专栏资料1二次函数专栏.doc

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1、|专题资料 1 二次函数专题1.二次函数的最值问题1）二次函数 （ ）的最值2 (0)yaxbcaxR例：求 的最值68总结：二次函数在自变量 取任意实数时的最值情况(当 时，函数在 处取得最小x0a2bxa值 ，无最大值；当 时，函数在 处取得最大值 ，无最小值24acb0a2bx4c2）求二次函数在某一范围内的最值(1)定轴定区间（2）定轴动区间（3）动轴定区间即形如： 在 （其中 ）的最值2yxcmn第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴： ；0第二步：讨论：1若 时求最小值或 时求最大值，需分三种情况讨论：0a0a对称轴小于 即 ，即对称轴在 的左侧；xxn对称轴 ，即对称轴在 的内

2、部；n对称轴大于 即 ，即对称轴在 的右侧。0m2 若 时求最大值或 时求最小值，需分两种情况讨论：aa对称轴 ，即对称轴在 的中点的左侧；02mxxn对称轴 ，即对称轴在 的中点的右侧；n例： 已知函数 ，2f（1）若 ，求函数的最小值；Rx（2）若 ，求函数的最值；,3（3）若 ，求函数的最值；a【练习】已知函数 ，其中 ，求该函数的最大值与最小值，并求出函数2,yx2a取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值例：已知 ，求函数 在区间 上的最大值。Rk32ky,1【练习】已知 ，求函数 的最值。,2x2,2.二次函数恒成立问题例：已知函数 y= 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围；

3、268mx【练习】1）若 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围2log()yx|1）若 的值域为 R，求实数 m 的取值范围2log(68)ymx例：已知函数 )3fa(1)当 时， 恒成立，求 的取值范围xR(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围2,(a3.含有二次函数的复合函数的单调区间问题例：求下列函数的单调区间。(1) (2)23logyx 2yx【练习】求下列函数的单调区间(1) (2)2yx 21log4yx(3)、讨论函数 的单调性。2log43ayx【练习】讨论函数 的单调性4.二次函数零点例：对于函数 若 则函数 在区间 内（ ）2()fxmn()0,()fafb()fx(

4、,)abA、一定有零点 B、一定没有零点 C、可能有两个零点 D、至多一个零点【练习】已知二次函数 有两个相异零点 ，且函数 满足xfy21xy，则 _ff321例：若方程 在（0，1）内恰有一解，则的取值范围 （ 2ax）A、 B、 C、 D、1a0a【练习】已知 是偶函数，且其图像与 x 轴有四个交点，则方程 的所有实根之和为（ ()f ()0fx）A、4 B、2 C、1 D、05.二次函数图像例：已知函数 ，如果 ，且 ，则它的函数图象是哪个 2yaxbcabc0abc（ ）|A B C D例：已知 ，讨论关于 的方程 的实数解的个数。Raxax8626.二次函数对称轴例：二次函数 若

5、则 （ ）2()fbc1212()()ffx12()fxA、 B、 C、 D、 2ba4ab例：已知二次函数 y=f(x)的图象对称轴是 ,它在 a,b上的值域是 f(b),f(a),则 （ 0x）A B C D0xb0xa，bax，0例：已知函数 f(x)=x22x2，那么 f(1)，f(1)，f( )之间的大小关系为 3函数f(x)=x 2+2(a1)x+2在区间(-,4上递减,则a的取值范围是（ ）A.-3,+ B.(-,-3) C.(-,5 D.3,+)例：已知函数 在 上是减函数，在 上是增bxcy=3,2,2函数，两个零点 则这个二次函数的解析式为 121,满 足7.可化为二次函数

6、的函数可化为二次函数的其他结构的函数，即 )0()(2acxbfafy例：求函数 的值域242(log)l9yxx【练习】求函数 的值域x例：求函数 的值域.1cos4sin2y【练习】若方程 有两个不同的解，求 的范围2i 0xaxa例：求函数 的最小值1sins2ay8.二次函数（方程根）的分布1）一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程 02cbxa（ a）的两个实根为 1x， 2，且 21x。|xy1x20aOa

7、b0)(kf xy12Oabxk0a0)(fxy1x20aOabk0)(kf xy12Oabxk00)(f【定理 1】 040,21221 acxbax， 则例 1 若一元二次方程 )()(mm有两个正根，求 m的取值范围。【定理 2】 040,21221 acxbax， 则【定理 3】 021x， 则例 3 k在何范围内取值，一元二次方程 032kx有一个正根和一个负根？【定理 4】 1) 1x， 20c且 ；ab2) 0， 且 。例 4 若一元二次方程 3)1(2kxkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？2）一元二次方程的非零分布 分布设一元二次方程 02cbxa（ a）的两实根为 1x

8、， 2，且 21x。 k为常数。则一元二次方程根的 k分布（即 1， 2相对于 的位置）有以下若干定理。【定理 1】 kabfx20)(421， 则【定理 2】 kabfckx20)(4221， 则| 0)(kfxy1x20aO xy12Ok0a0)(f【定理 3】 21xk0)(kaf【定理 4】有且仅有 1xk（或 2） k21xy1x20aOk)(f0)(kf xy12O0ak0)(f0)(f【定理 5】 2121pxkx或0)()(21fkf0)()(21pfkf此定理可直接由定理 4 推出，请自证。【定理 6】 21kxk，则 或212120)(4kabfacb212120)(4ka

9、bfacbxy1x20Okk)(f)(fabxy1x2O0akk)(f)(fx【练习】1. 关于 的方程 有且仅有一个根在 内，求 的取值范围。x230xm(1,)m|2.关于 的方程 的两实根均在 内，求 的取值范围。x230xm1,m3.若关于 的方程 的两个实根 ，满足 ， ，求实数21,0123的取值范围m4.设二次函数 ，若 ，请判断 的值的正负，并说明20fxaff理由。二次函数专题练习1已知函数 在 上的最大值为 4，求 的值21yxa2xa2求关于 的二次函数 在 上的最大值( 为常数)2t1t3设 ，当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 0，求 的0a1x2yxab4,ab值4.函数 的最值。0,4322 bf5.已知二次函数 的二次项系数为 且不等式 的解集为xfa2fx(1,3)（1）若方程 有两个相等的根，求 解析式()60（2）若 的最大值为正数,求 的取值范围f6.函数 的值域21log(7)yx7.已知 ，若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，又3a12xaxf3,aMam已知函数 ，（1）求 的表达式；（2）指出 的单调区间，并求出mMggg的最大值和最小值。8.若关于 的方程 的两个实根都大于 2，,求实数 的取值范围。x2(3)60xm|9.已知 是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，a2()3fxaxa()yfx1，求 的取值范围