人教版高中数学 11.3.1二项式定理精品课件同步导学 新人教A选修23.ppt

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1、1.3二二项项式定理式定理2021/8/9 星期一113.1二项式定理二项式定理2021/8/9 星期一22021/8/9 星期一31会会证证明二明二项项式定理式定理2掌握二掌握二项项式定理及其展开式的通式定理及其展开式的通项项公式公式3能解决与二能解决与二项项展开式有关的展开式有关的简单问题简单问题.2021/8/9 星期一41二二项项式定理的式定理的证证明明(难难点点)2利用通利用通项项公式求特定公式求特定项项或其系数或其系数(重点重点)3二二项项式系数与二式系数与二项项展开式中某展开式中某项项的系数的系数(易混点易混点)2021/8/9 星期一52021/8/9 星期一6牛牛顿顿善善于于

2、在在日日常常生生活活中中思思考考，他他取取得得了了科科学学史史上上一一个个个个重重要要的的发发现现有有一一次次，他他在在向向一一位位姑姑娘娘求求婚婚时时思思想想又又开开了了小小差差，他他脑脑海海中中只只剩剩下下了了无无穷穷量量的的二二项项式式定定理理，他他抓抓住住姑姑娘娘的的手手指指，错错误误地地把把它它当当成成通通烟烟斗斗的的通通条条，硬硬往往烟烟斗斗里里塞塞，痛痛得得姑姑娘娘大大叫，离他而去牛叫，离他而去牛顿顿也因此也因此终终生未娶生未娶那么，什么是二那么，什么是二项项式定理？式定理？二二项项式定理的无式定理的无穷穷魅力在哪里？魅力在哪里？2021/8/9 星期一7二项式定理二项式定理二二

3、项项式定理式定理概念概念公式公式 称为二项式定理称为二项式定理二二项项式式系数系数各项的系数各项的系数Cnr(r0,1,2，n)二二项项式式通通项项Cnranrbr是展开式中的第是展开式中的第 项项，可，可记记作作Tr1Cnranrbr.二二项项展展开式开式Cn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn.备备注：在二注：在二项项式定理中，如果令式定理中，如果令a1，bx，则则得到公式得到公式(1x)n .(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbnr11Cn1xCn2x2CnrxrCnnxn2021/8/9 星期一81(1x)10展开式中展开式中x3项项的系数的系数为为()

4、A720 B720C120 D120解析：解析：Tr1C10r(x)r，令令r3，则，则T4C103x3120 x3.答案：答案：C2021/8/9 星期一92021/8/9 星期一10答案：答案：D2021/8/9 星期一11 答案：答案：202021/8/9 星期一124已知已知(12x)5展开式中第展开式中第2项项大于第大于第1项项而不小于第而不小于第3项项，求求x的取的取值值范范围围2021/8/9 星期一132021/8/9 星期一142021/8/9 星期一152021/8/9 星期一162021/8/9 星期一17题后感悟题后感悟方法二较为简单，在展开二项式之前根据二方法二较为简

5、单，在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化记准、记熟二项式记准、记熟二项式(ab)n的展开式，是解答好与二项式定的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更简便开，会更简便.2021/8/9 星期一18解析：解析：(1)(a2b)4C40a4C41a3(2b)C42a2(2b)2C43a(2b)3C44(2b)4a48a3b24a2b232ab316b4.2021/8/9 星期一192021/8/9 星期一202

6、021/8/9 星期一21 化化简简：Cn0(x1)nCn1(x1)n1(1)kCnk(x1)nk(1)nCnn.由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：展开式是关于展开式是关于x1的单项式；的单项式；x1的指数最高次为的指数最高次为n，依次递减至，依次递减至0，且每项的指数等，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差于对应的组合数的下标与上标的差解答本题可先把解答本题可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解二项式定理求解2021/8/9 星期一22解解题题过过程程原原式式Cn0(x1)nCn1(x1)n1(1)Cn2(x 1)n

7、 2(1)2 Cnk(x 1)n k(1)k Cnn(1)n(x1)(1)nxn.题后感悟题后感悟本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x1换元为换元为a，再分析结构形式，则变得简单些，再分析结构形式，则变得简单些 2021/8/9 星期一232.(1)设设 n为为 自自 然然 数数，化化 简简 Cn02n Cn12n 1 (1)kCnk2nk(1)nCnn.(2)设设S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1，它它等等于于()A(x2)4B(x1)4

8、Cx4 D(x1)42021/8/9 星期一24解解析析：(1)原原式式Cn02n10Cn12n111(1)kCnk2nk(1)nCnn20(21)n1.(2)S(x1)14x4.答案：答案：(2)C2021/8/9 星期一252021/8/9 星期一262021/8/9 星期一27答案：答案：D2021/8/9 星期一282(2011福福建建高高考考)(12x)5的的展展开开式式中中，x2的的系系数数等等于于()A80 B40C20 D10解解析析：(12x)5的的第第r1项项为为Tr1C5r(2x)r2rC5rxr，令令r2，得，得x2的系数为的系数为22C5240.答案：答案：B2021

9、/8/9 星期一29 答案：答案：172021/8/9 星期一30先根据二项式系数比求出先根据二项式系数比求出n，写出通项公式，再根据指定项，写出通项公式，再根据指定项的特点求解的特点求解2021/8/9 星期一31规范解答规范解答(1)依题意有依题意有Cn4 Cn214 3，化简得化简得(n2)(n3)56，解之得解之得n10或或n5(不合题意，舍去不合题意，舍去)n的值为的值为10.4分分2021/8/9 星期一322021/8/9 星期一33题后感悟题后感悟求二项展开式特定项的一般步骤：求二项展开式特定项的一般步骤：2021/8/9 星期一342021/8/9 星期一352021/8/9

10、 星期一36 (1)用二用二项项式定理式定理证证明：明：34n252n1能被能被14整除；整除；(2)求求9192除以除以100的余数的余数策略点睛策略点睛2021/8/9 星期一37解解题题过过程程(1)证证明明：对对被被除除式式进进行行合合理理变变形形，把把它它写写成成恰恰当当的的二二项项式式形形式式，使使其其展展开开后后的的每每一一项项都都含含有有除除式式的的因因式式，即可证得整除即可证得整除34n252n192n152n1(95)52n152n1(145)2n152n1142n 1C2n 11142n5C2n 12142n 152C2n12n1452nC2n12n152n152n114

11、(142nC2n11142n15C2n12142n252C2n12n52n)上上式式是是14的的倍倍数数，能能被被14整整除除，所所以以34n252n1能能被被14整整除除2021/8/9 星期一38(2)方方 法法 一一：9192(100 9)92 10092 C921100919C9221009092C9291100991992，前前面面各各项项均均能能被被100整整除除，只只有有末末项项992不不能能被被100整整除除，于于是是求求992除除以以100的的余余数数992(101)921092C9211091C9221090C9290102C929110(1)921092C9211091C

12、9221090C92901029201(1092C9211091C9221090C92901021 000)81，被被100除的余数为除的余数为81，即，即9192除以除以100的余数为的余数为81.2021/8/9 星期一39方方法法二二：由由9192(901)92C9209092C9219091C9290902C9291901，可可知知前前面面各各项项均均能能被被100整整除除，只只有有末末尾尾两两项项不不能能被被100整整除除，由由于于C92919018 2818 20081，故故9192除除以以100的的余数为余数为81.2021/8/9 星期一40题后感悟题后感悟(1)整除性问题或求

13、余数问题的处理方法整除性问题或求余数问题的处理方法解解决决这这类类问问题题，必必须须构构造造一一个个与与题题目目条条件件有有关关的的二二项项式式用用二二项项式式定定理理处处理理这这类类问问题题，通通常常把把被被除除数数的的底底数数写写成成除除数数(或或与与除除数数密密切切关关联联的的数数)与与某某数数的的和和或或差差的的形形式式，再再用用二二项项式式定定理理展展开开，只只考考虑虑后后面面(或或者者是是前前面面)的的几几项项就就可可以以了了要要注注意意余余数数的的范范围围，acrb这这式式子子中中b为为余余数数，b0，r)，r是是除除数数，利利用用二二项项式式定定理理展展开开式式变变形形后后，若

14、若剩剩余余部部分分是负数要注意转换是负数要注意转换2021/8/9 星期一41(2)利用二项式证明多项式的整除问题利用二项式证明多项式的整除问题关关键键是是将将被被除除式式变变形形为为二二项项式式的的形形式式，使使其其展展开开后后每每一一项项均含有除式的因式若均含有除式的因式若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均均为为多多项项式，式，则则f(x)g(x)h(x)f(x)被被g(x)整除整除f(x)g(x)h(x)r(x)r(x)为为g(x)除除f(x)后得的余式后得的余式 2021/8/9 星期一424.求求证证：133233n1能被能被26整除整除(n为为大于大于1的偶的偶数数)2021

15、/8/9 星期一432021/8/9 星期一441正确理解二项式定理正确理解二项式定理(1)系数系数注注意意二二项项式式系系数数Cnk与与展展开开式式中中对对应应项项的的系系数数不不一一定定相相等等，二二项项式系数一定式系数一定为为正，而正，而项项的系数有的系数有时时可能可能为负为负(2)通通项项通通项项Tk1Cnkankbk，它它是是(ab)n的的展展开开式式的的第第k1项项，这这里里k0,1，n.它它反反映映出出展展开开式式在在指指数数、项项数数、系系数数等等方方面面的的内内在在联联系系，因因此此能能运运用用二二项项展展开开式式的的通通项项公公式式求求特特定定项项、特定特定项项系数系数20

16、21/8/9 星期一45(3)二二项项式定理是一恒等式式定理是一恒等式对对任任意意的的a，b，该该等等式式均均成成立立，通通过过对对a，b取取不不同同的的特特值值，常可得到一些常可得到一些给给解决某些解决某些问题带问题带来方便的特殊等式来方便的特殊等式特特别别提提醒醒二二项项式式(ab)n与与(ba)n的的展展开开式式的的第第k1项项是是不不同同的的，在在解解题题时时题题中中给给出出的的二二项项式式的的两两项项是是不不能能随随便便交交换的，否则会出错误换的，否则会出错误2021/8/9 星期一462二项展开式的结构特征二项展开式的结构特征(1)它有它有n1项项；(2)各各项项的次数都等于二的次数都等于二项项式的次数式的次数n；(3)字字母母a按按降降幂幂排排列列，次次数数由由n递递减减到到0；字字母母b按按升升幂幂排排列列，次数由次数由0递递增到增到n；(4)二二项项展展开开式式中中，系系数数Cnk(k0,1,2，n)叫叫做做第第k1项项的二的二项项式系数，它式系数，它们们依次依次为为：Cn0，Cn1，Cn2，Cnn.这这是是一一组组仅仅与与二二项项式式的的次次数数n有有关关的的n1个个组组合合数数，而而与与a、b无关无关2021/8/9 星期一472021/8/9 星期一482021/8/9 星期一492021/8/9 星期一50