初三相似三角形讲义.doc

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1、|相似三角形知识点总结知识点 1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如ABC 与A /B/C/相似，记作: ABCA /B/C/ 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若ABCA /B/C/，相似比为 k，则A /B/C/与ABC 的相似比是 1k知识点 2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为 1 的相似三角形。（2）两个等边

2、三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点 3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在 比 例 式 ： ： 中 ， 、 叫 外 项 ， 、 叫 内 项 ， 、 叫 前 项 ，abcdadbcac()b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，使 AC2=ABBC，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2. 比例性质： 基 本 性 质 ： abcdbc 合 比 性 质 ： abcdbcd 等 比 性 质 ： m

3、nnmna()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例. 已知 l1l2l3, A D l1B E l2C F l3可得 等.EDAFEABCDFEBCA 或或或或|（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线 )所得的对应线段成比例. AD EB C由 DE BC 可得： .此推论较原定理应AECADB或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）

4、定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点 4：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 5：相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形

5、与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”三边对应成比例的两个三角形相似。知识点六：摄影定理|DAB CAD2=BDCD AB2=BDBC AC2=CDBC

6、特殊图形（双垂直模型）BAC=90 AD2=BDCD AB2=BDBC AC2=CDBC知识点七：相似三角形的周长和面积（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两

7、边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。相似三角形的基本图形： AB CDE AB CDEADBC|判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。经典习题考点一：平行线分线段成比例1、 （2013 广东肇庆）如图，已知直

8、线 a b c，直线 m、 n 与 a、 b、 c 分别交于点A、 C、 E、 B、 D、 F， AC 4， CE 6， BD 3，则 BF （ ）A 7 B 7.5 C 8 D 8.52、（2013 福州） 如图，已知ABC ，AB=AC=1 ，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D，则 AD 的长是 ，cosA 的值是 （结果保留根号）3、（2011 湖南怀化）如图所示：ABC 中，DE BC，AD5，BD10，AE 3，则 CE的值为（ ）A9 B6 C3 D4abcA BC DE Fm n| ECDB A4 （2011 山东泰安）如图，点 F 是ABCD 的边 CD 上一点

9、，直线 BF 交 AD 的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）A B C D DFEBFEBCEA5 （2012 孝感）如图，在 ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（ ）A B C D125125151考点二：相似三角形的性质1、 （2013昆明）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交 AC，BD 于点 E，F，交 AD，BC 于点 M，N下列结论：APEAME；PM+PN=AC； PE2+PF2=PO

10、2；POF BNF； 当 PMNAMP 时，点 P 是 AB 的中点其中正确的结论有（ ）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个GEADBCPF|考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析： 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN 以及APE、 BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形，从而作出判断解答： 解： 四边形 ABCD 是正方形，BAC=DAC=45在 APE 和AME 中，APEAME，故正确；PE=EM= PM，同理，FP=FN= NP正方形 ABCD 中 ACBD，又 PEAC，PFBD，PEO=

11、EOF=PFO=90，且 APE 中 AE=PE四边形 PEOF 是矩形PF=OE，PE+PF=OA，又 PE=EM= PM，FP=FN= NP，OA= AC，PM+PN=AC，故正确；四边形 PEOF 是矩形，PE=OF，在直角OPF 中，OF 2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2，故正确BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是，故 错误；AMP 是等腰直角三角形，当 PMNAMP 时，PMN 是等腰直角三角形PM=PN，又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形，AP=BP，即 P 时 AB 的中点故正确故选 B点评： 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识APM

12、和BPN 以及APE、 BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形是关键2、 （2013新疆）如图， RtABC 中，ACB=90， ABC=60，BC=2cm ，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t秒（0t6） ，连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）|A2 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5考点： 相似三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形专题： 动点型分析： 由 RtABC 中， ACB=90， ABC=60，BC=2cm，可求得

13、 AB 的长，由 D 为 BC 的中点，可求得 BD 的长，然后分别从若DBE=90 与若EDB=90时，去分析求解即可求得答案解答： 解： RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，AB=2BC=4（cm ） ，BC=2cm，D 为 BC 的中点，动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，BD=BC=1（cm ） ，BE=AB AE=4t（cm） ，若DBE=90，当 AB 时， ABC=60，BDE=30，BE=BD=（cm） ，t=3.5，当 BA 时，t=4+0.5=4.5 若EDB=90时，当 AB 时， ABC=60，BED=30，BE=2BD=2（cm） ，

14、t=42=2，当 BA 时，t=4+2=6 （舍去） 综上可得：t 的值为 2 或 3.5 或 4.5故选 D点评： 此题考查了含 30角的直角三角形的性质此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用3、 （2013内江）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，则 DE：EC=（ ）|A2：5 B2：3 C3：5 D3：2考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEFBAF，再根据 SDEF：S ABF=4：10：25 即

15、可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC 的值，由AB=CD 即可得出结论解答： 解： 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，EAB=DEF，AFB= DFE，DEFBAF，SDEF：S ABF=4：25，DE：AB=2 ：5，AB=CD，DE：EC=2 ： 3故选 B点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键4、（2013宁夏） ABC 中， D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点，BC=4，下面四个结论：DE=2；ADEABC；ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4； A

16、DE的周长与ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有 （只填序号）考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理3718684分析： 根据题意做出图形，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，可得 DEBC，DE= BC=2，则可证得ADE ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可解答： 解： 在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE= BC=2，ADEABC，故正确；ADEABC， = ，ADE 的面积与ABC

17、 的面积之比为 1：4，ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：2，故正确，错误故答案为：|点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方5、 （2013自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG= ，则EFC 的周长为（ ）A11 B10 C9 D8考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质3718684分析： 判断出ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三

18、角形，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在 RtBGE 中求出 GE，继而得到 AE，求出 ABE 的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出EFC 的周长解答： 解： 在 ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9 ，BAD 的平分线交 BC 于点 E，BAF=DAF，ABDF，AD BC，BAF=F=DAF，BAE=AEB，AB=BE=6，AD=DF=9，ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，ADBC，EFC 是等腰三角形，且 FC=CE，EC=FC=96=3，在ABG 中，BG AE，AB=6 ，BG=4 ，AG= =2，AE=2AG=4，ABE 的周长等于 16，又

19、CEFBEA，相似比为 1：2，CEF 的周长为 8故选 D|点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大6、 （2013宜昌）如图，点 A，B，C ，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ，以 C，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（ ）A（6，0） B（6，3） C（6，5） D（4，2）考点： 相似三角形的性质；坐标与图形性质分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断解答： 解：ABC 中， ABC=90，AB=6，BC

20、=3 ，AB：BC=2A、当点 E 的坐标为（6，0）时， CDE=90，CD=2，DE=1，则 AB：BC=CD ：DE ，CDEABC，故本选项不符合题意；B、当点 E 的坐标为（6，3）时， CDE=90，CD=2，DE=2，则 AB：BCCD：DE，CDE 与ABC 不相似，故本选项符合题意；C、当点 E 的坐标为（6，5）时， CDE=90，CD=2，DE=4，则 AB：BC=DE：CD，EDCABC，故本选项不符合题意；D、当点 E 的坐标为（4，2）时， ECD=90，CD=2，CE=1，则 AB：BC=CD：CE，DCEABC，故本选项不符合题意；故选 B点评： 本题考查了相似三角形的判定，难度中等牢记判定定理是解题的关键7、 （2013雅安）如图， DE 是ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 SCEF：S 四边形 BCED 的值为（ ）