初三相似三角形讲义全(21页).doc

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1、-第 1 页初三相似三角形初三相似三角形讲义全讲义全-第 2 页相似三角形知识点总结相似三角形知识点总结知识点知识点 1 1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如ABC 与A/B/C/相似，记作:ABCA/B/C/。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若ABCA/B/C/，相似比为 k，则A/B/C/与

2、ABC 的相似比是1k知识点知识点 2 2、相似三角形与全等三角形的关系、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为 1 的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点知识点 3 3、平行线分线段成比例定理、平行线分线段成比例定理1.比例线段的有关概念：b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，使 AC2=ABBC，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2.比例性质：3.平行线

3、分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知 l1l2l3,ADl1BEl2CFl3可得EFBCDEABDFEFACBCDFEFABBCDFDEACABEFDEBCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由 DEBC 可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利

4、用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点知识点 4 4：相似三角形的性质：相似三角形的性质-第 3 页 D A B C相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点知识点 5 5：相似三角形的判定：相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边

5、对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。形相似。点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。注意：这

6、个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”三边对应成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。知识点六：摄影定理知识点六：摄影定理ADAD2 2=BD=BDCDCDABAB2 2=BD=BDBCBCACAC2 2=CD=CDBCBC特殊图形（双垂直模型）BAC=90ADAD2 2=BD=BDCDCDABAB2 2=BD=BDBCBCACAC2 2=CD=CDBCBC知识点七：相似三角形的周长和面积知识点七：相似三角形的周长和面积（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。（2）相似三角形对应高的比、对应中线

7、的比、对应角平分线的比等于相似比。(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方补充：相似三角形的识别方法补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。ABCDEABCDEADBCBACBDAADC-第 4 页(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比

8、例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。相似三角形的基本图形：相似三角形的基本图形：判断三角形相似判断三角形相似，若已知一角对应相等若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。相似三角形的应用相似三角形的应用：求物体的长或宽或高

9、；求有关面积等。经典习题经典习题考点一：平行线分线段成比例考点一：平行线分线段成比例1、（2013 广东肇庆）如图，已知直线abc，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC 4，CE 6，BD 3，则BF（）A 7B 7.5C 8D 8.52、（2013福州）如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是，cosA 的值是（结果保留根号）3、（2011 湖南怀化）如图所示：ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3，则CE的值为（）A9B6C3D44（2011 山东泰安）如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF

10、交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）AEDDFEAABBDEEFBCFBCBCBFDEBEDBFBCBEAE5（2012孝感）如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（）A512B512C51D51考点二：相似三角形的性质考点二：相似三角形的性质1、（2013昆明）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B重合），对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交AC，BD 于点 E，F，交 AD，BC 于点 M，N下列结论：APEAME；PM+PN=AC；PE

11、2+PF2=PO2；POFBNF；当PMNAMP 时，点 P 是 AB 的中点其中正确的结论有（）abcABCDEFmn-第 5 页A 5 个B4 个C3 个D 2 个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN 以及APE、BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形，从而作出判断解答：解：四边形 ABCD 是正方形，BAC=DAC=45在APE 和AME 中，APEAME，故正确；PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP正方形 ABCD 中 ACBD，又PEAC，PFBD，PE

12、O=EOF=PFO=90，且APE 中 AE=PE四边形 PEOF 是矩形PF=OE，PE+PF=OA，又PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，PM+PN=AC，故正确；四边形 PEOF 是矩形，PE=OF，在直角OPF 中，OF2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2，故正确BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是，故错误；AMP 是等腰直角三角形，当PMNAMP 时，PMN 是等腰直角三角形PM=PN，又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形，AP=BP，即 P 时 AB 的中点故正确故选 B点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识APM 和BPN 以及

13、APE、BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形是关键2、（2013新疆）如图，RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t秒（0t6），连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为（）A 2B2.5 或 3.5C3.5 或 4.5D 2 或 3.5 或 4.5考点：相似三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形专题：动点型分析：由 RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，可求得 AB 的长，由 D 为 BC 的中点，可

14、求得 BD 的长，然后分别从若DBE=90与若EDB=90时，去分析求解即可求得答案-第 6 页解答：解：RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，AB=2BC=4（cm），BC=2cm，D 为 BC 的中点，动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，BD=BC=1（cm），BE=ABAE=4t（cm），若DBE=90，当 AB 时，ABC=60，BDE=30，BE=BD=（cm），t=3.5，当 BA 时，t=4+0.5=4.5若EDB=90时，当 AB 时，ABC=60，BED=30，BE=2BD=2（cm），t=42=2，当 BA 时，t=4+2=6（舍去）综上可得

15、：t 的值为 2 或 3.5 或 4.5故选 D点评：此题考查了含 30角的直角三角形的性质此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用3、（2013内江）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDEF：SABF=4：25，则 DE：EC=（）A 2：5B2：3C3：5D 3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEFBAF，再根据 SDEF：SABF=4：10：25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC 的值，由 AB=CD即可得

16、出结论解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，EAB=DEF，AFB=DFE，DEFBAF，SDEF：SABF=4：25，DE：AB=2：5，AB=CD，DE：EC=2：3故选 B点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键4、（2013宁夏）ABC 中，D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点，BC=4，下面四个结论：DE=2；ADEABC；ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4；ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有（只填序号）考点：相似三角形的判定与性质；三角形

17、中位线定理3718684分析：根据题意做出图形，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，可得 DEBC，DE=BC=2，则可证得-第 7 页ADEABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可解答：解：在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE=BC=2，ADEABC，故正确；ADEABC，=，ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4，ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：2，故正确，错误故答案为：点评：此题考查了相似

18、三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方5、（2013自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG=，则EFC 的周长为（）A 11B10C9D 8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质3718684分析：判断出ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在RtBGE 中求出 GE，继而得到 AE，求出ABE 的周长，根据相似三角形的周长

19、之比等于相似比，可得出EFC 的周长解答：解：在 ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9，BAD 的平分线交 BC 于点 E，BAF=DAF，ABDF，ADBC，BAF=F=DAF，BAE=AEB，AB=BE=6，AD=DF=9，ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，ADBC，EFC 是等腰三角形，且 FC=CE，EC=FC=96=3，在ABG 中，BGAE，AB=6，BG=4，AG=2，AE=2AG=4，-第 8 页ABE 的周长等于 16，又CEFBEA，相似比为 1：2，CEF 的周长为 8故选 D点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形

20、的周长之比等于相似比，此题难度较大6、（2013宜昌）如图，点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以 C，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（）A（6，0）B（6，3）C（6，5）D（4，2）考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断解答：解：ABC 中，ABC=90，AB=6，BC=3，AB：BC=2A、当点 E 的坐标为（6，0）时，CDE=90，CD=2，DE=1，则 AB：BC=CD：DE，CDEABC，故本选项不符合题意；B、当点 E 的坐标为（

21、6，3）时，CDE=90，CD=2，DE=2，则 AB：BCCD：DE，CDE与ABC 不相似，故本选项符合题意；C、当点 E 的坐标为（6，5）时，CDE=90，CD=2，DE=4，则 AB：BC=DE：CD，EDCABC，故本选项不符合题意；D、当点 E 的坐标为（4，2）时，ECD=90，CD=2，CE=1，则 AB：BC=CD：CE，DCEABC，故本选项不符合题意；故选 B点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等牢记判定定理是解题的关键7、（2013雅安）如图，DE 是ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 SCEF：S四边形 BCED的值为（）A 1

22、：3B2：3C1：4D 2：5考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理分析：先利用SAS证明ADECFE（SAS），得出SADE=SCFE，再由DE为中位线，判断ADEABC，且相似比为 1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到 SADE：SABC=1：4，则 SADE：S四边形 BCED=1：3，进而得出 SCEF：S四边形 BCED=1：3解答：解：DE 为ABC 的中位线，AE=CE在ADE 与CFE 中，ADECFE（SAS），SADE=SCFEDE 为ABC 的中位线，ADEABC，且相似比为 1：2，-第 9 页SADE：SABC=1：4，SAD

23、E+S四边形 BCED=SABC，SADE：S四边形 BCED=1：3，SCEF：S四边形 BCED=1：3故选 A点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理关键是利用中位线判断相似三角形及相似比8、（2013 聊城）如图，D 是ABC 的边 BC 上一点，已知 AB=4，AD=2DAC=B，若ABD的面积为 a，则ACD 的面积为（）AaBCD考点：相似三角形的判定与性质分析：首先证明ACDBCA，由相似三角形的性质可得：ACD 的面积：ABC 的面积为1：4，因为ABD 的面积为 a，进而求出ACD 的面积解答：解：DAC=B，C=C，ACDBCA，AB=4，AD

24、=2，ACD 的面积：ABC 的面积为 1：4，ACD 的面积：ABD 的面积=1：3，ABD 的面积为 a，ACD 的面积为 a，故选 C点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型9、（2013 菏泽）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2的值为（）A16B17C18D19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质专题：计算题分析：由图可得，S1的边长为 3，由 AC=BC，BC=CE=CD，可得 AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出 S1、S2的面积，即可解答解答：解：如

25、图，设正方形 S2的边长为 x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，AC=2CD，CD=2，EC2=22+22，即 EC=；S2的面积为 EC2=8；S1的边长为 3，S1的面积为 33=9，S1+S2=8+9=17故选 B点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力10、（2013 安顺）在平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC=1：2，则 BF：BE=考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：由题可知ABFCEF，然后根据相似比求解解答：解：DE：EC=1：2-第 10 页EC：CD=2：3 即 EC：AB=2：3ABC

26、D，ABFCEF，BF：EF=AB：EC=3：2BF：BE=3：5点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质11、（13 年安徽省 4 分、13）如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，PEF、PDC、PAB 的面积分别为 S、S1、S2。若 S=2，则 S1+S2=考点三：相似三角形的判定考点三：相似三角形的判定1、（2013益阳）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD，CEAB 于 E求证：ABDCBE考点：相似三角形的判定专题：证明题分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得 ADBC，然后求出ADB=CEB=90，再根据两组角对应相

27、等的两个三角形相似证明解答：证明：在ABC 中，AB=AC，BD=CD，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90，又B=B，ABDCBE点评：本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键2、（2013年河北）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NF=NM=2，ME=3，则AN=A3B4C5D6答案：B解析：由AFNAEM，得：，即，解得：AN4，选 B。3、（2013孝感）如图，在ABC 中，AB=AC=a，BC=b（ab）在ABC 内依次作CBD=A，DCE=CBD，EDF=DCE则 EF 等于（）ABCD考点

28、：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质分析：依次判定ABCBDCCDEDFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF 的长度解答：解：AB=AC，ABC=ACB，又CBD=A，ABCBDC，-第 11 页同理可得：ABCBDCCDEDFE，=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=故选 C点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错4、（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A、C 分别在 x，y 轴的正半轴上点 Q 在对角线 OB 上，且

29、QO=OC，连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB于点 P则点 P 的坐标为（2，42）考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质3718684分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出 OB，再求出 BQ，然后求出BPQ 和OCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 BP 的长，再求出 AP，即可得到点 P 的坐标解答：解：四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，OA=OC=2，OB=2，QO=OC，BQ=OBOQ=22，正方形 OABC 的边 ABOC，BPQOCQ，=，即=，解得 BP=22，AP=ABBP=2（22）=42，点 P 的坐标为（2，42）故答案为：（2

30、，42）点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出 BP 的长是解题的关键5、（2013眉山）如图，BAC=DAF=90，AB=AC，AD=AF，点 D、E 为 BC 边上的两点，且DAE=45，连接 EF、BF，则下列结论：AEDAEF；ABEACD；BE+DCDE；BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个A 1B2C3D 4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据DAF=90，DAE=45，得出FAE=45，利用 SAS 证明AEDAEF，判定正确；如果ABEA

31、CD，那么BAE=CAD，由ABE=C=45，则AED=ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定错误；先由BAC=DAF=90，得出CAD=BAF，再利用 SAS 证明ACDABF，得出 CD=BF，又知 DE=EF，那么在BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得 BE+BFEF，等量代换-第 12 页后判定正确；先由ACDABF，得出C=ABF=45，进而得出EBF=90，然后在 RtBEF 中，运用勾股定理得出 BE2+BF2=EF2，等量代换后判定正确解答：解：DAF=90，DAE=45，FAE=DAFDAE=45在AED 与AEF 中，AEDAEF（SAS），正确；BAC=9

32、0，AB=AC，ABE=C=45点 D、E 为 BC 边上的两点，DAE=45，AD 与 AE 不一定相等，AED 与ADE 不一定相等，AED=45+BAE，ADE=45+CAD，BAE 与CAD 不一定相等，ABE 与ACD 不一定相似，错误；BAC=DAF=90，BACBAD=DAFBAD，即CAD=BAF在ACD 与ABF 中，ACDABF（SAS），CD=BF，由知AEDAEF，DE=EF在BEF 中，BE+BFEF，BE+DCDE，正确；由知ACDABF，C=ABF=45，ABE=45，EBF=ABE+ABF=90在 RtBEF 中，由勾股定理，得 BE2+BF2=EF2，BF=D

33、C，EF=DE，BE2+DC2=DE2，正确所以正确的结论有故选 C-第 13 页点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度6、（2013天津）如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3，ADE=60，则 AE 的长为7考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质3718684分析：先根据边长为 9，BD=3，求出 CD 的长度，然后根据ADE=60和等边三角形的性质，证明ABDDCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 CE 的长度，即可求出 AE

34、的长度解答：解：ABC 是等边三角形，B=C=60，AB=BC；CD=BCBD=93=6；BAD+ADB=120ADE=60，ADB+EDC=120，DAB=EDC，又B=C=60，ABDDCE，则=，即=，解得：CE=2，故 AE=ACCE=92=7故答案为：7点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得ABDDCE 是解答此题的关键7、（2013恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（）A 1：4B1：3C2：3D 1：2考点：相似三

35、角形的判定与性质；平行四边形的性质3718684分析：首先证明DFEBAE，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 AB=DC，即可得出 DF：FC 的值解答：解：在平行四边形 ABCD 中，ABDC，则DFEBAE，=，O 为对角线的交点，-第 14 页DO=BO，又E 为 OD 的中点，DE=DB，则 DE：EB=1：3，DF：AB=1：3，DC=AB，DF：DC=1：3，DF：FC=1：2故选 D点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明DFEBAE，然后根据对应边成比例求值8、（2013牡丹江）如

36、图，在ABC 中A=60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点，连接 PM，PN，则下列结论：PM=PN；PMN 为等边三角形；当ABC=45时，BN=PC其中正确的个数是（）A 1 个B2 个C3 个D 4 个考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线3718684分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；先证明ABMACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM=ACN=30，再根据三角形的内角和定理求出BCN+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

37、和求出BPN+CPM=120，从而得到MPN=60，又由得 PM=PN，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可判断正确；当ABC=45时，BCN=45，由 P 为 BC 边的中点，得出 BN=PB=PC，判断正确解答：解：BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正确；在ABM 与ACN 中，A=A，AMB=ANC=90，ABMACN，正确；A=60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，ABM=ACN=30，-第 15 页在ABC 中，BCN+CBM18060302=60，点 P 是 BC 的中点，BMAC，CNAB，PM=

38、PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=260=120，MPN=60，PMN 是等边三角形，正确；当ABC=45时，CNAB 于点 N，BNC=90，BCN=45，BN=CN，P 为 BC 边的中点，PNBC，BPN 为等腰直角三角形BN=PB=PC，正确故选 D点评：本题主要考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键9、（2013黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是考点：相似三角形的判定与性质分析

39、：由BAC=ACD=90，可得 ABCD，即可证得ABEDCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用 AC 表示出 AB 与 CD，即可求得答案解答：解：BAC=ACD=90，ABCD，ABEDCE，在 RtACB 中B=45，AB=AC，在 RtACD 中，D=30，CD=AC，=-第 16 页故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用10、（2013 台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？

40、（）A甲乙，乙丙B甲乙，乙丙C甲乙，乙丙D甲乙，乙丙考点：相似三角形的判定与性质分析：首先过点 B 作 BHGF 于点 H，则 S乙=ABAC，易证得ABCDBE，GBHBCA，可求得 GF，DB，DE，DF 的长，继而求得答案解答：解：如图：过点 B 作 BHGF 于点 H，则 S乙=ABAC，ACDE，ABCDBE，BC=7，CE=3，DE=AC，DB=AB，AD=BDBA=AB，S丙=（AC+DE）AD=ABAC，AGF，BHGF，ACAB，BHAC，四边形 BDFH 是矩形，BH=DF，FH=BD=AB，GBHBCA，GB=2，BC=7，GH=AB，BH AC，DF=AC，GF=GH+

41、FH=AB，S甲=（BD+GF）DF=ABAC，甲乙，乙丙故选 D点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用考点四：相似三角形的应用考点四：相似三角形的应用1、（2013白银）如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为5米-第 17 页考点：相似三角形的应用分析：易得：ABMOCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长解答：解：根据题意，易得MBAMCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得 AM=5m则小明的影长为 5 米点评：本题只要是把

42、实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长2、（2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为1.5 米考点：相似三角形的应用分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DEBC 可知，ADEACB，根据其相似比即可求解解答：解：DEBC，ADEACB，即=，则=，h=1.5m故答案为：1.5 米点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题3、（13 年北京 4 分 5）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点

43、A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上。若测得 BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于A.60mB.40mC.30mD.20m答案：B-第 18 页解析：由EABEDC，得：CECDBEAB，即102020AB，解得：AB404、（2013牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是 1：2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为2.4

44、cm 或cm考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质3718684专题：分类讨论分析：设平行四边形的短边为 xcm，分两种情况进行讨论，若 BE 是平行四边形的一个短边，若 BD 是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出 x 的值解答：解：如图 AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为 xcm，若 BE 是平行四边形的一个短边，则 EFBC，=，解得 x=2.4 厘米，若 BD 是平行四边形的一个短边，则 EFAB，=，解得 x=cm，综上所述短边为 2.4cm 或cm点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形

45、，结合图形很容易解答5、（2013滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中 BA=CD，BC=20cm，BC、EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40cm、8cm为使板凳两腿底端A、D 之间的距离为 50cm，那么横梁 EF 应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）考点：相似三角形的应用；等腰梯形的性质分析：根据等腰梯形的性质，可得 AH=DG，EM=NF，先求出 AH、GD 的长度，再由BEMBAH，可得出 EM，继而得出 EF 的长度解答：解：由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则 BM=32cm，四边形 ABCD 是等腰梯形，AD=50cm，B

46、C=20cm，-第 19 页AH=（ADBC）=15cmEFCD，BEMBAH，=，即=，解得：EM=12，故 EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm答：横梁 EF 应为 44cm点评：本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容第二部分第二部分 专题专题专题一：相似三角形与反比例函数专题一：相似三角形与反比例函数专题二：相似三角形与二次函数专题二：相似三角形与二次函数专题三：相似三角形与圆、影长专题三：相似三角形与圆、影长相似形与中考相似形与中考中考要求及命题趋势中考要求及命题趋势1、了解比例的基本性质，线段的比、成

47、比例线段、黄金分割；2、通过具体实例认识图形 的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题；6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐标；7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标 的变化；9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。2014 年中考将继续考查相似三角形的判定和性质，试题更加贴近生活；考查运用不同的

48、方式确定物体的位置，以及感受在同一坐标系中，图形变换后的坐标的变化。应试对策应试对策1、要掌握基本知识和基本技能；-第 20 页2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想；3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力；4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标，5.在坐标系描述物体的位置。6.感受图形变化后的坐标的变化1.若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2.若不

49、是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步 3.花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。4.岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。