勾股定理中的思想方法.doc

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1、勾股定理中的思想方法勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范在本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供大家参考： (1)面积法教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同一个图形的面积，从而列出等式解决问题例1已知 ABC中，ACB90，AB5BC3，CDAB于点D，求CD的长分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC，然后用不同的方式表示ABC的面积，进而求出CD的长解：如图1 ，ABC是直角三角形，AC2BC2AB2，即AC252-32，AC=4（），又SABCBCACABCD， CD2.4（cm） (

2、2)构造法本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考虑添加辅助线构造直角三角形例2 如图2，已知ABC中， B30， C45， AB4， AC求ABC的面积分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股定理来解决，可考虑作BC边上的高，构造直角三角形来解决 解：过点A作ACDBC，垂足为D，在RtADB中，AB4， B30ADAB2，由勾股定理得，BD 在RtADC中，AC， C45由勾股定理得AD2CD2AC2，即2AD2() 2，ADCD2， BCBDCD2，SABCBCAD(2)22(3)转化思想勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的

3、转化本章题目中还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题这些都体现了转化的数学思想例3 如图3，已知四边形ABCD中，B90， AB3， BC4，CD12，AD13求四边形ABCD的面积分析：由题意联想勾股数，可连接AC把四边形的问题转化为三角形的问题 解：连接AC，在RtABC中，AC2AB2BC2324225，AC5在ACD中，AC2CD252122169， AD2132169，AC2CD2AD2， ACD90S四边形ABCDSABCSACD63036(4)分类讨论思想在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论例4 已知RtABC中，其中两边的长分别是3，5

4、，求第三边的长分析：已知的两边可能是直角边，也可能一条是直角边而另一条是斜边，因此需要分类讨论解：当已知两条边是直角边时，由勾股定理得第三条边的长为；当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时，则第三边长为4第三边的长为或4(5)方程思想勾股定理中的直角三角形三边有，这本身就是一个等量关系，所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法例5 如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C已知两只猴子所经路程都是15米试求大树AB的高度分析：由题意不妨设ADx，则AC15x，又BD10米，所以BC15-105米，RtABC的三边满足购股定理，因此可列方程解得AD，进而求AB的长解： 设ADx，则AC15x，又BD10，所以BC15-105(米)，在RtABC中，根据勾股定理得AB2BC2AC2，解得大树AB的高度为10212(米)