高数函数极限与连续.ppt

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1、函数、极限与连续一、函数二、函数的极限三、函数的连续与间断 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 函数1、函数的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数两要素：定义域和对应法则例1、下列各组函数是否相同?为什么?不同不同相同机动 目录 上页 下页 返回 结束 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2.分段函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2、解:故所求定义域为机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yx o 3.函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果

2、对于区间I上任意两点 及，当 时，恒有：(1),则称函数 在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数 在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。xoy机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)函数的有界性:x oy-11机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如 函数链:但函数链 不能构成复合函数.可定义复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3、设函数求机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 例4、设求求练习1、设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5、求 的定义域.练习2、设 的定义域为0,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6、练习3、将 分解成几个简单 函数的复合.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,在定义域上可用一个式子表示的函数,称为经过有限次四则运算和复合运算所构成,初等函数.可表为 故为初等函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7、机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、自变量趋于有限值时函数的极限 二、函

4、数的极限 自变量变化过程的六种形式:1、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:3、无穷小与无穷大4、两个重要极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 5、无穷小阶的比较1、自变量趋于无穷大时函数的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、自变量趋向有限值时函数的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限:右极限：2）单侧极限:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1、求 当从0左右两侧趋近于0时，的表达式不一样,须考察左右极限.解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 左右极限存在但不相等,例2、解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习1、设求极限机动

5、 目录 上页 下页 返回 结束 3、无穷小与无穷大定理2.有限个无穷小的和还是无穷小.定理1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例：反例：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3、解：“抓大头”机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：例4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：例5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、两个重要极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6、求下列极限：机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义:5、无穷小阶的比较机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用等价无穷小:注：利用等价无穷小计算极限是一种基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不能滥用等价无穷小

6、代换.切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中的各个无穷小不能分别代换.注意：例7、解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8、错误解法：正确解法：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9、证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求4.试确定常数 a，b 使练习题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 可见,函数在点三、函数的连续与间断1、定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1、基本初等函数在定义域内是连续的.定理2、一切初等函数在其定义区间内都连续.定义区间是指

7、包含在定义域内的区间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 例1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、间断点(不连续的点)分类:第一类间断点:及均存在.若也称若也称第二类间断点:及中至少一个不存在,也称若其中有一个为振荡,也称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.特别地，特别地，机动 目录 上页 下页 返回 结束 为第二类间断点中的无穷间断点.为第二类间断点中的振荡间断点.为第一类间断点中的可去间断点.例2、求下列函数的间断点及其类型机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)为第一类中的跳跃间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:若函数在开区间上连

8、续,则结论不一定成立.3、闭区间上连续函数的性质最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上即:设则 使一定有最大值和最小值.或在闭区间内有间断点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如,推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2(介值定理):设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点使至少有定理3(零点定理):至少有一点使机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3、证明方程一个根.证:显然又根据零点定理,至少存在一点使 即在区间内至少有练习3、至少有一个不超过 4 的正根.证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4、证：由零点定理,练习4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题：机动 目录 上页 下页 返回 结束