高等数学高等数学高等数学 (16).pdf

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1、第?章?不 定 积 分在微分学中?我们讨论了求已知函数导数?或微分?的问题?这一章将讨论与其相反的问题?即已知一个函数的导数?或微分?求出此函数?这种由函数的导数?或微分?求原来的函数的问题是积分学的一个基本问题?不定积分?不定积分的概念和性质?原函数与不定积分的概念微分学中研究的一个基本问题是?求一个已知函数的导函数?在实际问题中还常常会遇到相反的问题?即已知函数的导函数?要求原来的函数?这就形成了?原函数?的概念?定义?设?是定义在区间?上的已知函数?如果存在一个函数?使得对于该区间上的每一个点都满足?或?则称函数?是?在该区间上的一个原函数?例如?对于区间?内的每一点?因为?所以?就是?

2、在区间?内的一个原函数?又如?因为?所以?是?的一个原函数?可以看出?求已知函数?的原函数就是找到这样一个函数?使得?另外?我们也看到?是?的一个原函数?不难验证?槡?其中?为任意常数?也都是?的原函数?由以上情况可知?如果一个函数的原函数存在?那么必有无穷多个原函数?如何寻找所有的原函数呢?如果能寻找到原函数之间存在的关系?那么找出所有原函数也就不难了?定理?如果函数?在区间?上有原函数?则?为任意常数?也是?在?上的原函数?且?的任一原函数均可表示成?的形式?证明?定理的前一部分结论是显然的?事实上?现证后一部分结论?设?是?在?上的任一个原函数?令?则?由于?从而在?上恒有?得?常数?即

3、?这就是说只要找到?的一个原函数?那么它的全体原函数均能找到?定义?若?是?在区间?上的一个原函数?那么表达式?为任意常数?称为?在?上的不定积分?记为?即?其中?称为积分变量?称为被积函数?称为被积表达式?为任意常数?称为积分号?由定义?知?求函数?的不定积分实际只需要求出它的一个原函数?再加上任意常数?即可?例?求?解?由于?所以?是?的一个原函数?因此?例?求?解?由于?所以?是?的一个原函数?因此?例?求?解?当?时?当?时?所以?当积分常数?变动时?不定积分表示的不是一个函数?而是一簇函数?从几何上看?图?它们代表一簇曲线?称为函数?的积分曲线簇?其中任何一条积分曲线都可以由某一条积

4、分曲线沿?轴方向向上或向下平移适当位置而得到?另外?在积分曲线簇上横坐标相同的点作切线?这些切线都是彼此平行的?如图?所示?例?求过?点?且其切线的斜率为?的曲线方程?解?由?第?章?不 定 积 分得积分曲线簇?将?代入该式?有?得?所以?是所求曲线方程?不定积分的性质性质?求不定积分与求导数?或微分?互为逆运算?也就是说?不定积分的导数?或微分?等于被积函数?或被积表达式?如?对于一个函数的导数?或微分?求不定积分?其结果与此函数仅相差一个积分常数?如?性质?不为零的常数因子可以提到积分号之前?即?常数?如?性质?两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和?即?如?式可以推广到任意有限

5、多个函数的代数和的情形?即?习题?填空?并计算相应的不定积分?应 用 数 学?用微分法验证下列各等式?槡?槡?解下列问题?已知函数?的导数等于?且?时?求这个函数?已知在曲线上任一点切线的斜率为?并且曲线经过点?求此曲线的方程?已知动点在时刻?的速度为?且?时?求此动点的运动方程?积分的基本公式和法则因为求不定积分是求导数的逆运算?所以由基本导数公式对应地可以得到基本积分公式?且?槡?利用不定积分的性质和基本积分公式?可求出一些简单函数的不定积分?通常把这种积分法称为直接积分法?例?求?槡?第?章?不 定 积 分解?槡?槡?槡?逐项积分后?每个不定积分都含有任意常数?由于任意常数之和仍为任意常

6、数?所以只需写一个任意常数?例?求?解?在进行不定积分计算时?有时需要把被积函数做适当的变形?再利用基本积分公式及不定积分的性质进行积分?例?求?解?例?求?解?例?求?解?这里不能直接用基本积分公式?由?得?例?求?解?因为?所以?应 用 数 学?习题?计算下列不定积分?槡?槡?槡?槡?槡槡槡?槡?证明?如果?则?换元积分法利用直接积分法只能解决某些简单函数的不定积分问题?因此?需要进一步建立求不定积分的方法?这一节和下一节中?我们将分别介绍不定积分的两大积分法?换元积分法和分部积分法?第一换元积分法?凑微分法?有些不定积分?被积函数的形式与基本积分公式中某个积分的被积函数相似?我们可以将积

7、分变量通过适当的变换?然后利用基本积分公式求出所求函数的不定积分?例如?与?类似?比较被积函数?是?的倍角?我们可以把?改写成?的形式?令?把?看作新的积分变量?就有?利用基?第?章?不 定 积 分本积分公式得?即?再把?还原成?得?这样基本积分公式的适用范围可变得更广泛?定理?第一换元积分法?若?且?有连续导数?则?第一换元积分法也叫凑微分法?用更形象的式子来表示就是?凑微分?变量替换?变量还原?例?求?解?将?凑为?则?令?例?求?解?将?凑为?则?例?求?解?被积函数中含有?项?所以设?则?所以?将?还原?则?应 用 数 学?例?求?槡?槡?解?因为?槡?槡?令?槡?有?槡?槡?槡?槡?

8、槡?换元的目的是为了便于使用基本积分公式?当运算比较熟练之后?就可以略去设中间变量及换元的步骤?如例?中的运算过程可以写为?槡?槡?槡?槡?槡?例?求?解?因为?所以?即?类似地可得?例?求?解?因为?所以?例?求?解?例?求?第?章?不 定 积 分解?类似地可得?例?求?槡?解?槡?槡?槡?例?求?例?求?解?应 用 数 学由三角公式?所以?类似地可得?例?求?解?由上面的例子可以看出?不定积分的第一换元积分法没有一个较统一的方法?其中有许多技巧?我们不但要熟记基本积分公式?还需要掌握一些常用的凑微分形式?如?槡?槡?第一换元积分法主要用于求复合函数不定积分的问题?实质上是复合函数求导法则的

9、逆运算?第二换元积分法第一换元积分法是将?的积分通过?变换成?的积分?但有时也可将公式反过来使用?即已知?不易积分?通过变量替换?将其变成?的积分?而这个积分是容易计算的?定理?第二换元积分法?若?是连续函数?有连续的导数?且?又设?则有换元公式?第?章?不 定 积 分?使用第二换元积分法的关键也是如何选择函数?下面通过例子说明?例?求?槡?解?被积函数中含有根式?槡?为去掉根式可设?槡?所以?槡?槡?槡?例?求?槡?槡?解?被积函数中含有?槡?和槡?两个根式?作变换?可同时将两个根号去掉?则有?槡?槡?槡?槡?槡?槡?由例?和例?可看出?如果被积函数中含有根式?槡?时?一般可作变量替换?槡?

10、去掉根式?例?求?槡?解?作变量替换?则?槡?槡?槡?槡?应 用 数 学?因为?所以?为了将?与?换成?的函数?根据变换?图?作直角三角形?如图?所示?这时显然有?槡?代入上面的结果有?槡?槡?例?求?解?和上例类似?作变量替换?则?且?于是?槡?在上面的计算中将?换成?槡?是根据?作直角三角形?如图?所示?而得?图?到的?例?求?槡?解?作变量替换?则?槡?于是?槡?槡?槡?图?在上面的计算中?槡?是根据变换?作直角三角形?如图?所示?而得到的?如果被积函数中含有?槡?槡?槡?可分别作?第?章?不 定 积 分?的变换去掉根式?它们统称为三角代换?习题?求下列不定积分?槡?槡?槡?槡?槡?槡?

11、计算下列不定积分?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?分别用第一类及第二类换元法求下列不定积分?槡?槡?槡?分部积分法分部积分法是积分中另一种基本积分法?它是乘积的微分公式的逆运算?设函数?简写为?由微分公式得?应 用 数 学?移项得?两边积分?则有?即?这个公式称为分部积分公式?如果右边的积分?比左边积分?容易?那么使用此公式就有意义?下面举例来说明其应用?例?求?解?设?于是?这时?例?求?解?设?于是?这时?例?求?解?这里被积函数可看作?与?的乘积?设?于是?当运算熟练之后?分部积分的替换过程可以省略?例?求?解?第?章?不 定 积 分?例?求?解?积分?仍不能立即求出?还需要再次运用分部积分

12、公式?所以?由例?可以看出?对某些不定积分?有时需要连续几次运用分部积分公式?例?求?解?设?则?对右端积分再用一次分部积分公式?设?则?将?代入上式得?移项得?说明?在例?中?连续两次应用分部积分公式?而且第一次取?第二次必须取?即两次所取的?一定要是同类函数?假若第二次取的?为?即?则计算结果将回到原题?应 用 数 学?分部积分公式中?的选择是以积分运算简便易求为原则的?即选择的?要容易找到一个原函数?且?要比?容易求积分?总结上面例子知?遇到下列被积分式时?凑微分如下?为多项式?下同?或?凑为?或?或?把?凑成微分?如?或?或?把?凑成微分或把?凑成微分都可以?习题?求下列不定积分?槡?

13、槡?槡?槡?积分表的使用从上述各节的讨论?我们已经了解到积分的计算要比导数的计算复杂?难度要大?在实际工作中为了应用方便?把常用的积分公式汇集成表?积分表?一般积分表是按照被积函数的类型排列的?求积分时?可根据被积函数的类型直接地或经简单变形后?在表中查得所需的结果?下面通过实例说明积分表的用法?可以直接从表中查到结果的?例?求?解?本例属于表中?一?类含有?的积分?按公式?当?时?有?例?求?解?本例属于表中?六?类含有?的积分?按公式?当?时?有?于是?第?章?不 定 积 分?先进行变量代换?然后再查表求积分?例?求?槡?解?表中不能直接查到?若令?则?槡?槡?上式右端的积分可查表?五?中

14、的公式?于是?槡?槡?槡?槡?槡?槡?利用递推公式在积分表中查到所求积分?例?求?解?查公式?有?就本例而言?利用这个公式并不能求出最后结果?但用一次就可使被积函数的幂指数减少二次?重复使用这个公式直到求出最后结果?这种公式叫做递推公式?两次运用公式?得?习题?利用简易积分表求下列各不定积分?槡?应 用 数 学?槡?槡?槡?槡?学习指导?基本要求?理解原函数?不定积分的概念及其性质?掌握不定积分的基本公式?掌握不定积分的换元法和分部积分法?理解有理函数的积分方法?掌握一些常用的积分方法和技巧?常见题型与解题指导?利用原函数与不定积分关系?不定积分的性质的题目?计算各种形式的不定积分?计算不定积

15、分有直接积分法?换元积分法?凑微分法?变量替换法?和分部积分法三种?第一换元积分法?又称凑微分法?一般不明显换新变量?而是隐换?这样省掉了回代过程?更简便?第二换元积分法常用于消去被积函数中的根号?常用的有代数替换法和三角替换法?应用分部积分法进行积分运算时应注意?要用凑微分容易求出?比?容易求?还要掌握一些常见形式不定积分选取?的技巧?有时需多次使用分部积分公式?才能求出积分?有些题在多次使用分部积分公式的过程中?会出现原来的被积分函数?这时可通过移项?合并同类项?解方程的办法?得出结果?而且要记住?移项之后?等式的右端应补加积分常数?学习建议?本章重点是原函数与不定积分的概念?基本积分公式

16、和换元积分法与分部积分法?难点是第一换元积分法?其灵活较大?必须多下工夫?除了熟记积分基本公式外?还要熟记一些常用的微分关系式?不定积分计算要根据被积函数的特征灵活选用积分方法?在具体的问题中?常常要针对不同的问题采用不同的积分方法?如?先换元?令?得?再用分部积分法即可?也可多次使用分部积分公式?求不定积分比求导数要难得多?尽管有一些规律可循?但在具体应用时?却十分灵活?因此应通过多做习题来积累经验?熟悉技巧?才能熟练掌握?第?章?不 定 积 分复习题?判断题?不定积分?是函数?的一个原函数?函数在某区间上连续?则在该区间上它的原函数一定存在?若?的某个原函数为常数?则?在区间?上?是?的原函数?填空题?设?则?是?的一个原函数?则?则?若?则?选择题?若?则?设?是?的一个原函数?则?设?则?设?则?应 用 数 学?求下列不定积分?槡?槡?槡?设?的原函数是?求?设某函数当?时有极小值?当?时有一极大值为?又知该函数导数的形式为?求此函数?已知?求?第?章?不 定 积 分