第五章定积分.doc

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1、|第五章 定积分一、内容精要（一） 基本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。定义 3.3 设函数 f(x)在闭区间 上有定义，在闭区间a,b内任意插入 n-1 个分点将 分成n 个小区间 ，记 ， ，作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式 （称为积分和式）设，若 极限存在唯一且该极限值与区是a,b的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数 f(x)在 上的定积分，记作 ，即.否则称 f(x)在 上不可积.注 1 由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。注 2 若 存在，区间 进行

2、特殊分割，分点 进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。注 3 定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义: 若 f(x)在 上可积，且 则 表示曲线与直线 所围成的曲边梯形的面积.|同样，变力所作的功 （其中 f(x)是变力）变速直线运动的路程 （是瞬时速度），密度不均质直线段 的质量 （其中 是线密度）。规定 广义积分定义 3.4 设函数 在区间 上连续，称记号 （1）为函数 在无穷区间 上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分 收敛，

3、该极限值称为广义积分的值，否则称广义积分 发散。由 在 连续必有原函数，设 的原函数为 。于是从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即若 （存在）= A，则 收敛，且 若 不存在，则 发散。同理可得 若 存在，则广义积分 收敛，否则发散。若 ， 都存在，则 收敛，否则发散。定义 3.5 设 在区间 上连续， 不存在（称 a 点为瑕点）， 且，称记号与上面研究方式相同，可得|若 存在，则广义积分 收敛，否则发散。同理若 在 上连续， 不存在（称 b 点为瑕点），有若 在 上连续， 不存在（称 c 点为瑕点），定义当且仅当 都收敛时， 收敛，且 值等于的值之和。注 若 在 上连续， （常数

4、），则 可看成正常积分，事实上，定义 知 在 上连续，即 存在，而，由于 在 上连续，知变下限函数在 上连续，有 ，即故 可看成正常积分。若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。第一 p 广义积分 （ a0，常数）.当 时，当 时， 知 时收敛， 时发散第二 p 广义积分 .令 ，有|由第一 p 广义积分知，当 ，即 时收敛，当 ，即 时发散。（二）重要定理与公式定理 3.2 若函数 f(x)在闭区间 上可积，则 f(x)在 上有界，反之不成立。例 .事实上，因为不论把0，1分割得多么细，在每个小区间 中，总能找到有

5、理数 ，无理数 ，知 知不存在。定理 3.3 若 f(x)在闭区间 上连续，则 f(x)在 上可积，反之不成立.定理 3.4 若 f(x)在闭区间 上只有有限个间断点且有界，则 f(x)在 上可积，反之不成立.定理 3.5 若 f(x)在闭区间 上单调，则 f(x)在 上可积，反之不成立.定积分的性质性质 1 性质 2 （线性运算法则）设 在 上可积，对任何常数 则.该性质用于定积分的计算与定积分的证明.性质 3 （区间的可加性），若 f(x)在以 a,b,c 为端点构成的最大区间上可积，则不论 a,b,c 顺序如何，有该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质 4 若 f(x)在 上

6、可积且 则 .|性质 5 若 f(x),g(x)在 上可积且 则性质 6 若 f(x)在 上连续， 且 f(x) 0 则性质 7 若 f(x),g(x)在 上连续且 但 ,则.性质 8 若 f(x)在 上可积，则 .性质 9 若 f(x)在 上可积，在区间 上，mf(x)M，m，M 是常数，则性质 4、5、6、7、8、9 主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质 10 （积分中值定理）若 f(x)在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使而 称为 f(x)在区间 上的平均值，即闭区间a,b上连续函数 f(x)的平均值是 注：这里的 与 是不同的。性质 131 变上限

7、积分求导定理 设 f(x)连续， 可导，则1定积分计算的方法（1）牛顿一莱布尼兹公式 若 f(x)在 上连续,则 .（2）凑微分 |（3）变量替换 （4）分部积分 设 在 上导数连续，则具体的用法是如果能够计算出 就可以计算出定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。（5）设 f(x)在 上连续，则事实上， 而故得证推论证 由于且 为偶函数， 为奇函数，于是（6）设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则 .事实上|由于 于是（7）设 f(x)在0,1上连续，则事实上移项两边同除以 2 得 .微元法根据

8、所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量 Q 所分布的区间 且区间 上的总量 Q 具有等于各小区间上部分量之和的特点.（1）取近似求微元.选取区间 。写出部分量 的近似值 即要求 是 的线性主部 即计算的过程中，可以略 的高阶无穷小。这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法.（2）得微分. （3）计算积分. 注：第一步一定要把 表示成 x 的函数与 的乘积形式.由 ，于是又可写成下面的步骤：（1）选取 求 的线性主部 ， ,（2）二、考题类型、解题策略及典型例题类型 1.1 涉及到定积分的方程根的存在性|解题策略利用积分中值理，定积分的 13

9、条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.1 设函数 f(x)在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 证明在（0。1）内存在一点 ，使 .分析 由结论知对被积函数用罗尔定理.证由积分中值定理知，在 上存在一点 c，使 且 ，由 f(x)在(0，c)上连续，在0，c内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点 使类型 1.2 涉及到定积分的适合某种条件 的等式.解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.2 设 在0

10、,1上连续，在（0，1）内可导，且满足证明至少存在一点 ,使分析 由前面的例知原理相同，对被积函数用罗尔定理.证 由 及积分中值定理，知至少存在一点 ，使得令 由 在c,1上连续，在（c,1）内可导 。由罗尔定理知，至少存在一点 ，使得 ，由得 即|类型 1.3 涉及到定积分的不等式.解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.3 设 上连续且递减，证明当 0 1 时， 。分析 利用积分中值定理与函数的单调性.证法一 其中 0 上递减，知0 1，01 1，从而，即 。分析 利用函数的单调性

11、与积分不等式性质.证法二 ，由 0 1，知 递减，知 得 .从而 .分析 利用单调性定理与积分中值定理.证法三 要证原不等式成立，只要证 成立，令 ，由 （1）成立，由 内可导，且其中 知上递减，又 0 1，有|即（1）式成立，由每一步可递，故原等式成立。类型 1.4 涉及到定积分的等式证明.解题策略 用变量代换较多或利用周期函数的性质.例 3.2.4 证明 .证 类型 1.5 涉及到定积分变上下限函数的等式证明.解题策略 用分变上下限函数的求导，注意要化成标准形式.以下两题类似.例 3.2.5 设连续函数 f(x)满足 .分析 要化成变上下限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导解 令 ，有从而得到 ，令 x=1 有 例 3.2. 6 求连续函数 f(x)，使满足分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导解 代入等式并化简有，等式两边同时对 x 求导有 ，得 .于是 .分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导类型 1.6 涉及到 f(x)与其定积分的等式，求 f(x)