高数2.3 连续.ppt

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1、2.3 函数的连续性函数的连续性10 函数连续的概念函数连续的概念X0Ay=f(x)(1)f(x)在在 x0 处无定义处无定义Ay=f(x)(2)X0f(x)在在 x0 处有定义处有定义X0y=f(x)(3)f(x)在在 x0 处出现跳跃处出现跳跃(4)X0y=f(x)f(x)在在 x0 附近无界附近无界(5)X0y=f(x)f(x0)f(x)在在 x0 处连续处连续图图(1)-(4)在在 x0 处曲线出现间断处曲线出现间断;图图(5)曲线在曲线在 x0 处连续处连续.图形图形(5)的特征：的特征：定义：定义：设设 在某邻域在某邻域 上有定义上有定义,如果如果 则称则称 在在 x0 处处连续连

2、续 记记有有f(x0)f(x)在在 x0 处连续处连续x0y=f(x)(5)f(x)x即即f(x)在在 x0 处连续的处连续的 语言描述：语言描述：设设 在某邻域在某邻域 内有定义内有定义,如果对任如果对任 f(x)在在 x0 处连续的三要素：处连续的三要素：（1）在某邻域在某邻域 内有定义内有定义(非去心邻域非去心邻域)（2）存在存在(设为设为A);(3)f(x)在在 x0 处左处左连续：连续：f(x)在在 x0 处右连续：处右连续：f(x)在在(a,b)内连续：内连续：若若 f(x)在在(a,b)内每一点处内每一点处都连续都连续(称称 f(x)为为(a,b)内的连续函数内的连续函数)f(x

3、)在在 a,b 上连续：上连续：若若 f(x)在在(a,b)内连续内连续,在在 x=a 处右连续处右连续,在在 x=b 出左连续出左连续,则称则称 f(x)在在 a,b 上连续上连续(称为称为 a,b 上的连续函数上的连续函数)定理定理解解20 连续函数的运算性质连续函数的运算性质定理定理(连续函数的四则运算性质连续函数的四则运算性质)设设 f(x),g(x)在点在点 x0 处连续处连续,则则(1)f(x)g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续;(2)f(x)g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续;(3)若若 在点在点 x0 处也连续处也连续;（1）连续函数经四则运算后）连续函数经四则运算

4、后,在其定义域上连续在其定义域上连续（2）有限各连续函数的和、积也是连续函数有限各连续函数的和、积也是连续函数注：注：无穷多个连续函数相加，可能得到一个不连续的函数无穷多个连续函数相加，可能得到一个不连续的函数 反例反例 设函数 ，在区间 上是连续的 无穷多项这样的函数之和为 有限多项这样的函数之和为。不连续不连续定理定理(复合函数的极限复合函数的极限)若若f(u)在在 u0 处连续处连续,则有则有即即说明：说明：当当 函数函数 f 连续时连续时,极限符号与函数符号极限符号与函数符号 f 可以可以交换次序交换次序 证明证明对任意的对任意的 因为因为 y=f(u)在在 u0 处连续处连续,从而得

5、从而得定理证毕定理证毕推论推论 设设 u=g(x)在在 x0 处处连续连续,u0=g(x0),y=f(u)在在 u0 处连续处连续,则复合函数则复合函数 y=f(g(x)在点在点 x0 处处连续连续,即即可知：可知：两个两个(有限个有限个)连续函数构成的复合函数在连续函数构成的复合函数在一定的区间内也是连续函数一定的区间内也是连续函数Q:无穷多个呢？无穷多个呢？定理定理(反函数的连续性反函数的连续性)设设 y=f(x)在在 a,b 上连续上连续,并且严格单调增并且严格单调增(或严格单调减或严格单调减),f(a)=,在在 (或或 )f(b)=,则反函数则反函数 上连续上连续,并且也是严格单调增加

6、并且也是严格单调增加(或严格单调减少或严格单调减少).证明证明 略略基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性(1)三角函数在定义域上连续三角函数在定义域上连续由由可知：可知：sinx，cosx 在其定义域上连续在其定义域上连续.再根据连续函数的四则运算性质知：再根据连续函数的四则运算性质知：tanx，cotx，secx，cscx 在其定义域上连续在其定义域上连续.所以所以,三角函数在定义域上连续三角函数在定义域上连续2.3.3 初等函数的连续性初等函数的连续性证明证明对任意的对任意的 x0 0 ,利用结论利用结论(3)对数函数对数函数 f(x)=logax(a0,a 1)在其定义域在其定义域

7、上连续上连续 (4)指数函数指数函数 f(x)=ax (a0,a 1)在其定义域上在其定义域上连续连续(2)反三角函数在其定义域上连续反三角函数在其定义域上连续(5)幂函数幂函数 f(x)=x(0)在其定义域上连续在其定义域上连续 证明证明对任意的对任意的 x0 0 ,据反函数的连续性，证：证：定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内连续内连续例如例如从而有以下结论：从而有以下结论：定理定理 基本初等函数在定义域上连续基本初等函数在定义域上连续在定义区间在定义区间 上连续上连续利用函数的连续性可以计算函数的极限利用函数的连续性可以计算函数的极限解解解解30 函数的间断点及其

8、分类函数的间断点及其分类如果如果f(x)在在 x0 处不连续处不连续,则称点则称点 x0 为函数为函数 f(x)的的间断点间断点(或或不连续点不连续点).f(x)在在 x0 处连续的三要素：处连续的三要素：（2）存在存在(设为设为A);(3)（1）f(x)在某邻域在某邻域 内有定义内有定义；X0Ay=f(x)(1)f(x)在在 x0 处无定义处无定义X0y=f(x)(3)f(x)在在 x0 处出现跳跃处出现跳跃(4)X0y=f(x)f(x)在在 x0 附近无界附近无界f(x)在在x=0附近无限震荡附近无限震荡(5)Ay=f(x)(2)X0f(x)在在 x0 处有定义处有定义间断点的分类：间断点

9、的分类：1、第一类间断点：第一类间断点：2、第二类间断点：第二类间断点：(1)若若 ,又又称称 x0为函数为函数 f(x)的的 可去间断点可去间断点（2）若若 ,又称又称 x0 为函数为函数 f(x)的的跳跃间断点跳跃间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点注：注：一个新的连续函数：一个新的连续函数：所以所以，新函数，新函数F(x)在在 x0 处连续处连续 由于此时有由于此时有例例 讨论下列函数的连续性：讨论下列函数的连续性：解解(1)当当 x0 时时,x 属于初等函数属于初等函数的定义区间的定义区间,于是于是 f(x)在在 x 处连续处连续当当 x=0 时时,f(x)无定义无定

10、义,可知可知 x=0 是间断点是间断点由于由于所以所以,x=0 是可去间断点是可去间断点(2)当当 x0 时时,x 属于属于初等函数初等函数 的定义区的定义区间，可知间，可知 x 0 是函数是函数 f(x)的连续点的连续点当当 x=0 时时,f(x)无定义无定义,可知可知 x=0 是间断点是间断点由于由于所以所以,x=0 是函数是函数 的第二类的第二类间断点间断点.(3)当当 x0 时时,x 属于属于初等函数初等函数 的定义区间的定义区间,于是于是 f(x)在在 x 处连续处连续当当 x=0 时时,f(x)无定义无定义,可知可知 x=0 是是间断点间断点因为因为所以所以,x=0 是是函数函数

11、的跳跃间断点的跳跃间断点例例 讨论函数讨论函数 的连续性的连续性解解在分段点在分段点 x=0 处处,当当 x 0 时时,f(x)在在 x=2n 处无定义处无定义,可知可知 x=2n是是间断点间断点 于是于是 f(x)在在 x=0 处连续处连续又因又因所以所以,x=2n 是是 f(x)的第二类间断点的第二类间断点,而在其余的而在其余的 x 0 的点处的点处 f(x)连续连续 当当 x 0 时时,f(x)在在 x=-1 处无定义处无定义,可知可知 x=-1是是f(x)间断点间断点.又又不存在不存在,所以所以,x=-1 是是 f(x)的第二类间断点的第二类间断点 而在其余的而在其余的 x 0 的点处

12、的点处 f(x)连续连续 定理定理（基本原理）基本原理）有限闭区间有限闭区间a,b上的连续上的连续函数函数f(x),其值域也是闭区间其值域也是闭区间m,M.0abMmyx4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质注意：注意：定理中的两个重要条件：定理中的两个重要条件：闭区间闭区间；连续性连续性不可少不可少，否则结论未必成立，否则结论未必成立最最值值与最与最值值点概念点概念定义定义例如例如定理定理(最值定理最值定理)若若 f(x)C a,b ,则则 f(x)必能在必能在 a,b 上取得最大值上取得最大值 M,最小值最小值 m,即存在两数即存在两数证明证明由基本原理知：由基本原理知：f(a,

13、b )=m,M 所以所以,f(x)在在 处取得最小值处取得最小值,在在 处取得最大值处取得最大值缺缺 闭区间：闭区间：缺缺 连续性：连续性：定理（有界定理）定理（有界定理）若若 f(x)C a,b ,则则 f(x)在在 a,b 上有界上有界 证明证明由基本原理知：对任意由基本原理知：对任意 x a,b 有有m f(x)M所以所以 f(x)在在 a,b 上有界上有界 注意：注意：定理中的两个重要条件：闭区间定理中的两个重要条件：闭区间；连续性；连续性一般不可减弱一般不可减弱，否则结论未必成立，否则结论未必成立定理定理(介值定理介值定理)若若 f(x)C a,b ,则对任意则对任意 介于介于 f(

14、a),f(b)之间的值之间的值 c,存在存在 使使证明证明如果如果 f(a)=f(b)=c,则可取则可取下设下设 f(a)f(b),不妨设不妨设 f(a)f(b),则对则对 据基本原理知据基本原理知 mc M，y=f(x)f(a)f(b)cab几何意义：几何意义：任意任意 f(a)c f(b),定理定理(零点存在定理零点存在定理)若若 f(x)C a,b ,f(a)f(b)0,则存在则存在使使证明证明因为因为 f(a)与与 f(b)异号异号,则则取取 c=0,利用介值定理知利用介值定理知,存在存在 使使几何意义：几何意义：y=f(x)abf(a)0 f(b)或或 f(b)0 f(a)例例证明：

15、方程证明：方程 在在(1,2)中有实根中有实根.证明证明设设则则 f(x)C(R).又又 f(1)=-1,f(2)=3,根据零点存在定理根据零点存在定理,存在存在使使即方程即方程 在在(1,2)中有实根中有实根.例例证明证明 因为因为如果如果 f(x)在在 a,b 上连续上连续,且且 f(a)b,证明：在证明：在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点,使使(转化为零点问题转化为零点问题)令令 F(x)=f(x)-x,此时此时 F(x)C a,b ,且有且有根据零点存在定理根据零点存在定理,存在存在 使使即即例例求证方程求证方程在在 及及 中有根中有根,其中其中 是正数是正数 证明证明 当当 时时,构造辅助函数构造辅助函数此时此时 F(x)在在 R 上连续上连续,而且而且根据零点存在定理根据零点存在定理,存在存在 使使即即设设 f(x)C a,b ,且且 a c d b,求证求证：在：在 a,b 内至少存在一点内至少存在一点 使使其中其中 p,q 为正常数为正常数 证明证明原等式原等式因为因为 f(x)C a,b ,根据最值定理根据最值定理,于是于是m f(x)M ,x a,b 上能取得最大值上能取得最大值 M 和最小值和最小值 m,f(x)在在 a,b 根据介值定理根据介值定理,存在存在 使使由于由于从而从而