《异面直线及所成的角》.ppt

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1、一、基础知识一、基础知识2 2、空间两条直线的位置关系：、空间两条直线的位置关系：异面直线异面直线相交直线相交直线平行直线平行直线共面直线共面直线1 1、异面直线的定义：、异面直线的定义：不同在不同在任何一个平面内任何一个平面内的两条直线叫作异面直线的两条直线叫作异面直线空间两条直线空间两条直线连结平面内一点连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线过此点的直线是异面直线3 3、异面直线的画法：、异面直线的画法：平面平面衬托法衬托法4 4、异面直线的判断、异面直线的判断（1 1）、异面直线的判定定理）、异面直线的判定定理（2 2

2、）、反证法）、反证法AB5 5、异面直线成的角、异面直线成的角（1 1）、定义：）、定义：（2 2）、取值范围（）、取值范围（0 00 0，90900 0 （3 3）、作法：平移法或补形法）、作法：平移法或补形法(4) (4) 两条直线互相垂直两条直线互相垂直 相交直线的垂直相交直线的垂直 异面直线的垂直异面直线的垂直 分别平行于两条异面直线分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角做这两条异面直线所成的角设图中的正方体的棱长为a，A1ABB1CDC1D1图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线求异面直线A1B与C1C的

3、夹角的度数图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直例题例题1例题例题2、.下面两条直线是异面直线的是（）下面两条直线是异面直线的是（）A.不同在一个平面内的两条直线；不同在一个平面内的两条直线；B.分别在某两个平面内的两条直线；分别在某两个平面内的两条直线；C.既不平行又不相交的两条直线；既不平行又不相交的两条直线；D.平面内的一条直线和平面外的一条直线平面内的一条直线和平面外的一条直线C例题例题3.若若a,b是异面直线，是异面直线，b,c是异面是异面直线，则直线，则a,c的位置关系是（）的位置关系是（）A.相交、平行或异面相交、平行或异面B.相交或平行相交或平行C.异面异面D.平行或异面平行或异

4、面BADCA1B1C1D1例例4、如图：如图：a,b,c为不共面的三条直线为不共面的三条直线,且相交于一点且相交于一点O,点点M,N,P分别在直线分别在直线a,b,c上上,点点Q是是b上异于上异于N的点的点,判断判断MN与与PQ的位置关系的位置关系,并予以证明。并予以证明。PQabc D1BADCA1B1C1FE解：解：例例5(法一法一)、在棱长是在棱长是a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点中，点E,F分分 别是别是BB1,CC1的的中点，求直线中点，求直线AE与与BF所成的角所成的角.例例5(法二法二)、在棱长是在棱长是a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点中，点E

5、,F分分 别是别是BB1,CC1的的中点，求直线中点，求直线AE与与BF所成的角所成的角.BADCA1B1C1FED1解：解：例例5(法三法三)、在棱长是在棱长是a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点中，点E,F分分 别是别是BB1,CC1的的中点，求直线中点，求直线AE与与BF所成的角所成的角.BADCA1B1C1FED1解：解：K变式一、变式一、M，N为为A1B1，BB1的中点的中点,求求AM与与CN所成的角所成的角BADCA1B1C1ND1M D1BADCA1B1C1ED1BADCA1B1C1EE1B2B3变式二、求变式二、求AE与与BD1所成的角所成的角直三棱柱直三棱柱AB

6、CABCA A1 1B B1 1C C1 1 中中角角ACBACB90900 0， D D1 1，F F1 1分分别是别是A A1 1B B1 1与与A A1 1C C1 1的中点。的中点。若若BCBCCACACCCC1 1，求，求BDBD1 1 与与AFAF1 1这两条异面直线所成这两条异面直线所成的角。的角。AA1CBB1C1F1D1分析：恰当的平移是将异面直线所成的角分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。转化为平面中的角的关键。例例6思路一：取思路一：取BCBC中点中点G G，连结连结F F1 1G G，则角，则角AFAF1 1G G（或其补角）（或其补角）为异面为

7、异面直线所成的角；解三直线所成的角；解三角形角形AFAF1 1G G可得可得。ABCA1B1C1D1F1GB思路二、延展平面思路二、延展平面BAABAA1 1B B1 1，使，使A A1 1E ED D1 1A A1 1，则将则将BDBD1 1平移到平移到AEAE，角角EAFEAF1 1（或其补角（或其补角 ）即为即为BDBD1 1与与AFAF1 1所成的角。所成的角。AA1CB1F1D1E例例7A为正三角形为正三角形BCD所在平面外一点，且所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱分别是棱AD、BC的中的中点，连结点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线，如图所示，求异面直

8、线AF、CE所成角的余弦值。所成角的余弦值。 ABCDEFG解：解：连结连结DF，取，取DF的中点的中点G，连结，连结EG，CG，又，又E是是AD的中点，故的中点，故EG/AF，所以所以GEC（或其补角）是异面直线（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。所成的角。.4321aAFEG.43232121aABDFFG.47)21()43(2222aABABFCFGCG.32cosGECEGC中用余弦定理得在异面直线异面直线AF、CE所成角的余弦值是所成角的余弦值是 32例例7A为正三角形为正三角形BCD所在平面外一点，且所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱分别是棱AD、

9、BC的中的中点，连结点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。所成角的余弦值。 ABCDEFP另解另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，AP/EC。 故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。 ,23aAF .27120cos222aPCFCPCFCPF.32aECAP.32cos,PAFPAF得中应用余弦定理异面直线AF、CE所成角的余弦值是 32注意注意补形平移补形平移直接平移，直接平移，中位线平移，中位线平移，、平移：、平移：、若用余弦定理求出、若用余弦定理求出cos，则异，则异面直线所成的角为面直线所成的角为如：若求出如：若求出51cos则异面直线所成的角的余弦值为则异面直线所成的角的余弦值为51cos求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤3、 解三角形，求出解三角形，求出2、 找出角找出角，证明，证明即为所求角即为所求角1 、平移、平移(作平行线作平行线)三、小结三、小结1.1.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系2.2.异面直线及所成的角，重点是角异面直线及所成的角，重点是角求解方法求解方法