最新勾股定理中的数学思想方法.pdf

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1、 勾 股 定 理 中 的 数 学 思 想 方 法 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 勾股定理中的数学思想方法 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a b c2 2 2；逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a b c2 2 2，那么这个三角形是直角三角形 勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否

2、是直角三角形的一个方法 学习勾股定理这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考 一、数形结合思想 勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想 例 1如图 1 是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，然后依次类推，若正方形 1 的边长为 64cm，则正方形的边长为 cm 图 1 数量关系把数与形统一起来在现实世界中有着广泛的应用勾股定理如果直角

3、三角形的两直角边长分别为斜边长为那么 的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法学习勾股定理这一章除了掌握上述两个定理 阔方法简便快捷下面举例说明供同学们参考一数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理它的验证和应用都体现精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系 列的探索就可以得到答案是 8 例 2有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚 20cm，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了 5cm，且

4、标杆顶着地处比前次远 10cm，求标杆的高 析解：依题意作图如 2，数形结合求解，设第一次吹折后下段 AB 的长为 xcm，上段 BC 的长为 ycm，第二次折后下段 AD 的长为（x-5）cm，上段 DE 的长为（y+5）cm，依题意得 2 2 22 2 230)5()5(20 x yx y 只要求出 x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求 x 与 y 的值-得 10（x+y）=500 x+y=50 故标杆的高为 50cm 评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观

5、、容易，应引起同学们的重视 二、方程思想 例 3在印度数学家拜斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；数量关系把数与形统一起来在现实世界中有着广泛的应用勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为那么 的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法学习勾股定理这一章除了掌握上述两个定理 阔方法简便快捷下面举例说明供同学们参考一数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理它的验证和应用都体现精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解

6、题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题 析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面 0.5 尺，忽 然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁 发现，落到湖底的荷花离根部有 2 尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺 吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为 x 尺，根据勾股定理，可得2 2 22(0.5)x x，所以 x=3.75，故这个湖的水深是 3.75 尺 三、转化思想 例 4如图 3 所示，有一根高为 2m 的木柱，它的底面周长为 0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕 7 圈，一直缠到起点的正

7、上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图 4），可以利用勾股定理求出彩带的长 BC 为木柱的高，2m BC.又木柱的底面周长为 0.3m，AC 的长为 0.3 7 2.1m 在 Rt ACB 中，由勾股定理，得2 2 2AB AC BC，因此彩带的长为 2.9m AB（2）在木柱上均匀地缠绕 7 圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根数量关系把数与形统一起来在现实世界中有着广泛的应用勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为那么 的逆定理则是从三

8、角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法学习勾股定理这一章除了掌握上述两个定理 阔方法简便快捷下面举例说明供同学们参考一数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理它的验证和应用都体现精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图 5）EF 为木柱的17，2m7EF.又 DE 为木柱展开后的底面周长，0.3m DF.在 Rt DEF 中，由勾股定理，得2 2 2DE DF EF，29m70DE，因此，彩带的长为 7 2.9m DE 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间

9、概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路 四、分类讨论思想 例 5如图 6 是一块长、宽、高分别为 6 厘米、4 厘米、3 厘米的长方题木块一只蚂蚁要从木块的一定点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A.)3 2 3(厘米 B.97 厘米 C.85 厘米 D.9 厘米 分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化所以将长方体展开是解决本题的关键 分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图 7，由图 7，可得2 2 23 10 AB=109 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图 8，根据图 8

10、 可得2 2 26 7 AB=85 数量关系把数与形统一起来在现实世界中有着广泛的应用勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为那么 的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法学习勾股定理这一章除了掌握上述两个定理 阔方法简便快捷下面举例说明供同学们参考一数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理它的验证和应用都体现精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图 9，这个时候我可得 2 2 29 4 AB=97 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图 8 的爬行路径路程最短，所以 8

11、5 AB 厘米故选 C 五、整体思想 例 6：（课本题）已知 a、b、c 分别是 Rt ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则 SABC=分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边 a、b，则 SABC即可求出，但这样求 a、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：SABC=ab21，那么只要求出 ab 这一整体就可以了 解、由 a+b=14，两边平方得：a2+2ab+b2=196，所以 ab=21962 2b a 根据勾股定理，a2+b2=c2 所以，ab=21962c=210 1962=48 因此 SABC=ab21=48 例 7：如图 10，BC长

12、为 3 厘米，AB长为 4 厘米，AF长为13 厘米求正方形CDEF的面积 分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF；要求出CF，先要求出AC好，现在我们就顺着这个思路来求在Rt ABC 中，2 2 2 2 23 4 25 AC AB BC，所以5 AC，在Rt FAC 中，2 2 2 2 213 5 194 FC AF AC，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为 2FC，何必去求FC，只要求出数量关系把数与形统一起来在现实世界中有着广泛的应用勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为那么 的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否

13、是直角三角形的一个方法学习勾股定理这一章除了掌握上述两个定理 阔方法简便快捷下面举例说明供同学们参考一数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理它的验证和应用都体现精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2FC这个“整体”就可以，原来正方形的面积为 194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成）评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识 数量关系把数与形统一起来在现实世界中有着广泛的应用勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为那么 的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法学习勾股定理这一章除了掌握上述两个定理 阔方法简便快捷下面举例说明供同学们参考一数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理它的验证和应用都体现