热力统计学第一章内容答案.doc

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1、|第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。解：已知理想气体的物态方程为（1）,pVnRT由此易得（2）11,p（3）,VnRT（4）2111.TTTpp1.2 证明任何一种具有两个独立参量 的物质，其物态方程可,T由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：lnTV=dp如果 ，试求物态方程。1,Tp解：以 为自变量，物质的物态方程为, ,VTp其全微分为（1）.pTdd全式除以 ，有V11.pTdVddpT|根据体胀系数 和等温压缩系数 的定义，可将上式改写为T（2）.dVdp上式是以 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

2、,Tp（3）ln.T若 ，式（3）可表为1,Tp（4）1ln.VdTp选择图示的积分路线，从 积分到 ，再积分到（ ） ，0(,)0, ,Tp相应地体积由 最终变到 ，有0V00ln=ln,VTp即（常量） ，0pCT或（5）.pV|式（5）就是由所给 求得的物态方程。 确定常量 C 需1,Tp要进一步的实验数据。1.3 在 和 1 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数0Cn分别为 可近似看作常量，今使5714.8K.80.npT和 T和铜块加热至 。问：（a）压强要增加多少 才能使铜块的体积维持不变？（b）若n压强增加 100 ，铜块的体积改变多少？np解：（a）根据 1.2 题式（2）

3、，有（1）.TdVdp上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差 ，温度差 和压dVdT强差 之间的关系。如果系统的体积不变， 与 的关系为dp T（2）.Tdp在 和 可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得T（3）2121.Tp将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3） 。 但是应当强调，只要初态 和终态 是平衡态，两态间的压强差和温度差就满1,VT2,V足式（3） 。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处

4、的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3） 。将所给数据代入，可得 52174.80162.npp因此，将铜块由 加热到 ，要使铜块体积保持不变，压强要增0C|强 62np（b）1.2 题式（4）可改写为（4）21211 .TVp将所给数据代入，有 5714.80.807.V因此，将铜块由 加热至 ，压强由 增加 ，铜块体积将0C1npn增加原体积的 倍。4.11.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数 数值都很T小，在一定温度范围内可以把 和 看作常量. 试证明简单固体和T液体的物态方程可近似为 00(,),1.TVT

5、pp解: 以 为状态参量，物质的物态方程为, ,.VTp根据习题 1.2 式（2） ，有（1）.Tdd将上式沿习题 1.2 图所示的路线求线积分，在 和 可以看作常量T的情形下，有（2）000ln,TVp或（3）000,.TpVTpe考虑到 和 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 的线性 T项，有（4）000,1.TTpp如果取 ，即有0|（5）00,1.TVTpp1.5 描述金属丝的几何参量是长度 ，力学参量是张力 J，物态L方程是 ,0fJT实验通常在 1 下进行，其体积变化可以忽略。np线胀系数定义为 1JLT等温杨氏模量定义为 TYAL其中 是金属丝的截面积，一般来说， 和 是 T

6、 的函数，对 JAY仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 降至 时，其张力的增加12为 21JYAT解：由物态方程（1）,0fL知偏导数间存在以下关系：（2）1.JLTT所以，有（3）.LJTAY积分得（4）21.JYAT|与 1.3 题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差 21,JLTJ就满足式（4） ，与经历的过程无关。1.6 一理想弹性线的物态方程为 20,LJbT其中 是长度， 是张力 J 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数，bL0是常量. 试证明：（a）等温扬氏模量

7、为 20.bTYAL在张力为零时， 其中 A 是弹性线的截面面积。03.（b）线胀系数为 3031,2LT其中 001.dLT（c）上述物态方程适用于橡皮带，设 313K,1.0NK,Tb，试计算当 分别为 和 时的6240m5A0L.5,10.2.值，并画出 对 的曲线.,JY,JY0解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为（1）20,LJbT|由此可得等温杨氏模量为（2）2001.TLLLJbTYbAA张力为零时， 03,.L（b）线胀系数的定义为 1.JLT由链式关系知（3）1,LTJ而 2002203 ,1,LT LdJbbT所以 2 30020330 111.12LLdLbbTT

8、（4）（c）根据题给的数据，对 的曲线分别如图 1-,JY0L2（a） ， （b） ， （c）所示。|1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外0p界交换热量之前，它的内能 与原来在大气中的内能 之差为U0U，其中 是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，0UV0求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能 与其原来在大气中的内能 由式（1.5.3）0（1）UWQ确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，过程中外界对系统所做的功可以分为 和 两部分来考虑。0.Q 12W一方面，大

9、气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由 变为零。0V由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强 可以认为没p有变化，即过程是等压的（但不是准静态的） 。过程中大气对系统所做的功为 100.WpV另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则 2.因此式（1）可表为（2）0.UpV|如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10） ，有（3）0,pVnRT（4）0 0()()1UC式中 是系统所含物质的量。代入式（2）即有n（5）0.T活门是在系统的压强达到 时关上的，所以气体在小匣内的压强也p可看作 ，其物态方程为0p（6）00.VnR与

10、式（3）比较，知（7）0.1.8 满足 的过程称为多方过程，其中常数 名为多方指npVCn数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量 为nC1nV解：根据式（1.6.1） ，多方过程中的热容量（1）0lim.nTnnnQUCpT对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函数， ,VnC所以（2）.nVnCpT将多方过程的过程方程式 与理想气体的物态方程联立，消去压强 可得p（常量） 。 （3）1nTV将上式微分，有 12()0,nndVTd所以|（4）.(1)nVT代入式（2） ，即得（5）,(1)nVVpCCn其中用了式（1.7.8）和（1.7.9） 。1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 如果是常数，n该过程一定是多方过程，多方指数 。假设气体的定压热容npVC量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有（1）.dUQW对于准静态过程有 ,pdV对理想气体有 ,VCT气体在过程中吸收的热量为 ,nQd因此式（1）可表为（2）().nVCTp用理想气体的物态方程 除上式，并注意 可得pvR,pVCvR（3）()().nVpVdd将理想气体的物态方程全式求微分，有（4）.Tp式（3）与式（4）联立，消去 ，有d（5）()()0.nVnpVCC