物理数学准备优秀PPT.ppt

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1、学而时习之不亦悦乎学而时习之不亦悦乎 孔子论语孔子论语王国维人间词话古今之成大事业、高校问者，必经过三种之境界：古今之成大事业、高校问者，必经过三种之境界：第一种境界是：第一种境界是：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。”宋朝晏殊宋朝晏殊 鹊踏枝鹊踏枝（高瞻远瞩立大志（高瞻远瞩立大志）第二种境界是：第二种境界是：“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”宋朝柳咏宋朝柳咏 蝶恋花蝶恋花（心甘情愿吃大苦）（心甘情愿吃大苦）第三种境界是：第三种境界是：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处

2、。火阑珊处。”南宋辛弃疾南宋辛弃疾 青玉案青玉案（百折不挠成大业（百折不挠成大业）数学准备学问数学准备学问 数学和物理学是紧密相关的，在一个领域的发觉导致了在另一个领域内的进步。如经典力学与微积分、矢量，统计物理与概率论，量子力学与算符理论等。较早地驾驭一些高等数学学问，对于物理学的一些基本概念和规律的深化理解是大有好处的。一、微积分初步（思想方法！）恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。三国时期魏人刘徽（公元263年）总结前人成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣。”（正六，十二

3、，二 十四直到正192边形）“无限细分，无限求和”思想方法。保留到现在的河北赵州石拱桥是隋代李春（公元581-618 局部可以“以直代曲”的基本思想。物理学中的几个实例变速直线运动的速度（瞬时速度）当物体作等速直线运动时，它在任何时刻的速度为 S为t时间物体所经过的路程，但物体所作的运动往往是变速的，而上述公式只能反映物体在一段时间内经过某段路程的平均速度，不能反映物体在某一时刻的速度。现在我们就来探讨如何精确地刻划物体作变速直线运动在任一时刻的速度以及它的计算方法。年）所设计的，这座跨度达37m的大石拱桥是用一条条长方形长石砌成的。一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈。先探讨自由落体运

4、动设物体从O点起先下落，经过时间t0落到M0点，当时间由t0t0+t时，物体由M0点落到M点。两端除以t，得物体在t时间内的平均速度：M0MS0OS明显，这个平均速度 是随 的变更而变更的。在很小的一段时间 内，物体运动的快慢变更不大，可以近似地看作是等速的。因此当 很小时，可用 来近似地描述物体在 时刻的运动快慢，可以想象，越小，这种描述的精确性就越好，若 时，的极限存在，那么这个极限值就叫做物体在 时刻的速度，用 表示当然，可以用同样的方法来探讨一般变速直线运动的速度，设物体作变速直线运动，其运动方程为2瞬时加速度3 一般来说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：v=v(t)在很多实际问题中

5、，只有速度或速率的概念还不够，我们还须要知道速度随时间变更的快慢，即须要建立“加速度”的概念，举例来说，对于匀变速直线运动对于一般的变速运动，也是与 有关的，这时为了反映出某一时刻速度变更的快慢，必需引入瞬时加速度的概念3热容（比热）4 下面是在压力确定的条件下，对单位质量的物质来探讨的（定压热容），设物质原来的温度是T0，当温度发生变更时，就要吸取或放出热量，5 应当是T的函数6 当温度从 时，吸取热量为 则 就是该物质在 这一温度范围内，温度每上升一度平均所吸取的热量，即物质在此温度范围内的平均热容 ，当 时，就转化为该物质在温度 的热容一般来说，同样的物质在温度不同时其热容也是不同的，亦

6、即 是T的函数。上面几例都是当自变量的增量趋近于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限。在自然科学和工程技术问题中，还有很多其它的量具有这种数学形式。假如抽去这些问题的实际意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出函数导数的定义。若函数 在区间（a,b）内的每点都可导，就说函数 在区间（a,b）内可导，这时，函数 对于每一个 ，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新的函数叫做 对x的导函数。记为：明显，函数 在点 的导数 就是导函数 在点x=x0的函数值，即有了导数的定义后，前面几式可写成：一、导数的基本概念一、导数的基本概念 1.1.引例引例引例子引例子1、如何求出变

7、速直线运动的瞬时速度、如何求出变速直线运动的瞬时速度平均速度：平均速度：瞬时速度：瞬时速度：设函数设函数y=f(x)在点在点x的某一邻域内有定义，当自变量的某一邻域内有定义，当自变量x有增量有增量 x时，时，对应的函数增量：对应的函数增量：假如极限假如极限存在，则称这个极限为函数存在，则称这个极限为函数 y=f(x)在点在点x处的导数，并说处的导数，并说 y=f(x)在在x处可导，记为处可导，记为:2.2.导数的定义导数的定义导数的基本性质导数的基本性质函数和差积商的求导函数和差积商的求导复合函数求导复合函数求导注：复合函数求导法则的关键在于：注：复合函数求导法则的关键在于：（1)将复合函数分

8、解成若干个基本初等函数；将复合函数分解成若干个基本初等函数；（2)分别求出这些函数的导数并相乘；分别求出这些函数的导数并相乘；（3)将所设中间变量还原将所设中间变量还原4.4.基本求导公式基本求导公式abxyo1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、定积分问题举例一、定积分问题举例所围成所围成和和思想：整体分割（一组垂直于x轴直线）小矩形面积近似表达小曲边梯形的面积求和得整体近似值。当分割无限细密时，全部小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积明显，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯明显，小矩形越多，矩形总面

9、积越接近曲边梯形面积形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图曲边梯形如图曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义记为记为被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注注：曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义定积分的几何意义几何意义：几何意义：定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式例例1 1 求求 例例2 2 设设 ,求求 .原式原式解解解

10、解思想：整体分割（一组垂直于x轴直线）小矩形面积近似表达小曲边梯形的面积求和得整体近似值。当分割无限细密时，全部小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。（1）任取分点：把曲边梯形的底a,b分成n个小区间小区间 的长度记为第 个小曲边梯形的面积记为（2）在第 个小曲边梯形的底 上任取一点 它所对应的值是（3）把n个小矩形面积相加得和式即（4）分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当最大的小区间长度越近于零，即 时，和式 的极限就是A，即可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限。2变速直线运动的路程3设一物体沿直线运动，已知速度 是时间区间a,b上t4的连续函数，且 ，求这物体在这段时间内所经过

11、路5程。对于匀速直线运动：路程=速度时间，现在速度是变量。6因此，所示路程S不能干脆求，因在很短的一段时间里速度的7变更很小，近似于等速，仿照前例来计算路程S。（1）任取分点：（2）（3）（4）当 时，和式 的极限就是路程S的精确值，即可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限。变力的功 当力与物体移动方向一样时，物体由位置 移到 的过程中，恒力F作功为 若力F是随位置变更的，即F是S的函数：F=F（S）则Sa=S0S1S2Sn=SbF 在上述例子中，虽然所计算的量具有不同的实际意义，前者是几何量，后者是物理量，若抽去它们的实际意义，可以看出计算这些量的思想方法和步骤是相同的。为了求整体量F，

12、先把这个整体分割成n个部重量 ，在每一个小的部分上，以“直”代“曲”，或以“不变”代“变”，求得每个部重量的近似值 ，然后把这些值累加起来，就得到整体量的近似值，当把整体越分越细时，整体量的近似值也越来越接近于它的精确值。定义：设函数 在区间a,b上有定义，任取分点将区间a,b分成n个小区间 ，其长度为在每个小区间上 任取一点假如不论对区间a,b实行何种分法及 如何选取，当最大小区间的长度趋于零，和式极限存在，则此极限值叫做函数 在区间a,b上的定积分。记作即a,b积分区间积分号；被积函数；被积表达式；积分变量；积分的下限与上限。依据定义，以上几式可写作为：和式极限干脆求往往特别麻烦，可用牛顿

13、莱布尼兹公式去求。（通过不定积分计算定积分！）定积分的几何意义：在不同的实际问题中，积分 可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线 x轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积。OxyA3A1A2a cdbxyab 总之，定积分的几何意义就是它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示。一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念假如在区间假如在区间 内，可导函数内，可导函数 的导函数为的导函数为 即即 都有都有 原函数：原函数：那么函数那么函数就称为就称为 dF(x)=f(x)dx或或 在区间在区间 内原函数内原函数.不定积分：不定积分：在区间在区间 内，函数内

14、，函数 的带有随意常数项的原函数的带有随意常数项的原函数 称为称为 在区间在区间 内的内的不定积分不定积分，记为，记为 .I或或F(x)f(x)f(x)dxIII任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量二、二、基本积分表基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以依据求导公式得积分运算和微分运算是互逆的，因此可以依据求导公式得出积分公式出积分公式.是常数是常数);三、三、不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 1 设函数设函数 及及 的原函数存在，则的原函数存在，则性质性质2 2 设函数设函数 的原函数存在，的原函数存在，为非零常数，则为非零常数，则性

15、质性质1 1可推广到有限多个函数之和的状况可推广到有限多个函数之和的状况往往利用性质对被积函数都须要进行恒等变形，往往利用性质对被积函数都须要进行恒等变形，才能运用基本积分表才能运用基本积分表.例例1 求求当当 时，时，是是 在在 内的一个原函数内的一个原函数 即在即在内内，是是 在在 内的一个原函数内的一个原函数 即在即在内内当当时，时，解：解：例例2 2 设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的切线斜率等），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：解：设曲线方程为设曲线方程为依据题意知依据题意知即即 是是 的一个

16、原函数的一个原函数由曲线通过点（由曲线通过点（1 1，2 2）所求曲线方程为所求曲线方程为函数函数 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 的的积分曲线。积分曲线。微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的.例例3 3 求积分求积分解解：依据积分公式（依据积分公式（2 2）例例4 4求求解解：例例5 5求求解解：例例6 6求求解解：二、矢量二、矢量1 矢量及其解析表示 物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、功等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力等，除数量的大小外还具有确定的方向，这类物理量叫做矢量。严

17、格地说，作为一个矢量，还必需遵从确定的合成法则与随坐标变换的法则。通常手写时用字母上加箭头（如 ）来表示一个矢量，印刷中则常用黑体字（如A）。在作图时，用一个加箭头的线段来代表矢量，线段的长度正比于矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。用直角坐标系来描述空间和表示其中的矢量，是最基本的方法。n维的直角坐标系有n个相互垂直的坐标轴。我们先从二维空间说起。如图所示，在平面上取二维直角坐标系xOy，在平面某点P上有矢量A，其大小为A，与x轴的夹角为 ，则它在x、y轴上的投影分别为 分别称为矢量A的x重量和y重量。应留意，一个矢量的重量是代数量，即其值是可正可负的。分别沿坐标轴Ox和Oy取单位矢量（即

18、长度为1的矢量）和 ，则有这里 、称为坐标系的基矢。当坐标系及其基矢选定后，数列（）可以把矢量A的全部特征确定下来，所以我们也可以说矢量是个按确定依次AAPxyO排列的数列，如数列（2，1）代表 的矢量，数列（0，5）代表 的矢量，等等。矢量大小的平方等于它的重量的平方和：如图所示为三维空间里的直角坐标系，这里有三个相互垂直的坐标轴Ox、Oy和Oz，在空间某点P上的矢量A大小为A，方向与Ox、Oy、Oz轴的夹角分别为 、，则它在Ox、Oy、Oz轴上的投影，即x、y、z三个重量，分别为这里 称为这矢量的方向余弦。因为方向余弦满足下列恒等式：xyz三个数中只有两个是独立的，它们把矢量的方向唯一地确

19、定下来。通常用 、来代表三维直角坐标系的基矢。在三维的状况下，正交基矢有左手和右手两种系统。设想基矢 沿小于180的角度转向基矢 。如图a所示将右手的四指弯曲，代表上述旋转方向，则伸直的姆指向基矢 。如此规定的正交基矢系统称为右手系统。若用左手代替上述操作过程所规定的正交基矢系统如图b，则是左手系统。我们依据国际惯例，一律接受右手系统。a.右手系b.左手系有了正交基矢，矢量可以写成解析形式：三维的矢量要用长度为3的数列（）来表示，如（1，3，0）、（2，0，1）等。与二维的状况类似，我们有2 矢量的加减法 从上面我们看到，一个n维的矢量要看成是一个长度为n的有序数列（）。从这种意义上说，标量是

20、个一维的矢量。把标量的加减运算推广到矢量，我们有从矢量的叠加图不难看出，上述运算（解析运算）与通常矢量合成的平行四边形法则（几何运算）是一样的。OA+BBAPAxBxAx+BxAyByAy+By3 矢量的标积 设A和B是两个随意矢量，它们的标积（常用 表示，故又称点乘）的解析定义为如下标量：由此定义不难看出，点乘是听从交换律和安排律的：（交换律）（安排律）下面看点乘的几何意义。把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者确定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而 。令A、B与Ox轴的夹角分别为 、则 标积 即式中 为两矢量之间的夹角。上式可看作是标积的几何定义。从这个定义可马上看出：（1）（2）

21、（3）若 ，则 ；（4）若 ，则 。在物理学中标积的典型例子是功。4、矢量的矢积设A和B是两个随意矢量，它们的矢积（常用AB 表示，故又称叉乘）的解析定义为如下矢量：xyBA由此定义不难看出，叉乘是听从反交换律和安排律的：（反交换律）（安排律）下面看叉乘的几何意义。同前，把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者确定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而 。令A、B与Ox轴的夹角分别为 、，则 ，矢积 （1）（2）（3）若 ，则 （4）若 ，则 在物理学中矢积的典型例子有角动量、力矩等。6 矢量导数：矢量函数其中 、是 的标量函数。仍为一矢量，其方向即为当 时 的极限方向。即为 矢端曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向，大小或模则等于即可按标量函数的求导运算求得！