数值分析Ch4数值积分与数值微分.doc

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1、数值积分与数值微分1. 引言1. 问题的提出在用Newton-Leibniz公式：计算积分时往往面临下列困难：(1) 的原函数不是初等函数，例如等；(2) 的原函数过于复杂，不便应用Newton-Leibniz公式；(3) 为离散形式。2. 数值积分的基本思想机械求积根据积分中值定理及定积分的几何意义：。数值积分的基本思想是：将积分表示为在若干点处值的线性组合即，和分别称为求积节点、求积系数和余项。称为求积公式。3. 代数精度定义1 若对于不高于次的多项式，余项，而总存在次多项式使，则称求积公式代数精度为。4. 插值型求积公式定义2 对及，做插值，则，此类求积公式称为插值型求积公式。定理1 求

2、积公式为插值型其代数精度至少为。证 充分性。若求积公式的代数精度至少为，则，即求积公式为插值型。必要性。设为任意次多项式，。因为和均为过个点的次多项式，所以。从而，若求积公式为插值型，则其代数精度至少为。2. Newton-Cotes公式一、Newton-Cotes公式1. 定义对插值型求积公式，若取等距节点， ，则，此时称求积公式为Newton-Cotes公式。当时，称为梯形公式：；当时，称为Simpson公式：；当时，称为Simpson-3/8公式：；当时，称为Cotes公式：。2. 余项 。可见，Newton-Cotes公式的代数精度为。3. 收敛性与数值稳定性(1) 求积公式收敛的必要

3、条件为有界； (2) 对较大的，Newton-Cotes公式不稳定，不宜采用。二、复化求积法将等分，在每个小区间上用低阶Newton-Cotes公式求得该区间的积分值，则，此方法称为复化求积法。1. 复化梯形公式 。2. 复化Simpson公式 。例1 分别用复化梯形公式(n=8)和复化Simpson公式(n=4)计算。解x 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1f(x) 1 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.；。3. 复化公式的误差复化公式余项为。3. Romberg算法复化求积公式精度较高，但需事先确定步长，缺乏灵活性。下面介绍变步长的Romberg算法

4、。1. 加速收敛技巧在用序列逼近时，若能从产生出新序列，它比更快地收敛于，此即加速收敛技巧。例如用逼近时，；类似地。此加速收敛算法称为Richardson外推算法。2. Romberg求积法，将步长逐次减半，得序列，分析误差可得新序列：。用逼近I的算法称为Romberg算法。不难验证：即为Simpson公式；即为Cotes公式。例2 用Romberg算法计算。解 计算结果见P93。4. 高斯型求积公式1. 高斯公式与高斯点定义 对插值型求积公式，若能选择适当的 使其具有次代数精度，则称此求积公式为高斯公式，其节点称为高斯点。2. 高斯公式的构造定理2 求积公式为高斯公式的充要条件是以为零点的多

5、项式与任意不超过次的多项式均正交，即。证 必要性：设为次数不超过的多项式，则不超过次。因为高斯公式，故 。又，从而。充分性：对次数不超过的多项式，用除，商为，余式为，则次数均不超过，且。又，故。推论 上次正交多项式的零点即为Gauss点。证 因为正交多项式与比它次数低的任意多项式都正交，且上次正交多项式恰好有个不同的实零点，故得证。3. Gauss-Legendre公式(1) 对积分区间，取其上次Legendre多项式的零点 为节点，则称为Gauss-Legendre求积公式。此时，。令。又，故。两点Gauss公式：；三点Gauss公式：。例3 计算。解 两点Gauss公式：；两点梯形公式：；三点Gauss公式：；三点Simpson公式：；。(2) 若积分区间为，可作代换，则。4、高斯公式的稳定性(1) Gauss公式中的；证 因为次多项式，为次，Gauss公式准确成立，故，从而。(2) Gauss公式是数值稳定的。证 设的近似值，则为的近似值。