数学物理方法解析函数优秀PPT.ppt

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1、教材：数学物理方法（其次版）姚端正 梁家宝编著任课老师：刘辛2数学物理方法数学物理方法复复变变函函数数篇篇数数学学物物理理方方程程篇篇特特殊殊函函数数篇篇数学物理方法复变函数篇31.1复数及其运算数的扩张（完善化）自然数（+负整数）整数（+分数）有理数（+无理数）实数（+虚数）复数4第一章 解析函数复数概念：一对有序的实数（x，y）代数表示z=x+iyx=Real(z)（实部）,y=Imagine(z)（虚部）,i2=-1(虚单位）几何表示关系x=r cosy=r sin=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小（模比较大小）矢量性复数有方向5任一复数z0有无穷多个辐角（相差2k），以arg

2、z表示其中在2范围内变换的一个特定值，称之为辐角的主值，通常取 -argz 则 Argz=argz+2k（k=0，1，2，）z处于第一象限：argz=arctan（y/x）；其次象限：argz=arctan（y/x）+；第三象限：argz=arctan（y/x）-；第四象限：argz=arctan（y/x）。6三角表示z=r(cos+i sin)r=|z|（模）,=Arg(z)（辐角）指数表示z=r exp(i)exp(i)=cos+i sin代数表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)复数的表示78 实部相同而虚部确定值相等符号相反的两个复数称为共轭复数实部相同而虚部确定值相等符号相反

3、的两个复数称为共轭复数.例例解解.,的积是实数的积是实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论结论：共轭复数9共轭复数的性质共轭复数的性质以上各式证明略以上各式证明略.10例例1 1证证.(2);(1):,2121212121zzzzzzzzzz+=证明证明为两个随意复数为两个随意复数设设11两边同时开方得两边同时开方得同理可证：12设设z1=x1+iy1和和 z2=x2+iy2是两个复数是两个复数加减运算z1 z2=(x1 x2)+i(y1 y2)复数加减法满足平复数加减法满足平行四边形法则行四边形法则z1+(-z2)-z2复数的运算交换律、结合律、安排律成立交换律、结合律、安排律成立13乘法运算

4、 两个复数相乘两个复数相乘等于它们的模相乘，等于它们的模相乘，幅角相加幅角相加除法运算 两个复数相除等两个复数相除等于它们的模相除，于它们的模相除，幅角相减幅角相减乘方运算当r=1时上式对全部n取整数，恒成立。1415开方运算从这个表达式可以看出：1）当k=0,1,2n-1时，得到n个相异的值；当k取其他整数值时，将重复出现上述n个值。因此，一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。2）上述n个方根具有相同的模，而每个相邻值的辐角差为2/n，故在几何上，w的n个值分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆内接正n边形的顶点上。16模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对应的。复变函数理论中无穷大也

5、理解为复数平面上的一个“点”，称为无限远点，记为，其模大于任何正数，辐角不定。平面上的具体点难以描绘无限远点，为此引入复球面的概念。把一个球放在复平面，使其南极S与复 平面相切于原点，复平面上任一点A 与 球的北极N连线交与球面A点，则复平面 上每一有限远点与球面上的点一一对 应（此对应称测地投影），A无限远离o 时，A点无限趋近于N，故可将N看做无 限远点的代表点。此球面称为复球面或 黎曼球面，复平面上只有一个无穷远点。AxyoSAN1718复平面上的点集 定义定义由不等式由不等式(为任意的正数为任意的正数)所确定的复平面点集所确定的复平面点集(以后平面点集以后平面点集均简称点集均简称点集)

6、，就是以，就是以z0为中心的为中心的邻域或邻域。而称邻域或邻域。而称由不等式由不等式 所确定的点集为所确定的点集为z0的去心的去心邻域或去心邻域邻域或去心邻域。19 定义设定义设D D为点集，为点集，z0z0为为D D中的一点。假如存在中的一点。假如存在z0z0的一个邻域，该邻域内的全部的一个邻域，该邻域内的全部点都属于点都属于D D，则称，则称z0z0为为D D的内点；若点的内点；若点z0z0的某一个邻域内的点都不属于的某一个邻域内的点都不属于D D，则称点，则称点z0z0为为D D的外点。若在点的外点。若在点z0z0的随意一个邻域内，既有属于的随意一个邻域内，既有属于D D的点，也有不属于

7、的点，也有不属于D D的点，则的点，则称点称点z0z0为为D D的边界点，点集的边界点，点集D D的全部边界点称为的全部边界点称为D D的边界。的边界。内点，外点，边界点内点，外点，边界点 开集开集 留意留意 区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所由几条曲线和一些孤立的点所组成的。组成的。定义定义 若点集若点集D D的点皆为内的点皆为内点，则称点，则称D D为为开集开集Dz0开集20 定义点集定义点集D D称为一个区域，假如它满足：称为一个区域，假如它满足：(1)(1)属于属于D D的点都是的点都是D D的内点，或的内点，或D D是一个开集；是一个开集；(2)D (2)D是

8、连通的，就是说是连通的，就是说D D中任何两点中任何两点z1z1和和z2z2都可以用完全属于都可以用完全属于D D的一条折的一条折线连接起来。线连接起来。通常称具有性质通常称具有性质(2)(2)的的集为连通的，所以一个区集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。域就是一个连通的开集。区域区域D D加上它的边界加上它的边界C(p)C(p)称为称为闭区域闭区域或或闭域闭域，记记为为区域Dz1z2p21邻域邻域z复平面上圆复平面上圆 内点的集合内点的集合 内点内点z 和它的邻域都属于和它的邻域都属于 D，则则 z 为为 D 的内点的内点外点外点z 和它的邻域都不属于和它的邻域都不属于 D，则则 z

9、 为为 D 的外的外点点边界点边界点 不是内点，也不是外点的点不是内点，也不是外点的点边界边界全体边界点的集合全体边界点的集合z区域区域内点组成的连通集合内点组成的连通集合闭区域闭区域区域和边界线的全体区域和边界线的全体区域区域区域概念总结区域概念总结22x yORx yORx yROr1x yR-ROxO yxO y21曲线曲线 如果曲线如果曲线的实部的实部x(t)x(t)和虚部和虚部y(t)y(t)均为均为t t的连续函数，那么的连续函数，那么曲线曲线就叫就叫连续曲线连续曲线。对于连续曲线，对于连续曲线，则曲线没有重点（纽结），则称则曲线没有重点（纽结），则称为简洁曲线。当为简洁曲线。当

10、时，则称简时，则称简洁闭曲线。洁闭曲线。光滑曲线：若连续曲线光滑曲线：若连续曲线在区间上存在连续的在区间上存在连续的 及及 ，且两者不同时为零，则在曲线上每点均有，且两者不同时为零，则在曲线上每点均有切线且切线方向是连续变更的。切线且切线方向是连续变更的。简洁闭曲线把扩充复平面分为两部分，一简洁闭曲线把扩充复平面分为两部分，一部分是不含部分是不含的点集，称为该曲线的内部；另的点集，称为该曲线的内部；另一部分是含一部分是含的点集，称为该曲线的外部。这的点集，称为该曲线的外部。这两个区域都以给的简洁闭曲线（也称若尔当曲两个区域都以给的简洁闭曲线（也称若尔当曲线）作为边界。线）作为边界。曲线内外部区

11、分（若尔当定理）曲线内外部区分（若尔当定理）25单连通域与多连通域 设设B B为复平面上的一个区域，假如在其中作一条简洁的闭曲线（自身不为复平面上的一个区域，假如在其中作一条简洁的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B B，则称，则称B B为单连通区域，否则称为为单连通区域，否则称为多连通区域。多连通区域。BB单连通域多连通域26举例指出下列不等式中点指出下列不等式中点z在怎样的点集在怎样的点集中变动？这些点集是不是单连通区域中变动？这些点集是不是单连通区域？是否有界？是否有界？271.2 复变函数复变函数的定义28映射(函数)的概念1.映射的定义

12、映射的定义:29302.两个特殊的映射两个特殊的映射31且是全同图形且是全同图形.3233依据复数的乘法公式可知依据复数的乘法公式可知,34(如下页图如下页图)35 将第一图中两块阴影部分映射成其次图中同一个长方形将第一图中两块阴影部分映射成其次图中同一个长方形.36以原点为焦点以原点为焦点,开口向左的抛物线开口向左的抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线)以原点为焦点以原点为焦点,开口向右的开口向右的抛物线抛物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线)37函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:留意留意:38定理一定理一与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.2.极限计算的定理极限计

13、算的定理39定理二定理二证证依据极限的定义依据极限的定义(1)必要性必要性.40(2)充分性充分性.41证毕证毕说明说明42例例1 1证证(一一)43依据定理二可知依据定理二可知,证证(二二)4445例例2 2证证46依据定理二可知依据定理二可知,47函数的连续性1.连续的定义连续的定义48定理三定理三例如例如,49定理四定理四50例例3 3证证511.31.3导数导数(微分微分)1.1.导数的定义导数的定义52在定义中应留意在定义中应留意:53例例1 解解54例例2 解解55562.2.可导与连续可导与连续 函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处确定连续处确定连续,但函

14、数但函数 f(z)在在 z0 处连续不确定处连续不确定在在 z0 处可导处可导.证证证毕证毕573.3.求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一样全一样,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是且证明方法也是相同的相同的.求导公式与法则求导公式与法则:58594.4.微分的概念微分的概念 复变函数微分的概念在形

15、式上与一元实变函数的微分概念完全一样复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一样.定义定义60特殊地特殊地,61解析函数的概念 设函数f(z)在点z0及z0某邻域内到处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明2.称函数的不解析点为奇点称函数的不解析点为奇点1.解析与解析与可导的关系可导的关系 函数在某点解析，则必在该点函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然可导；反之不然 在区域在区域B内的解析函数必内的解析函数必在在B内可导内可导 5 5 解析函数解析函数例：函数例：函数只在只在z=0z=0点可导，因而在复平

16、面上到处不解析点可导，因而在复平面上到处不解析f(z)在点在点z0 无定义或无确定值；无定义或无确定值；f(z)在点在点z0 不连续；不连续；f(z)在点在点z0 不行导；不行导；f(z)在点在点z0 可导可导,但找不到某个邻域在其内到处可导但找不到某个邻域在其内到处可导由解析函数的定义和函数的求导法则可得:（1）假如函数f（z）在区域中解析，则它在这个区域中是连续的。（2）假如f1（z）和f2（z）是区域中的解析函数，则其和、差、积、商（商的情形要求分母在内不为零）也是该区域中的解析函数。（3）假如函数=f（z）在区域内解析，而函数w=g（）在区域G内解析，若对于内的每一点z，函数f（z）的

17、值均属于G，则函数w=gf(z)是区域上复变量z的一个解析函数。（4）假如w=f（z）是区域上的一个解析函数，且在点z0 的邻域中|f（z）|0，则在点w0=f（z）G的邻域中函数f（z）的值定义一个反函数z=（w），它是复变量w的解析函数。有f（z0）=1/（w0）。63可导：可导：对任何方向的对任何方向的，极限都存在并唯一。极限都存在并唯一。xyz复数复数复函数复函数 z沿任一曲线靠近零。沿任一曲线靠近零。柯西柯西黎曼方程黎曼方程0实数实数：实数：x沿实轴靠近零。沿实轴靠近零。因此，复函数的可导性是比实函因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。数的可导性条件强得多。Q：当：当u，

18、v有偏导时，在什么补充条件下，有偏导时，在什么补充条件下，W=f(z)也有导数？也有导数？设函数设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D上有定义，在上有定义，在D内一点内一点z=x+iy可导，有可导，有65柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿实轴,y0可导，要求二者相等z沿虚轴,x066解析函数的充分条件设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析（证明见教材P15-16）。留意：解析函数的实部和虚部满足C-R条件且都是调和函数（调和函数概念及证明见教材P17）解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系着，因此，只要知道解析

19、函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实部）。具体可以用以下两种方法求：（1）已知u求v，可以从全微分动身：67（2）已知u求v，还可以由关系 ，对y积分来求：当然也可以由关系 两边对x积分，类似上述过程求v。像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件联系着的调和函数u和v，称为共轭调和函数共轭调和函数。68例：试证例：试证 在复平面上解析，且在复平面上解析，且证：证：这四个偏导在复平面到处连续，且：这四个偏导在复平面到处连续，且：所以所以f(z)在复平面内解析，同时在复平面内解析，同时69注：最终的求导利用P16结果701.4 初等解析函数1 1 指数函数指数函数这里的这里的ex是实

20、是实指数函数指数函数实的正实的正余弦函数余弦函数性质：性质：71三角正弦与余弦函数三角正弦与余弦函数三角正弦与余弦函数三角正弦与余弦函数将两式相加与相减将两式相加与相减,得得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的状况数取复值的状况.2 2 三角函数三角函数72三角函数三角函数73(留意：这是与实变函数完全不同的留意：这是与实变函数完全不同的)sinz的零点的零点(i.e.sinz=0的根的根)为为z=n cosz的零点的零点(i.e.cosz=0的根的根)为为z=(n+1/2)n=0,1,2,n,(4)(5)sinz,cosz在复数域内均是无

21、界函数在复数域内均是无界函数74其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义75 3 双曲函数764 对数函数因此因此77对数函数的基本运算性质 下面等式不再成立 而应当是78多值函数的概念 初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先探讨辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：其中argz表示Argz的主值：为了探讨便利起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。明显，在D内Argz的主值argz：是一个单值连续函

22、数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。我们探讨下图的情形：沿负实轴的割线上沿下沿因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简洁连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将argz分解成一些连续分支。结论 对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支 Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简洁连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按确定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应

23、地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值。三种对数函数的联系与区分对数函数的每个单值连续分支都是解析的，我们也将它的连续分支称为解析分支。对数函数是一个无穷多值解析函数。我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；它们存在以下特点：1、当z绕它们连续变更一周时，Lnz连续变更到其它值；2、不论如何沿同一方向变更，恒久不会回到同一个值。89905 5 幂函数幂函数幂函数的基本性质 3）当a取整数n时，幂函数是一个单值函数。4）当a取1/n（n为整数）时，幂函数是一个n值函数。91解：本章小结 复数 复变函数 解析函数