数值分析知识内容 (28).pdf

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1、5.3 最佳平方逼近 设,)(baCxf，)(xf的 2-范数定义为2/122)()()(dxxfxxfba，则)(xf与)(xSn在 2-范数意义下的距离定义为 2/122)()()()()(dxxSxfxxSxfnban，（6.9）其中，)(x为定义在,ba上的权函数.次数不超过n的多项式构成的线性空间记为：,12nnxxxspanH，即)()(xSxSHnnn0axa1,1,0,niRaxainn.设)(xk是无限多个函数构成的函数序列，若)(xk中任意有限个函数n,10线性无关，即当常数),1,0(niai使得 0)()()(1100 xaxaxann 时，必有),1,0(0niai，

2、则称函数序列)(xk线性无关.显然，kx是一个线性无关的函数序列.将)()()()(1100 xaxaxaxSnnn称为广义多项式，这种多项式的全体之集记为，即 niiiinnniRaxaxSxS0,1,0,),()()(.5.3.1 最佳平方逼近及其计算 一、最佳平方逼近(Least Squares Approximation)最佳平方逼近问题：设,)(baCxf，求一个多项式nnHxS)(*，使满足 2)(2*)()(min)()(xSxfxSxfnHxSnnn.在广义多项式构成的线性空间中讨论，设,)(baCxf，求广义多项式)(*xSn，使满足2)(2*)()(min)()(xSxfx

3、SxfnxSnn.令 baniinndxxaxfxxSxfaaa2012210)()()()()(),(，求*nS，等价于求多元函数),(10naaa的最小值问题.对nk,1,0,总有 bakniiikdxxxaxfxa0)()()()(20，（6.10）即 bakikniibadxxxfxadxxxx)()()()()()(0.利用函数的内积记号bakikidxxxx)()()(),(，则有最佳平方逼近的法方程 nkfanikiki,1,0,),(),(0，（6.11）即),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000nnnnnnnnf

4、ffaaa，这是1n阶线性代数方程组.法方程(Normal Equations)的系数矩阵是对称的.可以证明，它有唯一解存在，即有,10aa，na，使)()()()(1100 xaxaxaxSnnn.二、最佳平方逼近的计算 由法方程（6.11）解出niai,1,0,，然后由)(xi写出)(xSn.)(xSn为最佳平方逼近：即对任何)(xSn，总有 2222)()(min)()(xSxfxSxfnn，也即),(),(nnnnSfSfSfSf.证明 因为naaa,10是法方程（6.11）的解，所以满足(6.10)式，即 0),(0*kniiiaf，也即0),(*knSf，所以0),(,0),(*n

5、nnnSSfSSf，故0),(*nnnSSSf.22*22nnnnSSSfSf 22*22*22*),(2nnnnnnnSfSSSSSfSf.三、最佳平方逼近误差（即平方误差）nkkknnnnfafSfffSfSfxSxf02222),(),(),(),()()(nkkkdaf022，其中),(kkfd.四、常用的最佳平方逼近 对于 1,0)(Cxf，取,12nxxxspan，1)(x.由于 1010)(),(,11),(dxxfxfdkidxxakkkkikiik，则法方程的系数矩阵)12/(1)2/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11nnnnnH.（6.12）记 TnTn

6、ddddaaaa),(,),(1010，则 dHa （6.13）的解*aTnaaa),(10即为所求.例 5 在,12xxspan中求定义在0，1上的函数xxf1)(的最佳平方逼近多项式)(2xS.解 由于2,1,0,)(ixxii，而由上面结论，有 11kiaik，21895.11100dxxd，64379.01101xdxxd，44024.02d，得法方程 44024.064379.021895.15/14/13/14/13/12/13/12/11210aaa，用列主元消去法解得070567.0,48235.0,0013.1210aaa.因此所求解为 22070567.048235.000

7、13.1)(xxxS.平方误差为：nkkkndafxSxf02222)()(71025.3)44024.0070567.064379.048235.021895.10013.1(5.1.【注】用nxxx,12作基求最佳平方逼近多项式，得到法方程的系数矩阵H为Hilbert 矩阵，当n较大时，是高度病态的.对于例 5 的三阶 Hilbert 矩阵，它的条件数为748)(1HHHCond.为克服法方程的“病态”，用正交多项式基底来构造逼近多项式.5.3.2 正交多项式 只要给定区间,ba及权函数)(x，就可构造出正交多项式序列.【定理 7】由下列公式递推定义的多项式序列0)(nnx是正交的：,1,

8、0),()()()(11nxbxaxxnnnnn，（6.14）其中1)(,0)(01xx，),/(),(),/(),(11nnnnnnnnnnbxa.这样得到的正交多项式序列有以下性质：（1）)(xn是具有最高次项系数为 1 的n次多项式；（2）任何n次多项式nnHxp)(均可表示为)(,),(),(10 xxxn的线性组合；（3）当jk 时，0),(jk，且)(xk与任一次数小于k的多项式正交.（4）若0)(nnx是在区间,ba上带权)(x的正交多项式序列，则)1)(nxn的n个根都是在区间),(ba内的单重实根.下面给出常用的正交多项式序列.一、勒让德（Legendre）多项式 在-1，1

9、上，取权函数)(x=1，由三项递推式（6.14）得勒让德多项式 1)(0 xP，xxP)(1，31)(22 xxP，xxxP53)(33，,35376)(244xxxP.这是勒让德于 1785 年引进的.1814 年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式,2,1)1(!21)(,1)(20nxdxdnxPxPnnnnn.由于nx)1(2是n2次多项式，求n阶导数后得 011)1()12)(2(!21)(axaxnnnnxPnnnnn，于是得首项nx的系数2)!(2)!2(nnann.显然最高项系数为 1 的勒让德多项式为,2,1,)1()!2(!)(2nxdxdnnxPnnnn.勒让德

10、多项式有下述几个重要性质.【性质 1】正交性：11.,122,0)()(),(nmnnmdxxPxPPPmnmn证明省略.【性质 2】奇偶性：)()1()(xPxPnnn.【性质 3】递推关系：.,2,1),()()12()()1(11nxnPxxPnxPnnnn，由xxPxP)(,1)(10，三项递推可得,8/)33035()(,2/)35()(,2/)13()(2443322xxxPxxxPxxP,16/)5105315231()(,8/)157063()(2466355xxxxPxxxxP.证明省略.勒让德多项式)(),(),(321xPxPxP的图形见图 6-4.【性质 4】勒让德多项

11、式)(xPn在区间-1，1内有n个不同的实零点.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811-3TH ORDER LEGENDRE POLYNORMIALSP1(x)P2(x)P3(x)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811-3TH ORDER CHEYSHEV POLYNORMIALST1(x)T2(x)T3(x)图 6-4 勒让德多项式图形 图 6-5 切比雪夫多项式图形 二、切比雪夫多项式 在区间-1，1上，取权

12、函数2/12)1()(xx，可得切比雪夫多项式0)(nnxT，)(),(),(321xTxTxT的图形见图 6-5.切比雪夫多项式的性质详见 6.3 节.三、拉盖尔（Laguerre）多项式 在),0 上,取权函数xex)(,可得拉盖尔多项式，其表达式为,2,1),()(nexdxdexLxnnnxn.它满足正交性质 02.,)!(,0)()(),(nmnnmdxxLxLeLLmnxmn 并具有递推关系.1)(,1)(,2,1),()()21()(10121xxLxLnxLnxLxnxLnnn 四、第二类切比雪夫多项式 在区间-1，1上，取权函数21)(xx,可得第二类切比雪夫多项式，表达式为

13、,2,1,1arccos)1sin()(2nxxnxUn.它满足正交性质 112.,2,0)()(1),(nmnmdxxUxUxUUmnmn 并具有递推关系.2)(,1)(,2,1),()(2)(1011xxUxUnxUxxUxUnnn 五、埃尔米特（Hermite）多项式 在区间上，取权函数2)(xex,可得埃尔米特多项式，其表达式为.,2,1),()1()(22nedxdexHxnnxnn 它满足正交性质.,!2,0)()(),(2nmnnmdxxHxHeHHnmnxmn 并具有递推关系.2)(,1)(,2,1).(2)(2)(1011xxHxHnxnHxxHxHnnn 切比雪夫多项式的画

14、图程序：Chebyshev_Curve.m.%plot Chebyshev polynomiales clear,clf,x=-1:0.01:1;n=input(Input the Number of Chebyshev polynomiales Ploted:n=)Tn=;Tn(1,:)=x.0;Tn(2,:)=x;if n=2 error(the degree n of Chebyshev polynomiales must be higher than 1)else for k=3:n;Tn(k,:)=2*x.*Tn(k-1,:)-Tn(k-2,:);end end for k=1:n;

15、plot(x,0.*x,0.*x,x),plot(x,Tn(k,:)title(nTH ORDER CHEYSHEV POLYNORMIALS)pause end 勒让德多项式的画图程序：Legendre _Curve.m.%The Curves of nth Order Legendre Polynomial clear x=-1:0.01:1;n=15;AL=zeros(n+1,length(x),n);%Computes The Associated Legendre Functions of Degree n and order m=0,1,.,n,Evaluated at x.for

16、 n=1:10;AL(1:n,:,n)=legendre(n-1,x);end%The Legendre Polynormial of Degree n is The Associated Legendre Functions of Degree n and order m=0.for n=1:10;L(n,:)=AL(1,:,n);end for n=1:10 plot(x,L(n,:),x,0*x,r,0*x,x,r)title(nTH ORDER LEGENDRE POLYNORMIALS)pause end 画图程序中的 pause 为暂停，按任一键后，继续画第二个图，直至 n 次多项

17、式.5.3.3 正交多项式族作最佳平方逼近 取)(,),(),(10 xxxspann，其中)(xi是区间,ba上带权的正交多项式序列，即 bakikikidxxxx,0)()()(),(.因此，法方程简化为 nkxfaxxkkkk,1,0),(,()(),(，其解为 nkfakkkk,1,0,),(),(，所得最佳平方逼近多项式为 nkkkkknxfxS0)(),(),()(.平方误差为 nkkkknkkknaffafxSxf022202222),()(),()()(.若取)(xi为切比雪夫多项式，即),1,0)()(nixTxii，则有最佳平方逼近多项式 nkkknkkkkknxTdxxx

18、TxfxTTTTfxS01120)(1)()(2)(),(),()(.若取勒让德多项式序列为基，则有 nkkknxPdxxfxPkxS011)()()(212)(.平方误差为 nkknkkkknakdxxfPPafxSxf02112022222)(122)(),()()()(.【注】（1）用正交函数族作最佳平方逼近与直接由,12nxxx为基得到的)(xSn是一致的，但避免了法方程组的病态.（2）在所有系数为 1 的n次多项式中勒让德多项式在-1，1上与零的平方误差最小.（3）若所给的区间是,ba，可以通过变换tabbax22将其转化为-1，1.例 6 求函数xexf)(在区间-1，1上的二次最

19、佳平方逼近多项式.解 利用勒让德多项式1)(0 xP，xxP)(1，2/)13()(22xxP求二次最佳平方逼近多项式.1752.1)1(2121110eedxeax，1036.1323111edxxeax，3578.0213251122dxexax，因此逼近多项式 9963.01036.15367.02133578.01036.11752.1)(222xxxxxS.逼近多项式的平方误差为 0015.0)(122)()()(202112222kkakdxxfxSxf.例 7 求函数2)1()(xexxf在区间-2，1上的最佳平方逼近多项式.最佳平方逼近计算与画图程序：Legendre_Appr

20、ox.m.%The Optimazation Square Approximation of function(1+x)*exp(-x2)with Legendre Polynomial Integral Interval:a,b clear all,clf syms x t;N=7;a=-2;b=1;F=(1+x)*exp(-x2);%Evaluate Legendre Polynormial up to nth Order for n=1:N;P(n)=diff(t2-1)(n-1),n-1);Q(n)=2(n-1)*prod(1:n-1);end P(1)=1;Q=sym(Q);INVQ

21、=inv(diag(Q);LN=P*INVQ;%Conversion Interval a,b Between-1 1,and Expression of Functions s=2(b-a)*t+a+b);f=subs(F,x,s);%Symbolic substitution.%Evaluate Those Expression of Integrated Functions B=LN*diag(f);A=LN*LN;INTC=double(int(A,-1,1);INTB=double(int(B,-1,1);c=INTC(INTB);Optf=LN*c;Optf=subs(Optf,t

22、,(b-a)(2*x-a-b);ezplot(Optf,a,b),hold on fplot(1+x)*exp(-x2),a,b,:)title(Optimal Square Approximation of(1+x)exp(-x2)legend(Optimal Square Approximation Polynomial,Function(1+x)exp(-x2),4)hold off f=subs(f,t,(b-a)(2*x-a-b);g=char(f-Optf)2);e=double(sqrt(int(g,a,b)分别取逼近多项式的次数为n=4、n=7，程序运行得最佳平方逼近图形，见图

23、6-6.4次与7次逼近多项式的均方误差分别为0.1254、0.0077.-2-1.5-1-0.500.51-0.200.20.40.60.811.2xOptimal Square Approximation of(1+x)exp(-x2)Optimal Square Approximation PolynomialFunction(1+x)exp(-x2)-2-1.5-1-0.500.51-0.200.20.40.60.811.2xOptimal Square Approximation of(1+x)exp(-x2)Optimal Square Approximation PolynomialFunction(1+x)exp(-x2)图 6-6 利用勒让德多项式作最佳平方逼近图形（左图 n=4，右图 n=7）