212异面直线所成的角.ppt

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1、异面直线所成的角异面直线所成的角复习：n n1 1、异面直线的概念：、异面直线的概念：、异面直线的概念：、异面直线的概念：我们把我们把我们把我们把_叫做异面直线叫做异面直线叫做异面直线叫做异面直线2、空间两条直线的位置关系有且只有空间两条直线的位置关系有且只有_种种：_n n3 3、平行公理、平行公理、平行公理、平行公理4 4：_n n 。（平行线的传递性）。（平行线的传递性）。（平行线的传递性）。（平行线的传递性）4、等角定理：、等角定理：_ _不同在任一平面内的两条直线不同在任一平面内的两条直线不同在任一平面内的两条直线不同在任一平面内的两条直线三三相交、平行、异面。相交、平行、异面。平行

2、于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行空间中如果两个角的两边分别平行，空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。若若ac，bc 则则ab其特点是其特点是既不相交也不平行既不相交也不平行问题问题1：正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为BC的中的中点，判断直线点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线与直线AB的位置关系。的位置关系。ABCDABCD1111E说明：说明：从位置关系来看，同为异面从位置关系来看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同直线

3、，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用的，说明仅用“异面异面”来考虑异面来考虑异面直线间的相对位置是不够的。直线间的相对位置是不够的。问题问题2：用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？距离和角距离和角问题问题3：一张纸中画有两条能相交的直线一张纸中画有两条能相交的直线a、b（但（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出a、b所成角的大小？其理论依据是什么？所成角的大小？其理论依据是什么？ab问题问题4：能否将上述结论推广到空

4、间两直线？能否将上述结论推广到空间两直线？b异面直线所成角的定义：异面直线所成角的定义：异面直线所成角的定义：异面直线所成角的定义：直线直线直线直线a a、b b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O O，分别引，分别引，分别引，分别引直线直线直线直线a/aa/a，b/bb/b，把直线，把直线，把直线，把直线a a 和和和和b b 所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）叫直线叫直线叫直线叫直线a a和和和和b b所成的角。所成的角。所成的角。所成的角。思考：思考：两条异面直线所

5、成角的大小是否随空间任意点两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？位置的不同而改变？点点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。abaOOO1abb1a1探究探究:（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直垂直,那么那么,另一条直线是否也与这条直线垂直另一条直线是否也与这条直线垂直?（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?即即ab，若，若ac，则，则bc下面我们来探究更一般的角的问题下面我们来探究更一般的角的问题abc巩固、提高巩固、提高 例

6、例1、在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：（1）A1B与与CC1所成的角；所成的角；D1ABCDABC111分析：分析：（1）B1B/CC1 A1BB1为为A1B与与CC1所成的角所成的角 在在A1BB1中，中，A1B1=BB1；A1BB1=45oA1B与与CC1所成的角为所成的角为45o-找找-证证-算算-答答巩固、提高巩固、提高 例例例例1 1、在正方体在正方体在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：中，求：中，求：（1 1）A A1 1B B与与与与CCCC1 1所成的角；所成的角；所成的角；所成的角；口答口答口答口答（2 2）A A1 1B B1 1

7、与与与与C C1 1C C所成的角；所成的角；所成的角；所成的角；（3 3）A A1 1C C1 1与与与与BCBC所成的角；所成的角；所成的角；所成的角；（4 4）A A1 1C C1 1与与与与D D1 1C C所成的角。所成的角。所成的角。所成的角。ABCDABCD1111（2）A1B1B=90o （3）A1C1B1=45o（4）BA1C1=600小小结结二：求异面直二：求异面直线线所成的角一般要有四个步所成的角一般要有四个步骤骤：简记为简记为“作（找）作（找）证证算算答答”。（1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等；图形等；（2）证

8、明：证明所给图形是符合题设要求的；）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。（4）结论。）结论。小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做方法叫做平移法，其基本解题思路是平移法，其基本解题思路是“异面化共异面化共面，认定再计算面，认定再计算”，变变式一：式一：（07福建卷）福建卷）如如图图，在正方体，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分分别为别为AA

9、1、AB、BB1、B1C1的中点，的中点，则则异面直异面直线线EF与与GH所所成的角等于（成的角等于（）A.45 B.60 C.90 D.120 步骤步骤“作（找）作（找）证证算算答答”ABCDABCD1111EGFH解：连接解：连接A1B，BC1，A1C1 A1B/EF，BC1/GHA1B C1为为EF1与与GH所成的角所成的角在三角形在三角形A1BC1中，中，A1B=BC1=A1C1A1B C1=60 异面直线异面直线EF与与GH所成的角等于所成的角等于60n n例例2、在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，A A1=AB=2，AD=1，求异面直线，求异面直线A1C1与与BD1所

10、成所成的角的余弦值。的角的余弦值。ABCDABCD1111变式变式2：（：（05福建卷）如图，长方体福建卷）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1=AB=2，AD=1，E、F、G分别分别是是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线的中点，则异面直线A1E与与GF所成所成的角是的角是_。ABCDABCD1111EFG变式变式3：在正四面体在正四面体SABC中，中，SABC，E、F分别分别为为SC、AB的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线EF与与SA所成的角所成的角等于（等于（）（A）30 （B）45 （C）60 （D）90 ACBSEF课堂小结：课堂小结：n n1 1、异面直线所成

11、角的定义、范围及其求解。在求解中，、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点一定要紧扣定义中点一定要紧扣定义中点一定要紧扣定义中点O O的任意性，恰当选择。的任意性，恰当选择。的任意性，恰当选择。的任意性，恰当选择。n n2 2、计算角的大小，要遵循、计算角的大小，要遵循、计算角的大小，要遵循、计算角的大小，要遵循“作作作作证证证证算算算算答答答答”四步骤。四步骤。四步骤。四步骤。n n3 3、求解异面直线所成的角的方法是、求解异面直线所成的角的方法是、求解异面直线所成的角的

12、方法是、求解异面直线所成的角的方法是“平移法平移法平移法平移法”，也即，也即，也即，也即“化异面为共面化异面为共面化异面为共面化异面为共面”，“化空间为平面化空间为平面化空间为平面化空间为平面”，它突出体现，它突出体现，它突出体现，它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于直观性不强，则要懂得将平面图形单独分

13、离，有利于计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。围的约束。围的约束。围的约束。课后作业：课后作业：n n课本第课本第课本第课本第4848页练习第页练习第页练习第页练习第2 2题。题。题。题。n n补充：补充：补充：补充：n n1 1、空间四边形、空间四边形、空间四边形、空间四边形ABCDABCD中，中，中，中，PRPR分别分别分别分别是是是是ABAB、CDCD的中点，且的中点，且的中点，且的中点，且PRPR=，AC=BDAC=BD=2=2，求，求，求，求ACAC与与与与BDBD所成的角。所成的角。所成的角。所成的角。n n2 2、正方体、正方体、正方体、正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，中，中，MM为为为为ABAB的中点，的中点，的中点，的中点，N N为为为为BBBB1 1的中点，的中点，的中点，的中点，求求求求A A1 1MM与与与与C C1 1N N所成角的余弦值。所成角的余弦值。所成角的余弦值。所成角的余弦值。DABCRPABCDABCD1111