高等数学高等数学高等数学 (21).pdf

《高等数学高等数学高等数学 (21).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学高等数学高等数学 (21).pdf（28页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第?章?空间解析几何在前面我们学习了平面解析几何?用代数的方法研究平面几何问题?这一章?我们仍用这种思想研究空间几何问题?首先建立空间直角坐标系?并引入在物理学?力学以及其他工程技术中有着广泛用途的向量概念及其代数运算?以向量为工具来讨论空间的平面和直线?最后介绍空间曲面和曲线的内容?空间直角坐标系为了用代数的方法研究空间几何问题?我们需要建立空间几何图形和数及方程间的关系?那么就引进空间直角坐标系?空间点的直角坐标过空间一个定点?作三条互相垂直的数轴?它们有相同的单位长度?它们的交点?为坐标原点?这三条轴分别称为?轴?横轴?轴?纵轴?轴?竖轴?统称为坐标轴?它们的方向通常符合右手法则?即将右

2、手的拇指和食指分别指向?轴和?轴的正方向?中指指向?轴的正方向?如图?所示?这样就建立了一个空间直角坐标系?任意两条坐标轴确定一个平面?分别是?面?面?面?统称为坐标平面?这三个坐标平面把空间分成八个部分?称为卦限?以?轴?轴及?轴的正半轴为棱的卦限为第一卦限?在?面之上的其余三个卦限?按逆时针方向?依次为第二?三?四卦限?在?面之下与第一卦限相对的为第五卦限?其余的按逆时针方向依次为第六?七?八卦限?如图?所示?设?为空间内任意一点?过?分别作垂直于?轴?轴和?轴的平面?与坐标轴的交点依次为?这三个点在?轴?轴和?轴上的坐标依次为?如图?所示?于是空间点?唯一确定一个有序实数组?图?图?反之

3、?对于一个有序实数组?在?轴?轴和?轴上分别作以?为坐标的三个点?过点?分别作?轴?轴和?轴的垂直平面?三平面交于空间唯一一点?这样?空间的点?和有序数组?之间就是一一对应关系?这组数?就称为?的坐标?依次为横?纵?竖坐标?我们通常记作?两点间距离公式和线段中点坐标公式设空间两点?和?我们利用空间直角坐标系来计算它们图?之间的距离?并计算线段?的中点?的坐标?过点?各作三个分别垂直于坐标轴的平面?这六个平面围成一个以?为对角线的长方体?如图?所示?因此?即?槡?这就是空间两点间距离公式?设?为线段?的中点?再过?作垂直于?轴的平面交?轴于?点?因为?所以?即?所以?同理可得?因此?线段?的中点

4、坐标为?这就是线段中点坐标公式?例?在?轴上求与点?和点?等距离的点?并求?的中点坐标?解?因为?点在?轴上?则其坐标为?依题意得?即?槡?槡?所以?故所求点的坐标为?设?的中点坐标为?中?中?中?故?中?应 用 数 学?中?中?习题?试把八个卦限内点的坐标的正负填入下表?卦?限一二三四五六七八坐标正负?画出下列各点在空间直角坐标系中的位置?如果?点落在下列位置?坐标?具备什么条件?落在坐标轴上?落在坐标面上?求出点?关于原点?坐标平面?坐标轴对称的点的坐标?证明?为直角三角形的三个顶点?已知三角形的三个顶点坐标为?求三角形三边中点的坐标?向量?向量的概念我们知道?在力学?物理学以及工程技术中

5、所碰到的量分为两类?一类是只有大小而没有方向的量?称为数量?或标量?如质量?时间和温度等?另一类是不仅有大小而且还有方向的量?称为向量?或矢量?如速度?位移?力和电场强度等?在数学上?向量可用空间的一个有向线段来表示?有向线段的长度表示向量的大小?有?图?向线段的方向表示向量的方向?一个向量以?为始点?以?为终点?记作?如图?所示?也可用一个上面加箭头的字母或粗体字母来表示?例如?向量?或?等?这里?如无特殊说明?我们所研究的向量是指可以在空间作自由平移的向量?即只考虑大小和方向?而不考虑它的始点位置?称之为自由向量?我们把长度相等?方向相同的两个向量?看作是相等的向量?向量的大小叫做向量的模

6、?例如?向量?的模记作?模等于?的向量称为单位向量?模等于零的向量称为零向量?记作?或?零向量的方向是任意的?第?章?空间解析几何?向量在坐标轴上的投影为了便于用代数的方法进行向量运算?我们定义向量在轴上的投影?先定义空间两向量的夹角概念?设空间两个非零向量?经过平移使它们交于一点?在它们所确定的平面内把其中一向量正向绕?点旋转到与另一向量的正向重合?所得最小正角?称为向量?的夹角?记作?或?特别地规定?如果?平行?且方向相同?反向?因此?两向量的夹角?向量与轴的夹角?轴与轴的夹角也作类似定义?设空间一点?以及一轴?过?作垂直于轴?的平面?那么平面与轴的交点?就叫做点?在轴?上的投影?定义?设

7、空间向量?若点?和点?在轴?上的投影分别为?和?那么轴?上有向线段?的数量称为向量?在轴?上的投影?记作?其中?当?与轴?同向时?当?与轴?反向时?图?如图?所示?显然向量在数轴上的投影是一个实数?关于向量的投影有下面两个定理?定理?向量?在轴?上的投影等于向量的模乘以轴与向量夹角?的余弦?即?利用向量投影和夹角定义?很容易推出上述结论?这里证明从略?显然两个相等向量在同一条轴上的投影是相等的?定理?有限个向量的和在轴上的投影等于各个向量在该轴上的投影之和?即?证明从略?向量与数量的乘积及向量坐标?向量与数量的乘积设?是数量?向量?与?的乘积?为模等于?的向量?当?时?与?方向相同?当?时?与

8、?方向相反?当?时?容易证明向量与数量乘积满足结合律和分配律?其中?为数量?根据向量与数量的乘积?我们容易得到下列结论?两个非零向量?与?平行的充要条件是?其中?是常数?设?表示与非零向量?同方向的单位向量?那么?或?也就是?非零向量?除以?它的模?就得到与?同方向的单位向量?应 用 数 学?向量坐标通过空间直角坐标系?下面我们建立向量与有序数组之间的对应关系?设向量?及点?和?过?各作垂直于三个坐标轴的平面?这六个平面围成一个以线段?为对角线的长方体?如图?所示?图?由向量加法的平行四边形法则?有?设?分别表示沿?轴正向的单位向量?也称为坐标系的基本向量?那么?所以?其中?为向量?在三个坐标

9、轴上的投影?从中可以看出?向量?可以唯一确定出它在三条坐标轴上的投影?而?可以唯一确定出向量?即有序数组与向量之间是一一对应的?我们把?称为向量?的坐标?并记为?显然?坐标?与?截然不同?前者为数量?后者为向量?利用向量的坐标?可得向量的加法?减法以及向量与数量的乘积的运算如下?设?即?利用向量加法的交换律与结合律?以及向量与数量乘法的结合律与分配律?有?为数量?即?由此可见?对向量进行加?减及与数量相乘?只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了?例?求证向量?与向量?平行的充要条件是?证?设?则?第?章?空间解析几何?即?所以?显然?反之?设?则?若?即?则有?若?由?可得?写成坐标

10、形式?即?所以?另外?向量的模也可以用坐标表示?槡?槡?设?为向量?与三个坐标轴的夹角?由投影定理可知?从而?槡?槡?槡?我们把?称为向量?的方向角?为向量?的方向余弦?显然?例?设已知两点?和?求?的模和方向余弦?解?槡?槡?所以?槡?槡?槡?习题?回答下列问题?向量?与向量?有共同的起点?当向量?绕共同的起点转过一个角?后?恰与向量?重合?问?成立吗?为什么?以?能否推出?反之?从?能否推出?叙述零向量和单位向量的特点?试写出在非零向量?方向上的单位向量?设?试用?表示?应 用 数 学?如果平面上一个四边形的对角线互相平分?试应用向量证明它是平行四边形?设已知两点?和?用坐标表示向量?已知

11、两点?槡?和?计算?的模?方向余弦和方向角?求平行于向量?的单位向量?两向量的数量积与向量积在前面介绍了向量与数量的乘积?这里我们再介绍两种乘法?两向量的数量积例如?设物体在常力?作用下沿?方向移动了?位移?其中力?与物体的运动方向成?角?如图?所示?则力对物体所作功为?图?等于两个向量模与夹角的余弦的乘积?它是个数量?一般地?我们定义如下?定义?两个向量?和?的模与它们之间夹角余弦的乘积?称为向量?与?的数量积?记作?即?显然上例中的功?由投影定理可知?根据定义?两个向量数量积具有下列运算律?证明从略?交换律?分配律?结合律?为常量?向量的数量积可用坐标表示?设?根据数量积的运算规律?即有?

12、由数量积的定义可知?因而得?这就是数量积的坐标表示式?由于?第?章?空间解析几何?当?均为非零向量时?有公式?槡?槡?这就是两个向量夹角余弦的坐标表示式?从这个公式可以看出?两个非零向量?垂直的充要条件是?例?已知?求?与?的夹角?在?上的投影?解?设夹角为?那么?槡?槡?槡?所以?因为?所以?在?上的投影?两向量的向量积定义?设向量?由两个向量?与?按下列规定给出?的模?其中?是?与?之间的夹角?既垂直于?又垂直于?即垂直于?所确定的平面?且指向使?符合右手法则?那么?向量?叫做向量?与?的向量积?记作?即?两个向量的向量积具有下列运算律?证明从略?为一常量?两向量的向量积也可用坐标表示?设

13、?则根据向量积的运算规律?有?应 用 数 学由向量积的定义可知?所以?为了便于记忆?把上式改写成行列式形式?这样?按第一行展开即得?式?由上式可以看出?两个非零向量?与?平行的充要条件是?即?其中若?中恒有一个或两个为零时?我们也可用式?表示式?例如?实质为?例?求以?为顶点的三角形面积?解?根据向量积的定义?可知所求三角形的面积等于?因为?所以?于是?槡?槡?例?求垂直于向量?和?的单位向量?解?由向量积的定义可知?向量?与向量?都垂直?求出?后再除以它的模?就得到所要求的单位向量?第?章?空间解析几何?槡?所以?习题?设?与?计算?设?计算?的夹角?求?的值?使?与?互相垂直?如果?那么?

14、对吗?若?那么?对吗?如果?求?求同时垂直于?轴及?的单位向量?设平行四边形的两个邻边为?求该平行四边形的面积?平面与空间直线利用空间直角坐标系和向量这个工具?我们下面开始研究空间的一些图形?这里从最简单的平面和空间直线开始?平面及其方程设在空间直角坐标系下?一平面?和一个三元方程?之间满足下面关系?图?平面上每一个点的坐标都满足方程?以方程的每组解为坐标的点都在平面上?那么?我们就称平面?是方程?的平面?此方程就是平面?的方程?我们把与一平面垂直的非零向量称为该平面的法向量?显然?过空间一点?给定法向量的平面是唯一确定的?设平面?过点?向量?不全为零?是它的一法向量?下面我们就来建立平面方程

15、?如图?所示?设?是平面?上任一点?那么向量?所以它们的数量积为零?即?由于?即?应 用 数 学显然上述方程的任一组解所确定的向量?必与?垂直?因此?方程?就是过?以?为法向量的平面方程?称之为平面的点法式方程?例?求过点?且有法线向量?的平面的方程?解?根据平面的点法式方程?所求平面方程为?即?例?已知一平面通过三点?求这个平面的方程?解?设?为所求平面内的任意一点?作向量?和?于是?又因?同时垂直于?与?因此它可以作为所求平面的法向量?而?所以?图?化简得?这就是所求的平面方程?例?求通过三点?的平面的方程?其中?均不等于零?如图?所示?解?与例?相仿?可取所求平面的法线向量为?故所求平面

16、方程为?即?方程?称为平面的截距式方程?分别称为这个平面在?轴?轴?轴上的截距?我们可把方程?变形为?反之?一个三元一次方程总可变形成方程?的形式?因此?三元一次方程一定是一个平面方程?我们也称其为平面的一般式方程?其中未知数的系数确定的向量?是一个法向量?以下为几种特殊位置平面的方程举例?当?时?即方程为?因为?满足方程?所以平面通过?第?章?空间解析几何坐标原点?当?时?即方程为?因为平面的法向量?垂直于?轴?所以平面平行?轴?同理?当?时?平面平行于?轴?当?时?平面平行于?轴?特别地?当?时?平面过?轴?当?时?平面过?轴?当?时?平面过?轴?当?时?即方程?因为平面的法向量垂直于?平

17、面?所以平面平行于?平面?同理?当?时?平面平行于?平面?当?时?平面平行于?平面?特别地?坐标面?坐标面?坐标面的方程分别是?例?求平行于?轴且过点?及?的平面方程?解?由于平面平行于?轴?故设所求的平面方程为?因为平面过?及?所以?解得?代入所设方程并除以?便得所求的方程为?或?两平面的夹角和点到平面的距离两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角?设有平面?和平面?平面?有法向量?平面?有法向量?如图?所示?图?按两向量的夹角的余弦公式?平面?与平面?的夹角?可由公式?槡?槡?来确定?从两向量垂直?平行的条件可以推得下列结论?互相垂直的充要条件为?互相平行的充要条件为?应 用 数 学?例?已知

18、平面经过点?且垂直于平面?和?求它的方程?解?设所求平面的一个法线向量为?故所求平面方程为?据题意得?解得?代入所设平面方程并除以?便得?或?图?这就是所要求的平面方程?设平面?及平面外一点?计算?到该平面的距离?如图?所示?在该平面内任取一点?那么?就等于向量?在平面的法向量?上投影的绝对值?即?而?因此?即?槡?这就是点到平面的距离公式?图?空间直线方程与直线平行的非零向量?称为这条直线的方向向量?我们知道?过空间一点?给定方向向量?的直线?唯一确定?下面我们来建立这条直线的方程?如图?所示?设点?是直线?上的任一点?那么?所以?两向量对应坐标成比例?由于?第?章?空间解析几何?则?这就是

19、空间直线的对称式方程?其中?直线的任一方向向量?的坐标数字?叫做这条直线的一组方向数?令上述方程的比值为?即?那么?这就是直线的参数方程?其中?为参数?另一方面?我们知道两个平面相交线是一条直线?所以直线方程也可由法向量不成比例的两个平面方程的联立方程表示?这就是直线的一般式方程 其中?不全相等?例?用对称式方程表示直线?解?先找出这条直线上的一点?例如?可以取?代入方程组?得?解这个二元一次方程组?得?即?是这条直线上的一点?下面再找出这条直线的一个方向向量?由于两平面的交线与这两平面的法向量?都垂直?所以可取?即?因此?所给直线的对称式方程为?应 用 数 学例?求直线?与平面?的交点?解?

20、所给直线的参数方程为?代入平面方程中?得?解得?因此所求交点的坐标为?两直线的夹角和直线与平面的夹角两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角?设两直线?和?的方向向量分别为?因此?直线?和?的夹角公式为?槡?槡?从两向量垂直?平行的条件可以推得下列结论?两直线?互相垂直的充要条件为?两直线?互相平行的充要条件为?直线与它在平面上的投影直线的夹角?叫做直线与平面的夹角?设直线?的方向向量?平面?的法向量?如图?所?图?示?那么?槡?槡?从两向量垂直?平行的条件可以推得下列结论?直线与平面互相垂直的充要条件为?直线与平面互相平行的充要条件为?第?章?空间解析几何例?求经过点?并与两直线?平行的平面方

21、程?解?设所求平面方程为?由直线与平面平行的条件?有?解得?代入所设方程中后?两边同除以?得?这就是所求平面方程?习题?化一般式平面方程?为点法式和截距式方程?求过点?且与?和原点连线垂直的平面方程?求过点?的平面方程?指出下列平面的特殊位置?求过点?且平行于?轴的平面方程?求两平行平面?与?之间的距离?求满足下列各条件的直线方程?过原点且方向数为?过两点?过点?且垂直于平面?过点?且平行于直线?过点?且垂直于直线?和?求直线?与平面?的交角?确定下列直线与平面的关系?直线?平面?直线?平面?应 用 数 学?曲面与空间曲线上一节?我们讨论了最简单的曲面?平面?最简单的曲线?直线?这一节?我们将

22、研究一般的曲面和空间曲线的方程?并介绍几种类型的曲面?曲面与方程定义?如果曲面?与三元方程?满足下列条件关系?曲面?上每个点的坐标都满足方程?以方程?的每一组解为坐标的点都在曲面?上?那么?这曲面就是方程?的曲面?也称满足方程的动点轨迹?方程?就称为曲面?的方程?用平面解析几何中求曲线方程相类似的步骤?我们可以建立满足一定条件的曲面方程?另外?我们还研究已知一个三元方程?讨论它所表示的曲面形状?用平行于坐标面的平面去截取曲面?由截线的变化可描绘出曲面的形状?这种方法称为平行截面法?例?设有点?和?求线段?的垂直平分面的方程?解?由题意知道?所求的平面就是?和?等距离点的几何轨迹?设所求平面上任

23、一点为?由于?所以?槡?槡?等式两边平方?经整理得?这就是所求的平面的方程?例?讨论方程?的图形?解?从方程?可知?用平行于?坐标面的平面?去截?图?取曲面?那么截线为?它表示在平面?上?圆心为?半径为?槡?的圆?当截面?平行上?下移动时?即当?变化时?这些圆也作平行移动?圆心始终在直线?上?半径由下而上逐渐增大?因此?所求的曲面不是封闭的?向?面上方开口?如图?所示?下面我们介绍几种常见的曲面?球面有以点?为球心?为半径的球面?下面我们建立它的方程?第?章?空间解析几何设球面上动点?据条件可知?因此?槡?化简得?方程?就是以?为球心?为半径的球面的标准方程?将方程?展开得?令?就得到?这是一

24、个关于?的二次方程?它的特点是缺?各项?而且平方项系数图?相等?这个方程称为球面的一般方程?旋转曲面一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面?这条定直线叫做旋转曲面的轴?而那条平面曲线叫做旋转曲面的母线?现在我们来建立以?轴为旋转轴?面内一条曲线?为母线的旋转曲面的方程?如图?所示?设?为旋转曲面上的任意一点?则与?相应的曲线?在初始位置时的点?即?是在?面内的曲线?上的点?由于?的旋转而得到?点?显然?和?同在平面?与旋转曲面的交线圆上?即点?与?的纵坐标相等?且?槡?或?槡?而?又满足方程?即?所以?满足?槡?这就是旋转曲面的曲面方程?由这个方程可以看出?只要将在?

25、坐标面上的曲线?的方程?中的?换成?槡?就得到曲线?绕?轴旋转曲面方程?同理?绕?轴旋转而成的旋转曲面方程为?槡?其他坐标面上的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程也可用同样的方法表示?例?求由椭圆?分别绕?轴与?轴旋转所产生的旋转面的方程?解?绕?轴旋转?有方程?槡?即?应 用 数 学?绕?轴旋转?有方程?槡?即?如果?那么前者是扁形的?如图?所示?后者是长形的?如图?所示?旋转椭球面?图?例?求由直线?绕?轴旋转所产生的旋转曲面的方程?如图?所示?解?因为旋转轴为?轴?所以只要把方程?中的?换成?槡?即得旋转面的方程?槡?或?其中?这个旋转面称为顶点在原点?半顶角为?且以?轴为轴的圆锥面?

26、柱面直线?沿定曲线?平行移动形成的轨迹叫做柱面?定曲线?叫做柱面的准线?动直线?叫做柱面的母线?现在?我们来建立母线平行于?轴?且以?面上的曲线?为准线的柱面方程?如图?所示?图?图?第?章?空间解析几何在柱面上任取一点?过?作一条平行于?轴的直线?则该直线与?平面的交点为?由于?在准线?上?故有?的坐标应满足方程?因此?方程?在空间就表示母线平行于?轴的柱面?例如?方程?表示母线平行于?轴?准线是?平面上的抛物线?的柱面?这柱面叫做抛物柱面?如图?所示?方程?表示母线平行于?轴?准线是?平面上的椭圆的柱面?如图?所示?这柱面叫做椭圆柱面?同理可知?只含?而缺?的方程?和只含?而缺?的方程?分

27、别表示母线平行于?轴和?轴的柱面?例如?表示母线平行于?轴?准线为?平面上的双曲线?的柱面?如图?所示?这种柱面叫做双曲柱面?图?图?二次曲面我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面?例如?球面?圆柱面?旋转椭球面等?这里我们用平行截面法再讨论几个常见的二次曲面?椭球面由方程?所表示的曲面称为椭球面?其中?为图?椭球面的半轴?如图?所示?显然?说明这椭球面在由平面?所围成的长方体里面?它与三个坐标面的交线为椭圆?应 用 数 学?与平面?的交线为?它也是一椭圆?其中?当?时?它表示点?双曲面?单叶和双叶双曲面?由方程?所表示的曲面为单叶双曲面?如图?所示?图?它与?面和?面的交线分别是双曲线?

28、和?与?面的交线是椭圆?与平面?的交线也是椭圆?当?增大时?椭圆沿?轴正负方向增大?第?章?空间解析几何由方程?所表示的曲面称为双叶双曲面?如图?所示?请读者自己讨论?抛物面?椭圆抛物面和双曲抛物面?由方程?同号?表示的曲面称为椭圆抛物面?如图?所示?图?它与?面交于一点?即原点?与?面和?面的交线分别是抛物线?和?与平面?的交线为椭圆?当?增大时?椭圆沿?轴正方向增大?由方程?与?同号?表示的曲面称为双曲抛物面?如图?所示?请读者自己讨论?空间曲线及其方程空间曲线可看作两个曲面的交线?设?为两个曲面方程?曲面的交线?上的点坐标同时满足两个曲面方程?反之坐标同时满足两个曲面方程的点必在交线?上

29、?所以两个曲面方程联立方程组?就可用来表示曲线?称为空间曲线的一般方程?显然?同一条空间曲线可由不同的两个曲面相交而构成?所以同一条空间曲线的一般方程的形式不唯一?例?讨论方程组?应 用 数 学?所表示图像的关系?解?方程组?表示球面?与?面的交线?它是一个以?为圆心?为半径?在?面内的圆?方程组?表示圆柱面?与?面的交线?所以方程组?和?表示的曲线是同一个圆?另外?我们为了应用的方便?还可用参数方程来表示曲线?如果曲线?上每个点的坐标?都可用另一变量?表示出来?即?对于?在允许范围内的每个取值?由方程组?可对应地得到曲线?上每个点的坐标?方程组?就称为曲线?的参数方程?变量?为参数?例?设动

30、点?在圆柱?上以?角速度绕?轴旋转?同时沿平行于?轴方向以?速度匀速平动?求?的轨迹方程?解?如图?所示?建立坐标系?以时间?为参数?设?时?动点在?处?经过时间?后?动点运动到?处?过?作?面的投影?由?图?于?在圆柱的准线?上?即?满足圆方程?而准线圆的参数方程为?又由于从?到?又是匀速平动?所以?因此?曲线的参数方程为?这条曲线称为螺旋线?从空间曲线?上的各点向?面?面或?面?作垂线?垂足所构成的曲线?称为曲线?在该平面上的投影曲线?或称投影?以投影?为准线?以垂直于该平面的垂线为母线的柱面?称为曲线?关于该平面的投影柱面?投影?也可看作投影柱面与该平面的交线?把曲线?的一般方程消去?所

31、得方程?便为曲线在?面上的投影柱面方程?将投影柱面方程?与?面上的方程?联立方程组?就是曲线?在?面上的投影方程?例?求曲线?在?面上的投影方程?解?消去?得?所以曲线在?面上的投影方程为?第?章?空间解析几何?习题?指出下列方程表示什么曲面?是否是旋转曲面?若是旋转曲面?则指出是由什么曲线绕什么轴旋转而成的?指出下列方程表示的曲线?求?在?平面上的投影曲线的方程?学习指导?基本要求?理解空间直角坐标系的概念?掌握两点间的距离公式?理解向量的概念?向量的模?单位向量?零向量与向量的方向角?方向余弦概念?理解向量的加法?数乘?数量积与向量积的概念?熟练掌握向量的坐标表示?熟练掌握用向量的坐标进行

32、向量的加法?数乘?数量积与向量积的运算?理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程?标准方程?参数方程?了解平面和空间直线的一般式方程?理解曲面及其方程的关系?知道球面?柱面和旋转曲面的概念?掌握球面?以坐标轴为旋转轴?准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形?应 用 数 学?了解空间曲线及其方程概念?了解椭球面?椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形?已知方程能识别几种常用二次曲面?常见题型与解题指导?有关向量加?减?数量积和向量积的运算?两个向量的和?差?积都是向量?但数量积是数值?而向量积仍是向量?准确用坐标表示这些运算?还要会用它们的运算律进行运算?若?则?

33、构成右法手则?判断向量与向量的位置关系?利用向量位置关系的充要条件进行?设?则?使得?槡?槡?三点共线?以?为邻边的平行四边形面积为?以?为邻边的三角形面积为?建立平面方程与直线方程?求平面方程和直线方程?在已知一给定点的条件下?关键是求出平面的法线向量和直线的方向向量?这要以两向量的点积和叉积的运算为基础?另外?求平面方程和直线方程的方法往往不是一种?读者可灵活运用已给的条件?选择一种比较简单的方法?求出平面方程或直线方程?判断平面与平面?直线与直线?直线与平面的位置关系?判断平面与平面?直线与直线?直线与平面的位置关系?主要判断平面的法向量?直线的方向向量之间的位置关系?但注意平面与平面的

34、法向量平行时?需要取点进一步断定是否重合?在直线与平面平行时?需要取点进一步断定直线是否在平面内?求旋转曲面方程?第?章?空间解析几何母线在坐标面上?绕某个坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面?如在?坐标面上有已知曲线?它在?坐标面上的方程是?母线?绕?轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为?槡?由此可见?只要在?坐标面上曲线?的方程?中?把?换成?槡?就可得到曲线?绕?轴旋转的旋转曲面方程?槡?同理?曲线?绕?轴旋转一周所成的旋转曲面方程为?槡?对于其他坐标面上的曲线?用上述方法都可以得到绕该坐标平面上任何一条坐标轴旋转所生成的旋转曲面?识别二次曲面?准确把握常用二次曲面的方程特点?再结合截痕?才能由

35、方程识别二次曲面?一般地?在空间直角坐标系中?含有两个变量的方程就是柱面方程?且在其方程中缺哪个变量?此柱面的母线就平行于哪一个坐标轴?方程?分别表示母线平行于?轴的椭圆柱面?双曲柱面和抛物柱面?二次方程?中?有两个相等时表示旋转曲面?当?时?若?中有两个正数为单叶双曲面?中有两个负数为双叶双曲面?同为正号且不全相等是椭球面?为相等的正数是球面?学习建议?本章重点是向量的概念?向量的加法?数乘?数量积与向量积的概念?用向量的坐标进行向量的加法?数乘?数量积与向量积的运算?平面的点法式方程?空间直线的标准式方程和参数式方程?球面?以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形?难点是熟练运用向量的数量

36、积及向量积的概念进行计算?利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程?由曲面的方程识别空间图形?解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系?把代数方程与曲线?曲面对应起来?从而能用代数方法研究几何图形?建议在本章的学习中?应注意对空间图形想象能力的培养?有些空间图形是比较难以想象和描绘的?这是学习本章的一个难点?请读者应自觉培养这方面的能力?复习题?选择题?空间直角坐标系中下列柱面的母线平行于?轴的有?面上的椭圆?绕?轴旋转所形成的旋转曲面方程为?应 用 数 学?垂直于两直线?和?的直线的方向数为?若一点的坐标的?满足?则该点在?第四卦限?第五卦限?第六卦限?第七卦限?在下列四组

37、角度中?可以作为一条有向线段的方向角的是?方程?槡?的图形是?抛物面?点?圆锥面?虚轨迹?球面方程?的球心?及半径?分别为?槡?槡?平面?在?轴的截距分别为?则?方程组?在空间表示?椭圆?圆?圆柱面?抛物线?两直线?为?平行不重合?垂直且相交?垂直不相交?重合?填空题?设?则?当?时?当?时?指出下列方程或方程组表示的空间图形?第?章?空间解析几何?设?为常数?又?则有?则?两向量?和?相互垂直的充要条件是?相互平行的充要条件是?与两直线?及?都平行?且过原点的平面方程为?在空间直角坐标系中?方程?槡?的图形是?设?则?方程?所表示的图形是?方程?所表示的图形是?设一平面经过原点及点?且与平面?垂直?则此平面方程为?计算?求过点?且与直线?相交并垂直的直线方程?求过点?且与直线?垂直的平面方程?求过点?的平面方程?求通过直线?且与平面?相互垂直的平面方程?求经过点?和平面?平行且与直线?垂直的直线的对称式方程?求点?到平面?的距离?应 用 数 学