学年高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性课件 新人教B必修1.ppt

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1、2.1.42.1.4函数的奇偶性函数的奇偶性2021/8/8 星期日1目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解函数奇偶性的定理解函数奇偶性的定义义以及奇、偶函数的以及奇、偶函数的图图象性象性质质.2.2.能利用函数奇偶性的定能利用函数奇偶性的定义义判断、判断、证证明函数的奇偶性明函数的奇偶性.3.3.能根据函数奇偶性研究函数的能根据函数奇偶性研究函数的图图象与性象与性质质.素养达成素养达成通通过过函数奇偶性的学函数奇偶性的学习习,培养学生数形培养学生数形结结合及合及逻辑逻辑推理能力推理能力,数学运算、直数学运算、直观观想象的核心素养想象的核心素养.2021/8/8 星期日2新知探求新知探求

2、课堂探究课堂探究2021/8/8 星期日3新知探求新知探求素养养成素养养成点击进入点击进入 情境导学情境导学知识探究知识探究1.奇函数的定义奇函数的定义都有都有x Df(-x)=-f(x)2021/8/8 星期日4偶函数的定义偶函数的定义都有都有-x D2.如果一个函数是奇函数如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以则这个函数的图象是以 为对称中心的中为对称中心的中心对称图形心对称图形;反之反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形形,则这个函数是则这个函数是 .如果一个函数是偶函数如果一个函数是偶函数,则它的图象是以则它

3、的图象是以 为对称轴的轴对称图形为对称轴的轴对称图形.反之反之,如如果一个函数的图象关于果一个函数的图象关于y轴对称轴对称,则这个函数是则这个函数是 .坐标原点坐标原点奇函数奇函数y y轴轴偶函数偶函数2021/8/8 星期日5【拓展延伸拓展延伸】2.函数按奇偶性可分为四类函数按奇偶性可分为四类:(1)奇函数奇函数:对于定义域对于定义域D内的任意一个内的任意一个x,且且-x D,恒有恒有f(-x)=-f(x)成立成立.(2)偶函数偶函数:对于定义域对于定义域D内的任意一个内的任意一个x,且且-x D,恒有恒有f(-x)=f(x)成立成立.(3)既奇又偶函数既奇又偶函数:对于定义域对于定义域D内

4、的任意一个内的任意一个x,且且-x D,恒有恒有f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)成成立立.(4)非奇非偶函数非奇非偶函数:对于定义域对于定义域D内的任意一个内的任意一个x,且且-x D,f(-x)=-f(x)与与f(-x)=f(x)都不都不成立成立.2021/8/8 星期日63.奇函数、偶函数的和差积商奇函数、偶函数的和差积商:在函数的公共定义域上在函数的公共定义域上,偶函数的和、差、积、偶函数的和、差、积、商商(分母不为零分母不为零)仍为偶函数仍为偶函数,奇函数的和差仍为奇函数奇函数的和差仍为奇函数,奇奇(偶偶)数个奇函数的积数个奇函数的积商商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶

5、偶)函数函数.4.若奇函数在原点处有定义若奇函数在原点处有定义,则由奇函数的定义有则由奇函数的定义有f(-0)=-f(0),即即f(0)=0,利用这一利用这一性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题.5.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反间上单调性相反.6.若函数若函数y=f(x+a)是偶函数是偶函数,则则f(x+a)=f(-x+a),此时函数此时函数y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称;若若函数函数y=f(x+a)是奇函数是奇函数,则则f(x

6、+a)=-f(-x+a),此时函数此时函数y=f(x)关于点关于点(a,0)对称对称.2021/8/8 星期日7自我检测自我检测1.函数函数f(x)=x4+2x2的图象的图象()(A)关于原点对称关于原点对称(B)关于关于x轴对称轴对称(C)关于关于y轴对称轴对称(D)关于直线关于直线y=x对称对称C C解析解析:由由f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)知函数为偶函数知函数为偶函数,故图象关于故图象关于y y轴对称轴对称.2021/8/8 星期日82.奇函数奇函数y=f(x)(x R R)的图象必定经过点的图象必定经过点()C解析解析:因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数,所以所以f(

7、-a)=-f(a),f(-a)=-f(a),所以所以f(x)f(x)经过点经过点(-a,-f(a),(-a,-f(a),选选C.C.2021/8/8 星期日9C2021/8/8 星期日104.(2018(2018贵州贵阳期末贵州贵阳期末)已知函数已知函数y=f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,且当且当x0时时,f(x)=2x-3,则则f(-2)的值为的值为.解析解析:因为因为x0 x0时时,f(x)=2x-3.,f(x)=2x-3.所以所以f(2)=22-3=1.f(2)=22-3=1.因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数,故故f(-2)=-f(2)=-1,f(-2)=-f(2

8、)=-1,答案答案:-12021/8/8 星期日11类型一类型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性课堂探究课堂探究素养提升素养提升2021/8/8 星期日12思路点拨思路点拨:利用定义判断利用定义判断.先求定义域先求定义域.在定义域关于原点对称之下在定义域关于原点对称之下,再判断再判断f(-f(-x)=-f(x)x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)是否成立是否成立,从而确定奇偶性从而确定奇偶性.2021/8/8 星期日13(3)f(-2)=(-2)(3)f(-2)=(-2)2 2-2(-2)-1=7,-2(-2)-1=7,f(2)=2f(2)=22 2-22-1=-1.

9、-22-1=-1.所以所以f(-2)-f(2)f(-2)-f(2)且且f(-2)f(2),f(-2)f(2),所以所以f(x)f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.(4)(4)定义域为定义域为(-,0)(0,+).(-,0)(0,+).当当x0 x0时时,-x0,-x0,所以所以f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x=f(x);-x=f(x);当当x0 x0,-x0,所以所以f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-(-x)=x-(-x)=x2 2+x=f(x).+x=f(x).所以所以f(x)f(x)为偶函数为偶函数.2021/8/8 星期日14方法技

10、巧方法技巧(2)(2)若函数定义域关于原点对称且若函数定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)同时成立同时成立,则该则该函数既是奇函数函数既是奇函数,又是偶函数又是偶函数,其形式必为其形式必为f(x)=0,xD(Df(x)=0,xD(D关于原点对称关于原点对称).).2021/8/8 星期日15解解:(1)f(x)(1)f(x)定义域为定义域为R R.因为因为f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3-(-x)=-x-(-x)=-x3 3+x=-(x+x=-(x3 3-x)=-f(x),-x)=-f(x),所以所以f(x)

11、f(x)为奇函数为奇函数.(2)(2)由已知可得由已知可得,函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,1)(1,+),(-,1)(1,+),所以定义域不关于所以定义域不关于原点对称原点对称,所以函数为非奇非偶函数所以函数为非奇非偶函数.2021/8/8 星期日162021/8/8 星期日17类型二类型二 奇、偶函数的图象特点奇、偶函数的图象特点【例例2 2】(2018(2018广西玉林月考广西玉林月考)已知奇函数已知奇函数f(x)在在x0时的图象如图所示时的图象如图所示,则则不等式不等式xf(x)0的解集为的解集为()(A)(1,2)(B)(-2,-1)(C)(-2,-1)(1,2)(

12、D)(-1,1)2021/8/8 星期日18解析解析:因为函数因为函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数,所以图象关于原点对称所以图象关于原点对称,如图如图,补全当补全当x0 x0 x0时时,f(x)0,f(x)0,此时此时1x2;1x2;当当x0 x0,f(x)0,所以此时所以此时-2x-1,2x-1,所以不等式所以不等式xf(x)0 xf(x)0时时,f(x)=x2-2x+1,求求f(x)在在R R上的解上的解析式析式.解解:因为因为f(x)f(x)是是R R上的奇函数上的奇函数,且且x0 x0时时f(x)=xf(x)=x2 2-2x+1,-2x+1,当当x0 x0,-x0,所以所以f(-x

13、)=xf(-x)=x2 2+2x+1,+2x+1,又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2-2x-1.-2x-1.又又f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,则则f(0)=0.f(0)=0.2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24方方法法技技巧巧 利利用用函函数数的的奇奇偶偶性性求求解解函函数数的的解解析析式式,主主要要利利用用函函数数奇奇偶偶性性的的定定义义.求求解解一一般般分分以以下下三三个个步步骤骤:(1):(1)设设所所求求函函数数解解析析式式中中所所给给的的区区间间上上任任一一个个x,x,即即求

14、求哪哪个个区区间间上上的的解解析析式式,就就设设x x在在哪哪个个区区间间上上.(2).(2)把把所所求求区区间间内内的的变变量量转转化化到到已已知知区区间间内内.(3).(3)利利用用函函数数奇奇偶偶性性的的定定义义f(x)=-f(-x)f(x)=-f(-x)或或f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)求求解解所所求求区间内的解析式区间内的解析式.2021/8/8 星期日25变式训练变式训练3 3-1:1:已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+1,+x+1,求求f(x)f(x)的解析式的解析式.2021/

15、8/8 星期日26类型四类型四 奇偶性与单调性的综合应用奇偶性与单调性的综合应用2021/8/8 星期日272021/8/8 星期日28方方法法技技巧巧 (1)(1)解解决决有有关关函函数数的的奇奇偶偶性性、单单调调性性以以及及求求参参数数取取值值范范围围的的综综合合问问题题时时,一一般般先先利利用用奇奇偶偶性性得得出出相相应应区区间间上上的的单单调调性性,再再利利用用单单调调性性脱脱去去函函数数的的符符号号“f f”,转转化化为为解解不不等等式式(组组)的的问问题题.需需要要注注意意的的是是:在在转转化化时时,自自变变量量的的取值必须在同一单调区间上取值必须在同一单调区间上.(2)(2)对于

16、偶函数可以利用对于偶函数可以利用f(x)=f(-x)=f(|x|)f(x)=f(-x)=f(|x|)的性质的性质,将问题转化为函数在将问题转化为函数在0,+)0,+)上的单调性求解上的单调性求解.2021/8/8 星期日29变式训练变式训练4-1:4-1:(2017(2017全国全国卷卷)函数函数f(x)在在(-,+)单调递减单调递减,且为奇函数且为奇函数.若若f(1)=-1,则满足则满足-1f(x-2)1的的x的取值范围是的取值范围是()(A)-2,2(B)-1,1(C)0,4(D)1,32021/8/8 星期日30解析解析:因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数,且且f(1)=-1,f(

17、1)=-1,所以所以f(-1)=-f(1)=1.f(-1)=-f(1)=1.所以所以f(1)f(x-2)f(-1).f(1)f(x-2)f(-1).又因为又因为f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上单调递减上单调递减,所以所以-1x-21.-1x-21.所以所以1x3.1x3.故选故选D.D.2021/8/8 星期日31类型五类型五 易错辨析易错辨析2021/8/8 星期日32纠错纠错:错解忽略了定义域的限制条件错解忽略了定义域的限制条件,奇偶函数的前提是函数的定义域必须奇偶函数的前提是函数的定义域必须关于原点对称关于原点对称,错解没有求函数的定义域错解没有求函数的定义域.2021/8/8 星期日33谢谢观赏！2021/8/8 星期日342021/8/8 星期日35