至于一般的非线性方程（组）、线性方程组和矩阵的特征值等问题，几乎无法用解析方法求解.由此可见，数值方法是不可或缺的途径和手段.特别是计算机高度发展的今天，应用数值方法，不仅可以求解常规的数学问题，而且可以求解大规模的复杂数学问题.数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系

3、的课程.概括起来，数值分析的特点为：（）本课程是建立在严格的数学理论基础上的一门实用性很强的课程；（）它面向计算机，根据计算机特点提供实际可行的且计算复杂性好的有效算法.（）它具有可靠的理论分析与数值试验，以保证算法的计算结果达到要求的精度，验证一个算法是行之有效的.根据数值分析课程的特点，学习时我们首先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次，要通过实际问题的解决，学习使用各种数值方法；为了掌握课程的内容，还应做一定数量的理论分析和计算练习，以及结合数学软件 MATLAB 的实验题.由于本课程包括了微积分、线性代数

4、、常微分方程的数值方法，这就要求我们必须掌握这几门课的基本内容才能学好这门课程.1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差的来源 应用数学方法研究工程或科学问题，一般只能得到问题的近似解.误差(Error)的产生主要有以下几方面.（1）模型误差.用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的.我们把模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差.（2）观测误差（测量误差）.建模时，实验、量测等数据误差.（3）方法误差（截断误差 Truncation Error）.由于计算机本身的特性，要求算法必须在有限步内完成，这就要求把数学模型用数值分析方法导出一个计算公式来近似，由此而产生的误差称为方法误差.例 1 由 Taylor 公式求xe的近似值，由于 12)!1(!21nxnxxnenxxxe，取n项近似则有!212nxxxenx，截断误差为1)!1(nxxne.（4）舍入误差(Roundoff Error).由于计算机字长有限，参加运算的数据只能截取有限位，由此而产生的误差称为舍入误差.例 2 用 0.3333 近似代替 1/3，产生的误差为 1/3-0.3333=0.000033.【注】在数值分析中，我们主要关心方法误差和舍入误差.