人教版高中数学 二项式定理性质课件 新人教A选修23.ppt

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1、二二二二 项项项项 式式式式 定定定定 理理理理 (2 2)2021/8/9 星期一1复习提问复习提问 1.二项式定理的内容二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-kbk+Cnbn01kn右右边多多项式叫式叫(a+b)n的二的二项展开式；展开式；2.二二项式系数式系数:3.二二项展开式的通展开式的通项Tk+1=针对(a+b)n的的标准形式而言准形式而言(b+a)n，(a-b)n的通的通项则分分别为:4.在定理中，令在定理中，令a=1，b=x，则2021/8/9 星期一2观察猜想观察猜想 展开式的二项式系数展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪有什么变化

2、规律？二项式系数最大的是哪一项？一项？(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-rbr+Cnbn01rn为了为了研究它的一般规律，我们先来观察研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？数有什么特点？2021/8/9 星期一3 当当 时，求时，求 展开式的展开式的二项式系数，及二项式系数的和。二项式系数，及二项式系数的和。2021/8/9 星期一4 把（把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当展开式的二项式系数取出来，当n依次取依次取1，2，3，时，可列成下表：时，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(

3、a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)1 在我国在我国,很早很早就有人研究过二就有人研究过二项式系数表项式系数表,南南宋数学家杨辉在宋数学家杨辉在其所著的其所著的详解详解九章算法九章算法中就中就有出现有出现.2021/8/9 星期一5 当当 时，求时，求 展开式的展开式的二项式系数，及二项式系数的和。二项式系数，及二项式系数的和。通过观察，通过观察，二项式系数有什么特点？二项式系数有什么特点？二项式系数求和：二项式系数求和：20

4、21/8/9 星期一6(a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1性质性质联系函数联系函数观察二项式系数表，寻求其规律：观察二项式系数表，寻求其规律：不难发现不难发现,表中每行两端都是表中每行两端都是1 1，与这两个与这两个1 1等距离等距离的系数相等；的系数相等；而且而且在相邻的两行中，在相邻的两行中，除除1 1以外的每一个以外的每一个数都等于它肩上两个数的和数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。；同一行中系数先增后减。2021/8/9 星期一7(

5、a+b)n展开式的二项式系数依次是展开式的二项式系数依次是:(1)(1)对称性对称性:与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值.增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小.(2)(2)递推性递推性:除除1 1以外的每一个数都以外的每一个数都等于它肩上两个数的和等于它肩上两个数的和.2021/8/9 星期一8(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值.增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小.所以 相对于 的增减情况由 决定 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中

6、间项取得最大值。2021/8/9 星期一9 还还可运用函数的观点，结合可运用函数的观点，结合“杨辉三角杨辉三角”和函数图象，研和函数图象，研究二项式系数的性质究二项式系数的性质 (a+b)n展开式的二项式系数是展开式的二项式系数是 可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数f(r),),其定义域是其定义域是0,1,2,0,1,2,n,对于确定的对于确定的n,n,可以画出它的图像。可以画出它的图像。例如：例如：当当n=6=6时，其图象是右图中时，其图象是右图中的的7 7个孤立点个孤立点.-1084621620f(r).369r2021/8/9 星期一10例题分析例题分析:例例1证明：证明

7、：（1）(a+b)n 的展开式中的展开式中,各二项式系数各二项式系数 的和的和 启示：启示：在二项式定理中在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我可以取任意实数，因此我们可以通过们可以通过对对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法有关问题的一种重要方法赋值法赋值法。令令a=b=1，则，则2021/8/9 星期一111答案答案2答案答案继续思考继续思考1:1:（2 2）试证明在试证明在(a+b)n的展开式中，奇数的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：证明：在展开式证

8、明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 小结小结：赋值法赋值法在二项式定理中，在二项式定理中，常常对对a,b赋予一些特赋予一些特定的值定的值1，-1等来整体得到所求等来整体得到所求。2021/8/9 星期一12赋值法2021/8/9 星期一13例22021/8/9 星期一14小结：小结：求奇次项求奇次项系数之和与系数之和与偶次项系数的和偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解可以先赋值，然后解方程组整体求解思考：思考：2021/8/9 星期一15 1.1.当当n n 1010时常用杨辉三角处理二项式时常用杨辉三角处理二项式系数问题系数问题;2.2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式利

9、用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值系数的对称性、增减性和最大值;3.3.常用赋值法解决二项式系数问题常用赋值法解决二项式系数问题.课外思考课外思考:1.求证：求证：2.(12.(1x )1313 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 ()()(A)(A)第六项第六项 (B)(B)第七项第七项 （C C）第八项）第八项 (D)(D)第九项第九项C2021/8/9 星期一16 类似上面的表类似上面的表,早在我国南宋数学家早在我国南宋数学家杨辉杨辉12611261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还

10、说出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里明了表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上以外的每一个数都等于它肩上两个数的和两个数的和，杨辉指出这个方法出于，杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家算书，且我国北宋数学家贾宪贾宪（约公元（约公元1111世纪）世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于1111世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕帕斯卡斯卡（1623-16621623-1662）首先发现的，他们把这个表）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现叫做帕斯卡三角。这就

11、是说，杨辉三角的发现要比欧洲要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见我国古代数，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的学的成就是非常值得中华民族自豪的.2021/8/9 星期一17思考思考32答案答案思考思考2 2求证求证:略证：由略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开，两边展开后比较后比较xn的系数得：的系数得：再由再由 得得2021/8/9 星期一18思考思考:求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法2021/8/9 星期一19思考思考3.在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项二项式系数最大的项式系数最大的项;(2);(

12、2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项;解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项.则则 即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为2021/8/9 星期一20（3）因为系数为正的项为奇数项，故可）因为系数为正的项为奇数项，故可设第设第2r-1项系数最大。（以下同项系数最大。（以下同2）r=5.即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为2021/8/9 星期一21再见2021/8/9 星期一22