第五章定积分2690.pdf

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1、 第五章 定积分 在上一章中我们学习了积分学的第一个问题不定积分,本章继续学习积分学的第二个问题定积分，定积分不论是在理论上还是在实际应用上，都有着十分重要的意义，它也是整个高等数学最重要的篇章之一.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.我国汉代的数学家刘徽用“割圆术”求圆的面积,德国天文学家开普勒证明行星运动三大定律等，这里面已经蕴含了定积分思想的雏形.17 世纪中叶,英国的牛顿和德国的莱布尼茨在许多数学家工作的基础上提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完

2、整的理论体系微积分学.本章先在典型实例的基础上，引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质，重点是微积分基本定理，建立关于定积分的换元法和分部积分法，并介绍反常积分的概念.第一节 定积分的概念和性质 本节主要内容 1 典型实例 2 定积分的定义 3 定积分的性质 讲解提纲：一、引例 例 1 曲边梯形的面积 例 2 变速直线运动的路程 例 3 变力做功 二、定积分的定义 定 义：设)(xf在 闭 区 间,ba上 有 界,在,ba中 任 意 插 入 一 系 列 分 点 bxxxxxann1210,把区间,ba分割成 n 个小区间,10 xx,21xx,1nnxx,每个小区间的长度记为1,iiixxx1

3、,2,in.在每个小区间,1iixx上 任 取 一 点),(1iiiixx 作 函 数 值)(if与 小 区 间 长 度ix的 乘 积iixf)(),2,1(ni,并作和式1(),niiiSfx记,max21nxxx如果不论对,ba怎样的分法,也不论在小区间,1iixx上点i怎样取法,只要当0时,和S总趋于确定的极限 I,则称极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分,记作 niiibaxfIdxxf10)(lim)(，其中)(xf叫做被积函数,dxxf)(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,ba叫做积分区间.三、定积分的几何意义 当在,a b上()0f x 时，定积分()baf x dx在

4、几何上表示由曲线()yf x、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积；当在,a b上()0f x 时，定积分()baf x dx在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值；当在,a b上()f x既取得正值又取得负值时，定积分()baf x dx在几何上表示x轴上方面积减去x轴下方面积.四、定积分的性质 两点补充规定：(a)当ba 时,;0)(badxxf(b)当ba 时,abbadxxfdxxf)()(.性质 1.)()()()(bababadxxgdxxfdxxgxf 性质 2,)()(babadxxfkdxxkf(k 为常数).性质 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(

5、.性质 4.1abdxdxbaba 性质 5 若在区间,ba上,0)(xf 则,0)(badxxf ).(ba 推论 1 若在区间,ba上有),()(xgxf 则,)()(babadxxgdxxf ).(ba 推论 2).(|)(|)(badxxfdxxfbaba 性质 6(估值定理)设 M 及 m 分别是函数)(xf在区间,ba上的最大值及最小值,则).()()(abMdxxfabmba 性质 7(定积分中值定理)如果函数)(xf在闭区间,ba上连续,则在,ba上至少存在一个点,使).(),)()(baabfdxxfba 例题选讲：定积分的定义 例 1 利用定积分的定义计算定积分102dxx

6、.解：把区间 1,0分成 n 等份，分点为为nixi，;1,2,1ni取iix 得合式)12)(11(611)()(1212121nnnnixxxxfniniiiniiiniii 当0时，又定积分的定义 102dxx=nniiixlimlim120)12)(11(61nn=31 定积分的性质 例 2 比较积分值21ln xdx和221(ln)xdx的大小.解：21ln xdx221(ln)xdx 例 3 估计积分31/3arctanxxdx的值.解：3arctan9331xdxx 课堂练习 1.证明等式12014x dx;2.估计积分1431(425)xxdx的值.第二节 微积分基本公式 定积

7、分作为一种特定和式的极限，直接按定义来计算将是十分困难的.本节将通过对定积分和原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法.本节主要内容 1 从实例看定积分与原函数的关系 2 积分上限函数 3 牛顿-莱布尼兹公式 讲解提纲：一、变速直线运动中位置函数与速度函数的关系 二、积分上限的函数及其导数：xadttfx)()(定理 1 若函数)(xf在区间,ba上连续,则积分上限函数 xadttfx)()(在,a b上可导，并且有()()xf x，axb.定理 2 若函数)(xf在区间,ba上连续,则函数 xadttfx)()(就是)(xf在,ba上的一个原函数.三、牛顿莱布尼兹公式 定理 3

8、若函数)(xF是连续函数)(xf在区间,ba上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.上式称为牛顿莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式.例题选讲：积分上限的函数及其导数 例 1 求 0cossinxdtdtdx.解：0cossinxdtdtdx=xx sin)sin(cos 例 2 求 20sinxdtdtdx.解：20sinxdtdtdx=xxsin2 例 3 求 32411xddtdxxt.解：32411xddtdxxt=8121213xxxx 例 4 求 21cos02limxdtextx；2030sinlimxxtdtx.解：21cos02limxdtextx=exxexx21

9、2sinlim2cos0；例 5 设)(xf在0,)内连续且.0)(xf 证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.解：xxxxxdttfdttftxxfdttfdtttfxfdtttfxxfxF0200200)()()()()()()()()()(当xt 0时0)()(,0)(tftxtf由积分中值定理可知 0)(,0)()(00 xxdttfdttftx 从而)(xF在),0(内为单调增加函数.牛顿莱布尼兹公式 例 6 求定积分 102dxx.解：102dxx=31 例 7 求211.04dxx 解:211.04dxx=6212arcsinx 例 8

10、求 20f x dx，其中 2111122xxf xxx.解：20f x dx=102122)1(dxxdxx=38 例 9 设函数)(xf在闭区间,ba上连续,证明在开区间),(ba内至少存在一点,使).()()(baabfdxxfba 解：设闭区间,ba上F)()(xfx 根据牛顿莱布尼茨公式，有)()()(aFbFdxxfba 据微分中值定理，在开区间),(ba内至少存在一点,使 )()()(abFaFbF 故).()()(baabfdxxfba 课堂练习 1.设sin20()sin()xf xtdt，34()g xxx,求证当0 x 时,()f x是()g x的同阶但非等价无穷小.2.

11、设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且()0fx，1()()xaF xf t dtxa.证明在(,)a b有()0F x.第三节 换元法积分法和分部积分法 由微积分学的基本公式可知,计算定积分badxxf)(的简便方法是把它转化为求)(xf的原函数在区间,ba上的增量问题,因此在一定条件下,可以应用换元积分法和分部积分法来求定积分.本节主要内容 1 定积分的换元法 2 定积分的分部积分法 讲解提纲：一、定积分换元积分法 定理 1 设函数)(xf在区间,ba上连续,函数)(tx满足条件：（1）(),()ab ；（2）)(t在,(或,)上具有连续导数,且其值域,Ra b,则有 dt

12、ttfdxxfba)()()(.上述公式称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似.但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(tx把变量 x 换成新变量 t 时,积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()(ttf的一个原函数)(t后,不必像计算不定积分那样再把)(t变换成原变量 x 的函数,而只要把新变量 t 的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.二、定积分的分部积分法 baudvbabavduuv 或 badxvubabadxuvuv.例题选讲：定积分换元积分法 例 1 求053sinsindxxx 解：5

13、4sinsinsinsin)cos(sincossinsinsin22320232232023053xxdxxddxxxxdxxdxxx 例 2 求).0(022adxxaa 解：设txsin 4)2cos1(2cos22022022022adttatdtadxxaa 例 3 求ln201xedx.例 4 求22240axadxx.例 5 若)(xf在,aa上连续,则(1)当)(xf为偶函数,有 aaadxxfdxxf0)(2)(;(2)当)(xf为奇函数,有 0)(aadxxf.解：因为aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(作代换tx则得 aaadxxfxfdxxf0)()()(1

14、)当)(xf为偶函数,有)()(xfxf aaadxxfdxxf0)(2)(2)当)(xf为奇函数,有)()(xfxf 0)(aadxxf 例 6 求22 32(2)(4)xxdx.例 7 若)(xf在0,1上连续,证明(1);)(cos)(sin2/02/0dxxfdxxf(2),)(sin2)(sin00dxxfdxxxf 由此计算.cos1sin02dxxxx 解：（1）设tx2 2/02/0022/0)(cos)(cos)2(sin()(sindxxfdttfdttfdxxf （2）设tx 0000)(sin)(sin)(sin)()(sindxxxfdxxfdttftdxxxf 所以

15、,)(sin2)(sin00dxxfdxxxf 由上述结论 4cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx 定积分的分部积分 例 9 求/220cos.xxdx 例 10 求1/lneex dx.解：1/lneex dx=11122lnlneeexdxxdx 例 11 求10arctanxdxx 解：102102arctanarctanxxdxdxx=214 例 12 推导定积分/2/200sin(cos)nnnIxdxxdx(n为非负整数)的递推公式,并 计算082sindxx 解：nnnnnnInInxdxnxdxnxxdI)1()1(sin)1(sin)1(cossin22

16、0202201 可得 21nnInnI 依次进行下去,32547632421222122,221436542522232212122mmmmmmImmmmmmImm 2080808!8!7sin222sin22sintdtxdxdxx 课堂练习 1.利用定积分的几何意义推导圆的面积公式.2.设)(xf 在0,1上连续,且(0)0,(2)4,(2)2,fff 求.)2(10 dxxf x 第四节 反常积分 在前面学习的定积分中有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性.但在实际问题中,我们常遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分.这就是反常积分的概念.本节主要内容

17、1 无穷限的反常积分 2 无界函数的反常积分 讲解提纲：一、无穷限的反常积分()lim()()()taatf x dxf x dx FF a ()lim()()()bbttf x dxf x dx F bF 00()()()()()fx d xfx d xfx d xFF 二、无界函数的反常积分()lim()bbattaf x dxf x dx()lim().btaatbf x dxf x dx 例题选讲：无穷限的反常积分 例 1 求0pttedt,0p 常数.解：200011pepeptdtteptptpt 例 2 求0tte dt.例 3 判断1pdxa x的敛散性.解：当1p时，aapx

18、dxxdx 当1p时 1,11,111ppappxxdxpapap 所以，当1p时，收敛，其值为11pap；当1p时，发散。无界函数的反常积分 例 4 求).0(022axadxa 解：a为瑕点 2arcsin0022aaaxxadx 例 5 求 1211dxx.解：被积函数21x在积分区间1,1上除0 x外连续，010121xxdx 即1211dxx发散。例 6 求102arcsin1xdxx.课堂练习 1.求2630(4)xdx;2.计算0 xnnIex dx,n是非负整数.3 判断101pdxx的敛散性.第五节 反常积分审敛法 函数 反常积分的收敛性,可以利用反常积分的定义来判断.但是大

19、部分被积函数的原函数不宜求,这也使得利用反常积分的定义来判断其收敛性有一定的局限性.在本节中，我们给出不需要求被积函数的原函数而判断反常积分的收敛性的判定法.本节主要内容 1 无穷限的反常积分的审敛法 2 无界函数的反常积分的审敛法 讲解提纲：一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分审敛法 三、函数：定义 性质 例题选讲：无穷限反常积分的审敛法 例 1 判定反常积分121dxxx的收敛性.例 2 判定反常积分31arctan1xxdxx的收敛性.例 3 判定反常积分11 1sindxxx的收敛性.无界函数的反常积分审敛法 例 4 判定反常积分01sindxx的收敛性.例 5 判定反常

20、积分1ln0 xdx的收敛性.例 6 判定反常积分0ln(1)pxdxx的收敛性.课堂练习 1.判断反常积分24201xdxxx的收敛性.2.判断反常积分21 32132dxxx的收敛性.本章小结：本章是整个微积分学的的重要内容之一.首先从三个引例出发，给出了定积分的定义一种和式的极限，并介绍了微积分基本公式，从而找到一个计算定积分的简便方法，并把求不定积分的换元法和分部积分法引入到计算定积分中来。最后，把定积分的概念加以推广，得到了反常积分的概念，并且介绍了判断反常积分的收敛性的判别法。同学习上一章一样，要想熟练掌握定积分及其运算，仍然需要我们去做大量的习题，这样才能熟能生巧，掌握定积分的内容。