数列常见题型总结计划经典超级经典.doc

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1、数列常见题型总结计划经典超级经典题型一 数列通项公式的求法1前 n 项和法（知 Sn 求an ）S1an S Sn n1(n(n1)2)例 1、已知数列 an 的前 n 项和2Sn 12n n ，求数列 | an | 的前 n 项和 Tn1、若数列 a 的前 n 项和nnS 2 ，求该数列的通项公式。n32、若数列 an 的前 n 项和 3Sn a ，求该数列的通项公式。n23、设数列 a 的前 n 项和为 Sn ，数列 Sn 的前 n 项和为 Tn ，满足n求数列 a 的通项公式。n2T 2S nn ，n2.形如an 1 an f (n)型（累加法）（1）若 f(n) 为常数 , 即： a

2、a dn 1 , 此时数列为等差数列，则 an =a1 (n 1)d .n（2）若 f(n) 为 n 的函数时，用累加法 .n 1例 1.已知数列 an满足 a1 1,a 3 an (n 2)n , 证明1ann3211.已知数列a 的首项为 1，且n_a 1 a 2n( n N ) 写出数列n na 的通项公式 .n12.已知数列 an 满足 a1 3， ( 2) an an 1 n ，求此数列的通项公式 .n(n 1)a3.形如 n 1 f (n) 型（累乘法）anan 1 （其中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且（1）当 f(n) 为常数，即： qan（2）当 f(n) 为 n

3、的函数时 , 用累乘法 .n例 1、在数列 a 1, an an (n 2) ，求数列的通项公式。a 中 1 1nn 1n 11、在数列 a 1, an an (n 2) ，求 an与Sn 。a 中 1 1nn 12n 32、求数列 a1 1,a a (n 2)的通项公式。n n 12n 1a =nn 1a q .14.形如anpanran 11 型（取倒数法）s例 1.已知数列an1 na 中， a1 2 ， an ( 2) ，求通项公式 a nn2a 1n 1练习： 1、若数列 a 中， a1 1,nana , 求通项公式 an .n 1 a3 1n2、若数列 a 中， a1 1， an

4、1 an 2an an 1 ，求通项公式 an .n5形如 an n , ( 0 , 其中a1 a ) 型（构造新的等比数列）1 ca d c（1）若 c=1 时，数列 a 为等差数列 ; （2）若 d=0 时，数列 an 为等比数列 ;n（3）若 c 1且d 0时，数列 a 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 .n方法如下：设 ( )an 1 A c an A , 利用待定系数法求出 A1 1例1已知数列 a 中， a1 an an , 求通项 an .2, 1 n2 2 练习： 1、若数列 a 中， a1 2 , an 1 2an 1, 求通项公式 an 。n23、若数

5、列 a 中， a1 1, an a 1, 求通项公式 an 。n 1 n36.形如an n ( ) 型（构造新的等比数列）1 pa f n(1) 若 f (n) kn b一次函数 (k,b 是常数，且 k 0) ，则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列 a 中，n3a ， 2an an 1 6n 3, 求通项12a .n练习： 1、已知数列 an 中， a 3， 3 4 2an 1 an n ，求通项公式 an 1(2) 若nf (n) q ( 其中 q 是常数，且 n 0,1)若 p=1 时，即：nan 1 a q ，累加即可n若 p 1时，即：nan 1 p a q ，后面的待定系数法

6、也用指数形式。n两边同除以n 1q .即：an p a 11 ,nn 1 nq q q q令anb , 则可化为n qnbnp 11 .然后转化为类型 5 来解，bnq q例1.在数列 a 中，n2n 1a ，且 2 3 ( )a a 1 n N1n n5求通项公式an1、已知数列2、已知数列1 1na 中， 2an a 1 ( ) ，求通项公式 an 。a ，n 1 n22na 中， a1 1，an 1 3a 3 2 ，求通项公式 an 。n n题型二 根据数列的性质求解（整体思想）1、已知S 为等差数列 an 的前 n 项和， a6 100 ，则 S11；n2、设 Sn 、Tn 分别是等差

7、数列 an 、 bn 的前 n 项和，S 7n 2n ，则T n 3na5b5.3、设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若a 5 S5 , 9则 （ ）a 9 S3 55、在正项等比数列 an 中， a1a5 2a3a5 a3a7 25 ，则 a3 a5 _。6、已知 Sn 为等比数列 an 前n 项和， Sn 54 ， S2n 60 ，则 S3n .7、在等差数列 an 中，若 S4 1, S8 4 ，则 a17 a18 a19 a20 的值为（ ）8、在等比数列中，已知a9 a10 a(a 0) ，a19 a20 b ，则 a99 a100 .题型三：证明数列是等差或等比数列A)

8、证明数列等差例 1、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2 SnSn1=0（n2），a1=12.求证： 1Sn是等差数列；B）证明数列等比例 1、已知数列 an 满足_a1 1,a2 3, an 2 3an 1 2an (n N ).证明：数列a a 是等比数列； 求数列 an 的通项公式；n 1 n题型四：求数列的前 n 项和基本方法： A ）公式法，B）分组求和法1、求数列n2 2n 3 的前 n 项和 Sn .C）裂项相消法 ，数列的常见拆项有：1 1 1 1( )n(n k) k n n k1； n n1n n 1；例 1、求和： S=1+11 2 11231213n例2、求和：121 11 3 2 4 31n 1n.D）倒序相加法，例、设2_1 f f f 1 f f f1 1f (_) ，求： f ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( 2021 ) ( 2021).2 2021 2021 3 21 _E）错位相减法，1、若数列 an 的通项nan (2n 1) 3 ，求此数列的前 n 项和 Sn .3.2 n 1S _ _ L n_ _ （将分为 _ 1和 _ 1两种情况考虑）1 2 3 ( 0)n第 12 页 共 12 页