埃尔米特插值.ppt

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1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第六节第六节 埃尔米特插值埃尔米特插值 在某些问题中，为了保证插值函数能更好地密在某些问题中，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，不但要求合原来的函数，不但要求“过点过点”，即两者在节点，即两者在节点上具有相同的函数值，而且要求上具有相同的函数值，而且要求“相切相切”，即在节，即在节点上还具有相同的导数值，这类插值称之为点上还具有相同的导数值，这类插值称之为切触插切触插值值，或称为，或称为埃尔米特（埃尔米特（Hermite）插值插值，这是泰勒，这是泰勒插值和拉格朗日插值的综合和推广。插值和拉格朗日插值的综合

2、和推广。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作一、回忆一、回忆1、泰勒插值，特点：多项式；插值条件：、泰勒插值，特点：多项式；插值条件：2、拉格朗日插值，特点：多项式；插值条件：、拉格朗日插值，特点：多项式；插值条件：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、二、Hermite插值插值1、二次插值、二次插值可能有的插值条件可能有的插值条件条件条件1：条件条件2：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、问题、问题5：求作二次多项式，满足：求作二次多项式，满足

3、设用这一插值函数设用这一插值函数 逼近某个取值逼近某个取值为为 的函数的函数 ，那么，从图形上，那么，从图形上看，曲线看，曲线 与与 不但有两个交点不但有两个交点 ，而且在点，而且在点 处两者还相切。处两者还相切。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、问题、问题5的求解的求解法法1：基于承袭性方法：基于承袭性方法条件为条件为如何确定如何确定c？线性线性Lagrange插值多项式插值多项式内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作法法2：用基函数方法，取下列插值函数：用基函数方法，取下列插值函数如果插值节

4、点为如果插值节点为0，1的基函数为：的基函数为：其中其中 是二次函数，满足下列条件：是二次函数，满足下列条件：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作类似地类似地,有任意点时的插值公式，其中如果插值有任意点时的插值公式，其中如果插值节点为节点为 的基函数为：的基函数为：注意：通过如下变换可得到上述插值公式。注意：通过如下变换可得到上述插值公式。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作问题：如何画出这些基函数的图形？问题：如何画出这些基函数的图形？抓住在节点抓住在节点“过点过点”和和”相切相切”的特点的特点!

5、节点处函节点处函数值相等数值相等节点处导节点处导数值相等数值相等要求：要求：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、高次插值、高次插值仿照上述类似地求其插值多项式！仿照上述类似地求其插值多项式！内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作5、Hermite插值

6、问题插值问题若已知函数 在插值区间 上 个 互异的节点 处的函数值 及一阶导数值 ，求插值函数 满足条件：（a）是一个次数不超过 次的多项式；（b）内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作6、Hermite插值余项插值余项定理定理 若 在插值区间 内有 阶导数 ，则对于任何 ，Hermite插值问题（a）、（b）的余项为其中式中 只与 有关。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作证明：证明：由由Hermite插值问题条件（插值问题条件（b）得得所以所以故故 有有 个二重零点：个二重零点：于是，可设于是，可

7、设内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作可知可知 在区间在区间 上有上有 个二重零点个二重零点 和一个单和一个单零点零点 。将上式与定理中要证明的（将上式与定理中要证明的（*）进行比较，可知只需证明）进行比较，可知只需证明先将先将 看作不同于看作不同于 的定值，作辅助函数的定值，作辅助函数则有则有又由插值条件（又由插值条件（b）,得得内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作又由又由由由Rolle定理，定理，在点在点 之间至少有之间至少有 零零点点 ，且，且 仍然是仍然是 的零点。的零点。因此，因此，在在

8、内至少有内至少有 个零点。同理，个零点。同理，在在 内至少有个内至少有个 零点。依次类推，反复运用零点。依次类推，反复运用Rolle定理，定理，最后得最后得 在在 内至少有一个零点内至少有一个零点 ，使，使得得内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作小小 结结在节点一定的条件下，可以多种构造插值条件；在节点一定的条件下，可以多种构造插值条件；埃尔米特插值具有少节点得到高次插值多项式的特点；埃尔米特插值具有少节点得到高次插值多项式的特点；插值多项式灵活多样；插值多项式灵活多样；构造插值多项式的过程：注意算法的承袭性，并使用构造插值多项式的过程：注意算法的承袭性，并使用Lagrange插值多项式和待定系数。插值多项式和待定系数。作业：作业：p54 5,6,7,12,14,17