2022年直线与圆的方程典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点A 1,4、B3,2 且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判定点P2,4 与圆的关系分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,如距离大于半径,就点在圆上；如距离小于半径,就点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为xa2yb2r2圆心在y0上,故b0圆的方程为xa2y2r2又该圆过A 1,4、B3,2 两点1a216r23a 24r220解之得：a1,r2所以所求圆的方程为x1 2y220解法二：（直接求出

2、圆心坐标和半径）而要判定点 P 与圆的位置关系,就点在圆外； 如距离等于半径,kAB由于圆过A1,4、B3,2两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又由于421,故 l 的斜率为1,又 AB 的中点为2,3 ,故 AB 的垂直平分线l 的方程为：13y3x2即xy10又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C1,0半径rAC 11 24220故所求圆的方程为x1 2y220又点P2,4到圆心C1,0的距离为dPC21 24225r点 P 在圆外名师归纳总结 例 2 求半径为 4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程第 1 页,共 21 页- - - - - - -精

3、选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析： 依据问题的特点,宜用圆的标准方程求解a解： 就题意,设所求圆的方程为圆C：xa2yb 2r2,4圆 C 与直线y0相切,且半径为4,就圆心 C 的坐标为C 1a,4或C2a又已知圆x2y24x2y40的圆心 A的坐标为2,1 ,半径为3如两圆相切,就CA437或CA431 无 解 , 故 可 得1 当C 1a,4时 ,a2241 272, 或a2241 22 12210a所求圆方程为x22102y4242,或x22102y242422 当C2a,4时 ,a2241 272, 或a2 24112 无 解 , 故226所求圆

4、的方程为x2262y4 242,或x2262y4 242说明： 对此题,易发生以下误会：由 题 意 , 所 求 圆 与 直 线 y 0 相 切 且 半 径 为 4 , 就 圆 心 坐 标 为 C a , 4 , 且 方 程 形 如2 2 2 2 2 2 2 2 x a y 4 4又圆 x y 4 x 2 y 4 0,即 x 2 y 1 3,其圆心为2 2 2A 2 , 1 ,半径为 3如两圆相切, 就 CA 4 3故 a 2 4 1 7,解之得 a 2 2 10所以欲求圆的方程为 x 2 2 10 2 y 4 2 4 2,或 x 2 2 10 2 y 4 2 4 2上述误会只考虑了圆心在直线

5、y 0 上方的情形,而疏漏了圆心在直线 y 0 下方的情形另外,误解中没有考虑两圆内切的情形也是不全面的例 3 求经过点A 0,5,且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程又分析：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线x2y0与2xy0相切,圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,名师归纳总结 又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等第 2 页,共 21 页x2yx2y55x3y0或3xy0两直线交角的平分线方程是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

6、又圆过点A 0,5 ,学习必备欢迎下载圆心 C 只能在直线3 xy0上,半径为55125设圆心Ct,3 t C 到直线2xy0的距离等于AC ,2t3tt23 t5 25化简整理得t26 t50解得：t1 或t5圆心是 1,3,半径为5 或圆心是5,1552所求圆的方程为x1 2y3 25或xy152说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到 圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满意： 1截 y 轴所得弦长为2；2被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满意条件2y0的距离最小的圆的方程12 的全部圆中,求圆心到

7、直线l：x分析： 要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程满意两个 条件的圆有很多个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,如能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线 的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方 程名师归纳总结 解法一： 设圆心为Pa,b ,半径为 r 90 ,故圆截 x 轴所得弦长为2r第 3 页,共 21 页就 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为r22b2又圆截 y 轴所得弦长为2r2a21又Pa,b到直线x2y0的距离为da2b5- - - - - - -精选

8、学习资料 - - - - - - - - - 5 d2a2 b2学习必备5欢迎下载y1 22a24 b24abdmina24 b22 a2b22 b2a21当且仅当ab时取“=” 号,此时5这时有a2ba212 ba1或a1b1b122或x1 2又r22b22故所求圆的方程为x1 2y1 解法二： 同解法一,得d2a2b5a2 b5da4 b245bd5d2将a22b21代入上式得：2 b245 bd5d210上述方程有实根,故名师归纳总结 8 5 d210,第 4 页,共 21 页d55将d5代入方程得b15又2b2a21a1由a2b1 知 a 、 b 同号- - - - - - -精选学习

9、资料 - - - - - - - - - 故所求圆的方程为x1 2y1 2学习必备x欢迎下载y1 222或1 2说明： 此题是求点到直线距离最小时的圆的方程,如变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆O：x2y24,求过点P2,与圆 O 相切的切线解： 点P2,不在圆 O 上,ykx24切线 PT 的直线方程可设为2 kk42依据dr12解得k34所以y3 x 424即3x4y100由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法,例如把所设的切线方

10、程代入圆方程,用判别式等于 0 解决（也要留意漏2解）仍可以运用 x 0 x y 0 y r,求出切点坐标 0x 、y 的值来解决,此时没有漏解例 6 两圆 C ：x 2y 2D 1 x E 1 y F 1 0 与 C ：x 2y 2D 2 x E 2 y F 2 0 相交于 A 、 B 两点,求它们的公共弦 AB所在直线的方程分析： 第一求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线太繁为了防止求交点,可以采纳“ 设而不求” 的技巧AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程解： 设两圆C 、C 的任一交点坐标为x0,y 0,就有：x 02y 02D 1x 0E 1y 0F 10F20x 02y 0

11、2D 2x 0E 2y 0F 20得：D 1D2x0E 1E 2y 0F 1 A、 B 的坐标满意方程D 1D2xE 1E2yF 1F20方程D 1D2xE 1E2yF 1F20是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯独的名师归纳总结 两圆C 、C 的公共弦 AB 所在直线的方程为D 1D2xE 1E2yF 1F20第 5 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载说明： 上述解法中,奇妙地躲开了求A、B两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说

12、,这是一种“ 设而不求” 的技巧,从学问内容的角度上说,仍表达了对曲线与方程的关系的深刻懂得以及对直线方程是一次方程的本质熟悉它的应用很广泛例 7、过圆x2y21外一点M23, ,作这个圆的两条切线MA 、 MB ,切点分别是A 、 B ,求直线 AB 的方程；练习：2 21求过点 M 3,1,且与圆 x 1 y 4 相切的直线 l 的方程 解：设切线方程为 y 1 k x 3,即 kx y 3 k 1 0,圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径 2,| kk 2 3 k1 1|2 2,解得 k 34,3切线方程为 y 1 x 3,即 3 x 4 y 13 0,4当过点 M 的直线的斜率不存

13、在时,其方程为 x 3,圆心 1,0 到此直线的距离等于半径 2 ,故直线 x 3 也适合题意；所以,所求的直线 l 的方程是 3 x 4 y 13 0 或 x 32 2 52、过坐标原点且与圆 x y 4 x 2 y 0 相切的直线的方程为2解：设直线方程为 y kx,即 kx y 0 .圆方程可化为 x 2 2 y 1 2 5,圆心为（ 2,2-1）,半径为 102 .依题意有 2k k2 11 102,解得 k 3 或 k 13,直线方程为 y 3 x 或y 1 x . 32 23、已知直线 5 x 12 y a 0 与圆 x 2 x y 0 相切,就 a的值为 . 解：圆 x 1 2y

14、 21 的圆心为（ 1,0）,半径为 1,52 a2 1,解得 a 8 或 a 18 . 5 12类型三：弦长、弧问题名师归纳总结 例 8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦 AB 的长 . 第 6 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9、直线3 xy230截圆x2学习必备4欢迎下载y2得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距d3,故弦长ABy22r2d22,从而OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为xAOB3. x25的公共弦长例 10、求两圆x2y2y20和类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直

15、线3 xy23y0和圆x2y24,判定此直线与已知圆的位置关系. 例 12、如直线yxm与曲线4x2有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 . 解：曲线 y 4 x 2表示半圆 x 2y 24 y 0 ,利用数形结合法,可得实数 m 的取值范围是 2 m 2 或 m 2 2 . 例 13 圆 x 3 2 y 3 2 9 上到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、2l 的方程,从代数运算中查找解答2 2解法一： 圆 x 3 y 3 9 的圆心为 O 1 3 , 3 ,半径 r 33 3 4 3 11设圆心 O 到直线 3 x 4

16、 y 11 0 的距离为 d ,就 d 2 2 2 33 4如图, 在圆心 O 同侧,与直线 3 x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意又rd321名师归纳总结 与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意第 7 页,共 21 页符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1 的直线和圆的交点设- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所求直线为3x4ym0,就d学习必备欢迎下载m111,2 342m 11 5,即 m 6,或 m 16,也即l ：x

17、 4 y 6 0,或 l ：x 4 y 16 0设圆 O ：x 3 2 y 3 2 9 的圆心到直线 1l 、2l 的距离为 d 、d ,就3 3 4 3 6 3 3 4 3 16d 1 2 2 3,d 2 2 2 13 4 3 41l 与 O 相切,与圆 O 有一个公共点；2l 与圆 O 相交,与圆 O 有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明： 对于此题,如不留心,就易发生以下误会：设圆心O 到直线3x4y110的距离为 d ,就d0334311233242圆O 到3 x4y110距离为 1 的点有两个的距离,dr,只能说明此直线与圆有明显,上述误会中的d 是圆心到直线3x4y11两个交点

18、,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数,一般依据圆与直线的位置关系来判定,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判定练习 1：直线xy1与圆x2y22ay0a0没有公共点,就a 的取值范畴是解：依题意有a1a,解得21a21.a0,0a21 . k 的取值范畴2练习2 ：如直线ykx2与圆x22y3 21有两个不同的交点,就是. 0k4, k 的取值范畴是0 ,4. 解：依题意有2 k11,解得k2133）3、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距

19、离为2 的点共有（名师归纳总结 （A ）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个第 8 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - r学习必备欢迎下载21,2, 半 径 为分 析 ： 把x2y22x4y30化 为x12y228, 圆 心 为22,圆心到直线的距离为2 ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2 ,所以选 C4、过点P3,4作直线 l ,当斜率为何值时,直线l 与圆C：x12y24有公共点,如图所示分析： 观看动画演示,分析思路解： 设直线 l 的方程为x430P y E x y4kO 即kxy3k依据dr有42k23 k1k2整理

20、得3 k24 k0解得0k43类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例 14、判定圆C 1:x2xy22xx6yy2640与圆C2:x2y24x2y40的位置关系,例 15：圆x2y220和圆22y0的公切线共有条；解：圆x1 2O 1y21的圆心为2O 1,10 ,半径1r1,圆x2y224的圆心为O20,2 ,半径2r2,O 25,r 1r,3r 2r 11.r2r 1O 1 O 2r 1r2,两圆相交 .共有 2条公切线；练习名师归纳总结 1：如圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,就实数m 的取第 9 页,共 21 页值集合是. - -

21、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：圆xm 2y24的圆心为学习必备欢迎下载2,圆x1 2y2m 29的圆心为O 1m 0,半径1rO2,12m , 半 径2r3, 且 两 圆 相 切 , O 1 O 2r 1r2或O 1 O 2r2r 1, m1 22m 25或m1 22m 21,解得m12或m2,或m0或m5 2,5实数 m 的取值集合是12,5,0,2 . 5220.两圆外切于点P ,2：求与圆x2y25外切于点P ,12 ,且半径为25的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为O 1a,b,就所求圆的方程为xa2yb 2OP1OO 31,12 1a ,b

22、,a3 b6,所求圆的方程为x3 2y6 220. 3类型六：圆中的对称问题例 16、圆x2Ay22x6y90关于直线 2xy50对称的圆的方程是y 例 17自点3,发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆C：x2y24x4y70相切A G O B M C N x （ 1）求光线 l 和反射光线所在的直线方程（ 2）光线自 A 到切点所经过的路程分析、 略解： 观看动画演示, 分析思路 依据对称关系, 第一求出点 A的对称点 A 的坐标为3,3,其次设过 A 的圆 C 的切线方程为ykx33A图依据dr,即求出圆 C 的切线的斜率为k4或k334进一步求出反射光线

23、所在的直线的方程为4x3y30或3 x4y30最终依据入射光与反射光关于4x3y30或3x4y30名师归纳总结 光路的距离为AM,可由勾股定理求得AM2AC2CM27第 10 页,共 21 页说明： 此题亦可把圆对称到x 轴下方,再求解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载类型七：圆中的最值问题例 18：圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是解 ： 圆x22y2218的 圆 心 为 （ 2, 2）, 半 径r32, 圆 心 到 直 线 的 距 离d1052r, 直 线 与 圆 相 离 , 圆 上 的 点

24、到 直 线 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是2drdr2r62. 例 191已知圆O ：x3 2y421,Px,y为圆 O 上的动点,求dx2y2的最大、最小值2 已知圆O ：x22y21,Px,y为圆上任一点 求y2的最大、 最小值, 求x2y的x1最大、最小值分析： 1、2 两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决名师归纳总结 解： 1 法 1由圆的标准方程x32y4 214 3）第 11 页,共 21 页可设圆的参数方程为x3cos,（是参数）y4sin,就dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos（其中ta

25、n所以dmax261036,dmin261016加上半径1,圆上点到原点距离法 2圆上点到原点距离的最大值d 等于圆心到原点的距离d 1,是参数的最小值d 等于圆心到原点的距离d 1减去半径 1所以d 13 24 216d 22 32 414所以dmax36dmin162 法 1由x2 2y21得圆的参数方程：x2cosysin,就y2sin2令sin2t,x1cos3cos3得sintcos23 t,1t2sin23 t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23 tsin13学习必备t欢迎下载33312t44所以tmax343,tmin3435即y2的最

26、大值为343,最小值为343x1此时x2 y2cos2sin25cos所以x2y的最大值为25,最小值为2x,y是圆上点,当直线与圆有交点时,如y2k,就kxyk20由于P法 2设x1图所示,两条切线的斜率分别是最大、最小值由d2 kk221,得k3438PA2PB2的最小1k所以y2的最大值为343,最小值为343x1令x2yt,同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值由d25m1,得m25所以x2y的最大值为25,最小值为25例 20：已知A 2 ,0 ,B2 ,0 ,点 P 在圆x3 2y4 24上运动,就值是. 2OP28.设圆心解：设Px,y,就PA2PB2x22y2x22y2

27、2 x2y2为C,34,就OPminOCr523,PA2PB2的最小值为232826. 练习：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1：已知点Px,y在圆x2y1 21学习必备欢迎下载上运动 . （1）求y1的最大值与最小值； （2）求2xy的最大值与最小值. x2解：（1）设y1k,就 k 表示点Px ,y 与点（ 2,1）连线的斜率 .当该直线与圆相切时,k 取得x2最大值与最小值.由2k11,解得k3,y1的最大值为3 ,最小值为 33. k23x23（2）设2xym,就 m 表示直线2xym在 y 轴上的截距

28、 . 当该直线与圆相切时,m 取得最大值与最小值 .由1m1,解得m15,2xy的最大值为15,最小值为15. 52 设点Px,y是圆x2y21是任一点,求分析一： 利用圆上任一点的参数坐标代替u y 2的取值范畴x 1x 、 y ,转化为三角问题来解决名师归纳总结 解法一： 设圆x2y21上任一点Pcos,sin11,2的连线的斜率,利用到第 13 页,共 21 页就有xcos,ysin0,2usin2,ucosusin2cos1ucossinu2 即u21sinu2（tanu）sin u22u1又sin1u221u1解之得：u34分析二：uy2的几何意义是过圆x2y21上一动点和定点x1此直线与圆x2y21有公共点,可确定出u 的取值范畴有公共点,故点0,0解