数值分析知识内容 (21).pdf

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1、4.2 拉格朗日插值 通过解方程组（5.4）求得插值多项式)(xpn的方法并不可取.这是因为，当n较大时，解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的状态使得不容易得到精度较高的数值计算结果.是否可以不通过求解方程组而获得插值多项式呢？回答是肯定的，拉格朗日插值（Lagrange Interpolating Polynomial）就是不需要求解方程组就可以构造插值多项式的一种方法.4.2.1 线性插值与抛物插值 对给定的插值点求得插值多项式可以有各种不同方法，首先讨论1n的简单情形.一、线性插值(Linear Interpolation)当1n时，插值问题的几何意义为：过两个已知点1,0),(i

2、yxii，求直线方程（即一次多项式）.点斜式直线方程：)()(0010101xxxxyyyxL.两点对称式直线方程：101001011)(yxxxxyxxxxxL.由两点式可知，)(1xL是由两个线性函数 01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl 的线性组合得到.这两个线性函数称为插值基函数，其性质为：1,0,0,1)(ikikikxlkiik.二、抛物插值(Quadratic Interpolation)当2n时，插值问题的几何意义为：过已知的三个点,2,1,0),(iyxii求抛物线（即二次多项式）.为了求出)(2xL的表达式，可采用基函数方法，此时基函数)(0 xl、)(1xl

3、及)(2xl是二次函数，且在节点上满足条件：2,1,0,0,1)(ikikikxlkiik.（5.5）满足条件（5.5）的插值基函数很容易求出，例如求)(0 xl，因为它有两个零点1x及2x，故可表示为)()(210 xxxxAxl，其中A待定，可由条件1)(00 xl确定.于是，)()()(2010210 xxxxxxxxxl.同理可求得)(1xl及)(2xl.因此，得抛物插值 2211002)()()()(yxlyxlyxlxL 212021012101200201021)()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxx.4.2.2 n 次拉格朗日插值 用插值基

4、函数表示的一次与二次插值很容易推广到一般情形.下面讨论如何构造通过1n个节点niyxii,1,0),(的n次插值多项式.设所求多项式为 nkkknyxlxL0)()(，其中nkxlk,1,0),(是次数不超过n的待定多项式（插值基函数）.要)(xLn满足插值条件，即nkikikinyyxlxL0)()(,从而插值基函数满足条件：nikikikxlkiik,1,0,0,1)(.（5.6）满足条件（5.6）的插值基函数很容易求出，例如求)(xlk.因为nkkxxxxx,1110是n次多项式)(xlk的n个零点，可设)()()()(1110nkkkxxxxxxxxxxAxl，又由1)(kkxl，得到

5、)()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxxA，因此，当nk,1,0时,nkiiikikxxxxxl0)()(.n次 Lagrange 插值多项式为 knknkiiikinkkknyxxxxyxlxL 000)()()(.（5.7）例 1 已知xysin的函数值,233sin,224sin,216sin210yyy见表 5-2，求245sin的近似值.解 1）用线性插值计算，因为245在46之间，故取两点60 x，41x，则有线性插值 2264621464)(1xxxL，所以0.603553)245(245sin1L.2）用过三点的抛物插值计算，有 23)43)(63()4)(6

6、(22)34)(64()3)(6(21)36)(46()3)(4()(2xxxxxxxL，所以0.609577)247(247sin2L.【注】因为)245sin(的近似值为 0.6087614，0.0052)245(245sin1L，00082.0)247(247sin2L，所以抛物插值比线性插值精确.Lagrange 插值的优缺点：Lagrange 插值的优点是公式整齐对称，适合理论上的推导，并且计算机算法容易实现.Lagrange 插值的缺点是计算上不太方便.4.2.3 插值余项与误差估计 若在,ba上用)(xLn近似)(xf，则其截断误差为)()()(xLxfxRnn，也称为插值多项式

7、的余项(Remainder Term).关于插值余项估计有下面定理.【定理 2】设函数)(xfy 在,ba上的n阶导数)()(xfn连续，)()1(xfn在),(ba内存在,)(xLn是)(xf在nxxx,10处的n次 Lagrange 插值多项式，则对,ba中每一个点x，存在依赖于x的点,bax使)()!1()()()()()1(xwnfxLxfxRxnnn，（5.8）其中njjxxxw0)()(.证明 若x是节点，公式（5.8）两边均等于零，结论成立.设,1,0,nixxi由于在ix处nixRin,1,0,0)(，于是有)()()()()()(10 xwxkxxxxxxxkxRnn，其中)

8、(xk为与x有关的待定函数.为了确定)(xk，作辅助函数)()()()()(twxktLtftn.显然xxxxtn,10都是)(t的零点（共2n个），且,1baCn.由 Rolle 定理，)(t在这2n个点的每两点间至少有一个零点.再对)(t应用 Rolle定理，则)(t 至少有n个零点且都在),(ba内.依此类推，)()1(tn在),(ba内至少有一个零点x，使0)!1()()()()1()1(nxkfxnxn，即有)()!1()()()()()()()1(xwnfxwxkxLxfxRxnnn.由插值余项（5.8），我们有下面结论.（1）n次插值的误差估计为：)()!1()(1xwnMxRn

9、n，其中)(max)1(),(1xfMnbaxn；（2）n次插值的误差除与x、1nM有关外，还与节点的位置、个数n有关；（3）当)(xf是次数不超过n的多项式时，由于0)()1(xfn，因此，)(xf的n次插值多项式就是它自身，即)()(xfxLn；（4）当)(xf1 时，有nkkxl01)(.例 2 估计例 1 中)245(1L与)245(2L的误差.解 由xxfsin)(，有)sin()(xxf，)cos()(xxf .1）线性插值的误差估计.因为)(!2)(1021xxxxMxR，其中，)(max),(210 xfMxxx，4,6x，所以 0.0061)4245)(6245(!24sin

10、)245(1R.2）抛物插值误差估计.因为)()(!3)(21032xxxxxxMxR，其中，)(max),(320 xfMxxx ,3,6x，所以 0.00097)3245)(4245)(6245(!36cos)245(2R.Lagrange插值的MATLAB程序：Lagrange.m function yi=Lagrange(x,y,xi)%Lagrange插值多项式，其中，%x为向量，全部的插值节点；%y为向量，插值节点处的函数值;%xi为标量或向量，被估计函数的自变量；%yi为xi处的函数估计值.n=length(x);m=length(y);%插值点与它的函数值应有相同个数.if n

11、=m error(The lengths of X and Y must be equal!);return;end yi=zeros(size(xi);for k=1:n w=ones(size(xi);for j=1:k-1 k+1:n%输入的插值节点必须互异 If abs(x(k)-x(j)eps error(the DATA is error!);return;end w=(xi-x(j)./(x(k)-x(j).*w;end yi=yi+w*y(k);end 例 3 已知当3,2,1,0 x时，16,1,6,5)(xf，求)(xf的 Lagrange 插值多项式，并求)5.1(f的近

12、似值.调用插值函数 Lagrange.m 求插值，并画出插值函数图形：x=0:3;y=-5-6-1 16;xi=-.25:.01:3.25;yi=Lagrange(x,y,1.5)yi=Lagrange(x,y,xi);plot(x,y,o,xi,yi)程序计算得，)5.1(f的近似值为yi=-4.6250.插值函数图形见图 5-4.-0.500.511.522.533.5-10-50510152025图5-4 插值函数图形 这四个数据的拉格朗日插值为)6(2)3)(2()5(6)3)(2)(1()(xxxxxxxL)16(6)2)(1()1(2)3)(1(xxxxxx.函数Lagrange也可以处理符号变量.例如，创建符号变量symx，计算并显示插值多项式的符号形式 symx=sym(x);L=Lagrange(x,y,symx);L=pretty(L)计算得到 L=-5(-1/3 x+1)(-1/2 x+1)(-x+1)-6(-1/2 x+3/2)(-x+2)x -1/2(-x+3)(x-1)x+16/3(x-2)(1/2 x-1/2)x 这个表达式是插值多项式的拉格朗日形式，可以用命令函数simplify将其简化，从而得到L的幂形式.L=simplify(L)运行得到L=x3-2*x-5.