高考数学(理)一轮复习讲义4.3三角函数的图象与性质.docx

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1、4.3三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，理解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大年夜值跟最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.以调查三角函数的图象跟性质为主，题目涉及三角函数的图象及运用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点调查三角函数性质时，常与三角恒等变卦结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应意图识题型既有选择题跟填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数跟余弦函数的简图(1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)

2、(2)在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysinxycosxytanx图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无不雅观点方法微考虑1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少多？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2考虑函数f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充

3、要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一考虑辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)ysinx在第一、第四象限是增函数()(2)由sinsin知，是正弦函数ysinx(xR)的一个周期()(3)正切函数ytanx在定义域内是增函数()(4)已经清楚yksinx1，xR，那么y的最大年夜值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二讲义改编2函数f(x)cos的最小正周期是_答案3y3sin在区间上的值域是_答案分析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4函数ytan的单调递减区间为_答案(kZ)分析由k2xk(kZ)，得xco

4、s23cos97分析sin68cos22，又ycosx在0，180上是减函数，sin68cos23cos97.题型一三角函数的定义域1函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D分析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，应选D.2函数y的定义域为_答案(kZ)分析方法一要使函数有意思，必须使sinxcosx0.运用图象，在一致坐标系中画出0,2上ysinx跟ycosx的图象，如以下列图在0,2内，称心sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，因而原函数的定义域为.方法二运用三角函数线，画出称心条件的终边范围(如图中阴影部分所示)因而定义域为.3函数ylg(

5、sinx)的定义域为_答案分析要使函数有意思，那么即解得因而2kx2k(kZ)，因而函数的定义域为.思想升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域理论上是构造复杂的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解题型二三角函数的值域(最值)例1(1)函数ycos2x2cosx的值域是()A1,3B.C.D.答案B分析ycos2x2cosx2cos2x2cosx122，因为cosx1,1，因而原式的值域为.(2)(2018世界)已经清楚函数f(x)2sinxsin2x，那么f(x)的最小值是_答案分析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2

6、(2cosx1)(cosx1)cosx10，当cosx时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增，当cosx时，f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，当sinx时，f(x)有最小值，即f(x)min2.思想升华求解三角函数的值域(最值)稀有到以下多少多种类型：(1)形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)c的方法，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设tsinxcosx，化为关于t的二次函

7、数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑运用导数判定函数的单调性，然后求最值跟踪训练1(1)已经清楚函数f(x)sin，其中x，假设f(x)的值域是，那么实数a的取值范围是_答案分析x，x，当x时，f(x)的值域为，由函数的图象(图略)知，a，a.(2)(2018通辽质检)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_答案分析设tsinxcosx，那么t2sin2xcos2x2sinxcosx，sinxcosx，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.题型三三角函数的周期性与对称性例2(1)假设函数f(x)2tan的最小正周期T称心1T2，那

8、么自然数k的值为_答案2或3分析由题意得12，kN，k，kN，k2或3.(2)(2018辽阳模拟)假设函数ycos(N)图象的一个对称中心是，那么的最小值为_答案2分析由题意知k(kZ)，6k2(kZ)，又N，min2.思想升华(1)关于函数yAsin(x)(A0，0)，其对称轴肯定通过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标肯定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法运用周期函数的定义运用公式：yAsin(x)跟yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.跟踪训练2(1)(2018抚顺质检)以下函数中，是周期函数的为()Aysin|x|Bycos|x|Cytan|x|Dy(x1

9、)0答案B分析cos|x|cosx，ycos|x|是周期函数(2)已经清楚函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且xR，有f(x)f成破，那么f(x)图象的一个对称中心坐标是()A.B.C.D.答案A分析由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成破，因而f(x)maxf，即2k(kZ)，又|，因而，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的对称中心坐标为.题型四三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)函数f(x)sin的单调递减区间为_答案(kZ)分析f(x)sinsinsin，由2k2

10、x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ)(2)函数f(x)tan的单调递增区间是_答案(kZ)分析由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin在上单调递减，那么的取值范围是_答案分析由x0，得x0，kZ，得k0，因而.引申探究本例中，假设已经清楚0，函数f(x)cos在上单调递增，那么的取值范围是_答案分析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，那么kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，因而.思想升华(1)已经清楚三角函数分析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x为一个全部，通过解不等式

11、求解但假设0，可借助诱惑公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已经清楚三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后运用聚拢间的关系求解跟踪训练3(1)已经清楚函数f(x)2sin，那么函数f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案D分析函数的分析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)假设函数g(x)sin在区间跟上均单调递增，那么实数a的取值范围是_答案分析由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)又函数g(x)在区间跟上均单调递增，解得a0)

12、的部分图象如以下列图，那么f(x)的单调递减区间为_答案，kZ分析由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0)假设f(x)在区间上存在单调性，且fff，那么f(x)的最小正周期为_答案分析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出表现图如以下列图(一种情况)：x1，x2，x2x1，T.1函数y2sin的图象()A关于原点对称B关于点对称C关于y轴对称D关于直线x对称答案B分析当x时，函数y2sin0，函数图象关于点对称2函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1BC.D0答案B分析由已经清楚x，得2x，因而sin，故函

13、数f(x)sin在区间上的最小值为.应选B.3函数ysinx2的图象是()答案D分析函数ysinx2为偶函数，打扫A，C；又当x时函数取得最大年夜值，打扫B，应选D.4函数ycos2x2sinx的最大年夜值与最小值分不为()A3，1B3，2C2，1D2，2答案D分析ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1，令tsinx，那么t1,1，yt22t1(t1)22，因而ymax2，ymin2.5已经清楚函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，那么f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.答案B分析函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，那么f(0)2s

14、in，sin，又|0，那么f(x)的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C分析由题意可得函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，故有2k，kZ，即k，kZ.又fsin0，因而2n，nZ，因而f(x)sin(2x2n)sin2x.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递减区间为，kZ.7函数y的定义域为_答案分析要使函数有意思必须有tan0，那么因而x，kZ，因而x，kZ，因而原函数的定义域为.8(2018赤峰模拟)设函数f(x)3sin，假设存在如斯的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成破，那么|x1x

15、2|的最小值为_答案2分析|x1x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T4，|x1x2|的最小值为2.9已经清楚函数f(x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，那么函数f(x)的最小正周期为_答案分析由函数f(x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，又(1,2)，得函数f(x)的最小正周期为.10已经清楚函数f(x)，那么以下说法精确的选项是_(填序号)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.答案分析函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错

16、；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2k0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解(1)f(x)sinxcosxsin(0)，且T，2，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)因为x，因而令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，令k0，得f(x)在上的单调递减区间为.13定义运算：a*b比如1*2=1，那么函数f(x)sinx

17、*cosx的值域为()A.B1,1C.D.答案D分析按照三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x0,2，当x时，sinxcosx，现在f(x)cosx，f(x)，当0x或sinx，现在f(x)sinx，f(x)1,0综上知f(x)的值域为.14已经清楚函数f(x)2cos(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，假设f(x)1对任意x恒成破，那么的取值范围是()A.B.C.D.答案B分析由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大年夜值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个交点的距离为，f(x)的周期T，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)1对任意x恒成

18、破，2cos(3x)11，即cos(3x)0对任意x恒成破，2k且2k，kZ，解得2k且2k，kZ，即2k2k，kZ.结合|可得，当k0时，的取值范围为.15已经清楚函数f(x)cos(2x)在上单调递增，假设fm恒成破，那么实数m的取值范围为_答案0，)分析f(x)cos(2x)，当x时，2x，由函数f(x)在上是增函数得kZ，那么2k2k(kZ)又0，0，fcos，又，fmax0，m0.16设函数f(x)2sinm的图象关于直线x对称，其中0.(1)求函数f(x)的最小正周期(2)假设函数yf(x)的图象过点(，0)，求函数f(x)在上的值域解(1)由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，2k(kZ)，即(kZ)又0，函数f(x)的最小正周期为3.(2)由(1)知f(x)2sinm，f()0，2sinm0，m2，f(x)2sin2，当0x时，x，sin1.3f(x)0，故函数f(x)在上的值域为.