热力统计学第一章答案-.pdf

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1、.-t1.-.撞.热力统计学第一章答案 本页仅作为文档封面，使用时可以删除飞气Thi吨cur阳川forreference only-rar21 year;March”.、.第一章热力学的基本规律试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数吨。解：己知理想气体的物态方程为pV=nRT(1)由此易得l-T-R-v n-P-nF、IIIFv-TS。一C/Ftlttt l-uv=(2)；（去，书才(3)Kr（号）T=(-）（手）寸(4)证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数屿，根据下述积分求得：In V=f(a.a厅均）如果，Kr土，试求物态方程。1

2、 p 解：以T,p为自变量，物质的物态方程为V=V(T,p),其全微分为dV（芸）PdT（去Jr全式可以V，有手刮到，dT寸（号Jrdp.根据体胀系数和等1且压缩系数Kr的定义，可将上式改写为、，F、LJ，、F BSZ Ju v K T JU -w-v 上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnV=J（dT-,c.,.a的（3)若，K7 工，式（3）可表为J p lnV=rl土dT工dvJ.(4)Jl._T)选择图示的积分路线，从矶，Po）积分到（T,Po），再积分到(T,p），相应地体p(T,p)（凡，Po)(T.，岛）O T 积由飞最终变到V，有V T p ln一In

3、一ln-.Vo兀Po.nHUV 阳HUF旦旦旦旦C（常量），T T0 或pV=CT.C s)式（S）就是由所给土，几土求得的物态方程。确定常量c需要T,p 进一步的实验数据。在0。c和1p，下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为4.85I o-s K-1和Ky=7.8x0-7 p,-1.和Kr可近似看作常量，今使铜块加热至10。c.问：Ca）压强要增加多少p，才能使铜块的体积维持不变（b）若压强增加100 p，铜块的体积改变多少解：(a）根据题式（2），有dV 一一dT-K.咱doV (1)上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV,i且度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积

4、不变，与dT的关系为dp主dT.(2)K r 在和Kr可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得Pi-Pi=-z（骂斗）(3)将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和瘟度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态（V，可）和终态（V，毛）是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给

5、数据代入，可得4.8510-5 P,-P,一一一一，10=622p,.7.8IO 因此，将铜块由oc加热到1oc，要使铜块体积保持不变，压强要增5虽622p,(b）题式（4）可改写为D.V v,（写）K,(p,-p,).(4)将所给数据代入，有D.V 一一4.85lo-,10-7.8l o，10。只=4.07I 0-4.因此，将铜块由0。c加热至10，压强由Ip，增加IOOp”铜块体和、将增加原体积的4.07xl0-4倍。简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数Kr数值都很小，在一定温度范围内可以把和Kr看作常量试证明简单固体和液体的物态方程可近似为V(T,p)飞（丸，。）！（T兀）K1P.解：

6、以T,p为状态参量，物质的物态方程为V=V(T,p).根据习题式（2），有dV 一dT-K,dfJ.(1)Va 将上式沿习题图所示的路线求线积分，在和Kr可以看作常量的情形下，有In二（叫）叫（p-Po)(2)或V(T,p)=V（瓦，Po)ea(r讯问忻州(3)考虑到和町的数值很小，将指数函数展开，准确到和町的线性项，有V(T,p)=V（兀，p0)1（T 兀）,c1(P-Po).(4)如果取Po=0，即有V(T,p)=V（骂，0)1（T兀）KrP.(S)描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力j，物态方程是f(J,L,T)=O 实验通常在lp，.下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为（

7、主）J等温杨氏模量定义为Y 士（去）7其中A是金属丝的截面积，一般来说，和Y是T的函数，对j仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常室，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由写降至时，其张力的增加为.6.l=-YA（骂写）解：由物态方程f(J,L,T)=0(1)知偏导数间存在以下关系：所以，有（挝（罢）L（去）r=-1.（去）（去）后）T=-L主yL A Y.(3)积分得M=-YA（骂斗）(4)与题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差M=l(L,I;)-J(L，式）就满足式（肘，与经历的过程无关。一理想弹性线的物态方程为l川土

8、豆）飞乌L)其中L是长度，Lo是张力j为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常量试证明：(a）等温扬氏模量为Y旦l土兰）A L。U)在张力为零时，几主主其中A是弹性线的截面面积。-A(b）线胀系数为其中。亡生iJ a._ 一”T I.;-？三 Cc）上述物态方程适用于橡皮带，设T=300K b=l.3310-3N K-1 A=II o-6,n2，。5IO_.K斗，试计算当土分别为0.5,1.0,1.5和2川才的L。J,y，值，并画出J,y，对土的曲线1电解.(a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为J什去兰J,(1)由此可得等温杨氏模量为Y（去）r护t唔）号（言手）张力为零时，叫凡子(b）线胀系

9、数的定义为（去）J由链式关系知而所以士（各）L（丢)T（去）L仕三）刊T（去）r什去手）b（土!Ji1-bT（土丛）生互1工飞4I.;)飞 I.;)dT _ I dl。I L，.，（土兰）乌dTT互2L。I.;）(2)(3)(4),!,1 1、j OJ/1。l主1,D J.l.o lU=,.,川loO气：帽E揭.（）且5.3.0。,.,I Cl,l$.。0.S no I.)to且正、，旨也刊o；伽l.2 O扣j衬时，、.舍(ti L(c）根据题给的数据，J,y，对一的曲线分别如图1-2Ca),L。Cb),(c）所示。抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强Po时将活门关上

10、，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能uo之差为U-Uo=Po飞，其中凡是它原来在大气中的体积，若气体是理想、气体，求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能uo由式（1.5.3)U-U0=V+Q(1)确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q=O.过程中外界对系统所做的功可以分为1飞和w2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由飞变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p。可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的。过程中大气对系统所做的功为w

11、;=-pot:,.V=Po飞另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则V2=0.因此式（1）可表为U-Uo=Po几（2)如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（），有Po V 0=nRT,(3)U11-U=C.（T-T,)旦旦（T瓦）(4).y-1 式中，1是系统所含物质的量。代入式（2）即有T=y兀（S)活门是在系统的压强达到Po时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作仇，其物态方程为p0V=nRyT0.(6)与式（3）比较，知V=y飞(7)满足pV=C的过程称为多方过程，其中常数，1名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量c，为c

12、 _n-r c.n-1 v 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量 lJ!o（剖，（芸）川对于理想气体，内能U只是温度T的函数，（旦，=CV T 所以儿p（剖，t(1)(2)将多方过程的过程方程式pV=C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得TV-=C1（常量）。(3)将上式微分，有V-1dT+(n-l)V”-2TdV=0,所以（到古于(4)代入式（2），即得pV _ n-r C=C，一一一一一C,”T(n-1)n-1 C s)其中用了式（1.7.8）和（）。试证明：理想气体在某一过程中的热容量如果是常数，该过C-C 程一定是多方过程，多方指数n.！。假设气体的定压热容量和C-Cv 定

13、容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有dU=dQ+d.V.(1)对于准静态过程有d.V=-pdV,对理想气体有dU=CvdT,气体在过程中吸收的热量为dQ=C11dT,因此式（1）可表为(C11-C1,)dT=pdV.(2)用理想气体的物态方程pV=vRT除上式，并注意CP-Cv 咐，可得(C11-Cv）手（CP-C.哼将理想气体的物态方程全式求微分，有dp.cl!_ dT 一一p V T(4)式与式联立，消去芋，有dv dV（Cv).:!:.+(C.,-C)-;-;-=0.pV(S)C-C 令fl，可将式（S）表为C,.-Cv dV n 一n-=up v(6)如果巧，CV和c，都是常量，

14、将上式积分即得pV=C（常量。(7)式（7）表明，过程是多方过程。声波在气体中的传播速度为罔假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和始h可由声速及y给出：2 2 u 一u.h二h.r(r-1)v r-1 v 其中llo,ho为常量。解：棍据式（1.8.9），声速。的平方为2=r pv,其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为Ill pV=-;:RT,fl(1)式中m是气体的质量，旷是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体，有pv 毛RT,(2)111 代入式（1）得2=.!._RT.m+(3)以U,fl表示理想气体的比内能和比始（单位质量的内能和焰。由

15、式（1.7.10)-（）知 RT tn.u一1nu,.,y-1 v+_ yRT,.111.11n/1,(4)y-1 v 将式（3）代入，即有2 u=-u.y(y-1)v h 土hC s)y-1 v 式（S）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和y即可确定气体的比内能和比焰。大气坦度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温度随高度的变化率丘，并给出数值结果。az 解：取z轴沿竖直方向（向上）。以p(z）和p(z+dz）分别表示在坚直高度为z和z

16、+dz处的大气压强。二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即p(z)=p(z+dz）（z)gdz,(1)式中（z）是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。将p(z+dz)展开，有p(z+dz)=p(z)羊p（彷az 代入式（1），得!;.-p(zp（归(2)az 式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。以m.表大气的平均摩尔质量。在高度为z处，大气的摩尔体积为，则物态方程为（z)p(z）！.二RT（纱，（z)T(z）是竖直高度为z处的温度。代入式（2），泊去（z）得,二牛二二p(z)=-p(z).dz RT(z)由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为

17、（叫巳句ys r P 综合式（4）和式Cs），有fr(z）（号Js仨（z)干子(3)(4)(S)(6)大气的y=l.41（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质量为旷2910-3kgmol-1,g=9.Sm t，代入式（6）得支T式（7）表明，每升高lkm，温度降低lOK。这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素，实际每升高lkm，大气温度降低6K左右。假设理想气体的气和Cv之比y是瘟度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F(T），其表达式为nF(T)卜主一(y-I)T 解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足CvdT+pdV=0.(

18、1)用物态方程pV=nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得CvdT.dV-一一nRT V(2)利用式（1.7.8）和（），CP-Cv=nR,c p 一r,Cv 可将式（2）改定为I dT dV 一一一一0(3)y-1 T V 将上式积分，如果y是温度的函数，定义lnF(T)=f 立(4).r-1可得lnF(T)+lnV=C1（常量，(5)或F(T)V=C（常量）。(6)式（6）给出当y是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。利用上题的结果证明：当y为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为7=I号解：在y是瘟度的函数的情形下，就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4

19、）一（）仍然成立，即仍有Q,=R(1)Q2=RI;咛，(2)4 叫也RI;ln号RT2Ln t,.(3)根据题式（6），对于中的准静态绝热过程（二和（四），有F（写）飞F(T2）飞，F(T2）飞F（写）问，从这两个方程泊去F(I;）和F（兀），得故V2-V3 只v.W=R(I;-(4)(S)(6)(7)所以在y是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为 T.17一1-2.Q，写(8)试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在p！图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与p。v 两条绝热线分别交于A点和8点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的，则在循

20、环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功w，其数值等于三条线所围面积正值。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有W=Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为坷，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为巳，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过l号解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4)），有三号三。(1)式中Q；是热机从温度为写的热源吸取的热量（吸热

21、Q，为正，放热Qi为负。将热量重新定义，可将式（1）改写为。Qk字可号s:0,(2)式中Qj是热机从热源Tj吸取的热量，Qk是热机在热源兀放出的热室，皂，Qk恒正。将式（2）改写为Qj 平s:；芒（3)假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为巧，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为飞，必有故由式（3）得f L Qj.5:L手持三古平怠，抨Qj三丰定义Q,=LQj为热机在过程中吸取的总热量，Q2=LQk为热机放出的总热量：则式（4）可表为或QI-Q2 一、T、72飞兰主主式QI根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为W=QI-Q2.热机的效率为(S)(6)17旦l垒.5:J

22、-2i(7)Q Q，写理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由写升至巳。假设y是常数，试证明前者的；脑增加值为后者的y倍。解：根据式（1.15.8），理想气体的脑函数可表达为s=c,InT-nRI叩s0.(1)在等压过程中混度由写升到毛时，；脑增加值t!.SP为t!.S=C In 2i.I w引(2)根据式（1.15.8），理想气体的恼函数也可表达为S=CvlnT+nRln V+S0.(3)在等容过程中温度由写升到毛时，；脑增加值t!.Sv为所以A忌，C.ln豆旷V写(4)t,.S C _:_J!_=立.(S)t;Sv Cv 温度为oc的1kg水与瘟度为1ooc的恒温热源接触后，水温达到LOO

23、。i式分别求水和热源的；脑变以及整个系统的总娟变。欲使参与过程的整个系统的；脑保持不变，应如何使水温从oc升至JOO。C己知7（的比热容为4.18J.g斗K斗解：oc的水与温度为100的恒温热源接触后水温升为JOO，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的偏变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的；胸变。为求水的；脑变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在0C与1ooc之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由c升至JOO。在这可逆过程中，水的地变为r373 17/C dT 373哑373.,=I-1!.一,

24、nc.ln一一104.18In一一1304.61k-.J2n T”273 273(1)水从0。c升温至100。c所吸收的总热量Q为Q=1ncPl1T=103 x4.18xl00=4.18105 J.为求热源的；胸变，可令热源向i晶度为100。c的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的偏变为4.18105 一一一一一=-1120.61 K-.如撒373(2)由于热源的变化相同，式（2）给出的；脑变也就是原来的不可逆过程中热源的；脑变。则整个系统的总；胸变为t;S，也 f;S点t;S州1841K十（3)为使水？且从0。c升至JOO。c而参与过程的整个系统的；脑保持不变，应令水与温度分布在0。c

25、与100。c之间的一系列热源吸热。水的；脑变c,.S水仍由式（1）给出。这一系列热源的；脑变之和为:c_dT.t1S灿耐I二千二工一一-1304 61 K-.但邮J 213 T(4)参与过程的整个系统的总煽变为t1S,=t1S+t1S=0.(!:.,)弗司在(S)10A的电流通过一个2sn的电阻器，历时1s。(a）若电阻器保持为室瘟21c，试求电阻器的；脑增加值。(b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为21c，电阻器的质量为10g，比热容cP为0.84Jg-1K-1，问电阻器的；脑增加值为多少解：(a）以T,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的植度也保持为室温21c

26、不变，则电阻器的；脑作为状态函数也就保持不变。(b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由式升为Tr，所以有inc(7;-7;)=i2 RI,故i2 Rt I 0225l T.=T 一一3O+-e部600K.”,ncP 10-,0.4810 电阻器的；脑变可参照例二的方法求出，为rFi inc dT=I一_r_一inc In二1020.84103111二二5.8JK-1.叹TI飞300均匀杆的瘟度一端为，另一端为飞，试计算达到均匀温度；（川）后的煽增。解：以L表示杆的长度。轩的初始状态是l=O端温度为瓦，l=L制度训，植度梯度为平（的毛。这是一个非平衡状态

27、。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度（叭）的平衡状态。为求这一过程的煽变，我们将杆分为长度为dl的许多小段，如图所示。位于jlJt+dl的小段，初温为I-L 膨在勿在乡生刃生勿勿业仍勿予v.a组乡Vn勿在仍乎？岳几r.这小段由初温T变到终温！（可兀）后的；脑增加值为2 T.汇r旦旦dT dS.=c dl I 1 一一c d/ln一一一1,Jr r T.-T.11 其中c，是均匀杆单位长度的定压热容量。根据娟的可加性，整个均匀杆的；摘增加值为t.S=J dS,叫n号叫兀平1)Jc1,(1)(2)P InII汇午2/llnl T,t1-1汇.:J_I11 2 11-1,11_L j飞L

28、)L)Jo 叩11五舌（式l叫司l川兀）=C f In王土豆7;ln7;-T1 lnT1 1.飞2 7;-T2)(3)式中CP=cPL是杆的定压热容量。一物质固态的摩尔热量为c，液态的摩尔热容量为c，.假设c.,和c，者11可看作常量在某一压强下，该物质的熔点为凡，相变潜热为Qo.求在温度为写（巧瓦）时，过J令液体与同温度下固体的摩尔；脑差假设过冷液体的摩尔热容量亦为c,.解：我们用；脑函数的表达式进行计算以T,p为状态参量在时论固定压强下过冷液体与固体的偏差时不必考虑压强参量的变化以a态表示瘟度为写的固态，b态表示在烙点凡的固态.b,a两态的摩尔娟差为（略去摩尔胸s”的下标m不写!1S加f平

29、巳l斗（1)以c态表示在烙点兀的液相，C,b两态的摩尔煽差为s,b气以d态表示温度为写的过冷液态，d,c两态的摩尔摘差为/1S,.旦旦C.ln互(3)恤T飞；脑是态函数，也c两态的摩尔；脑差sda为/1S da=11S d,+/1S cd+11S,(1-rl、式，Qo.r,.兀兀兀s T,今（川）I口号 物体的初瘟式，高于热源的瘟度，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到飞为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据；胸增加原理证明，此热机所能输出的最大功为w，阳Q-J;(S1-S2)其中S,-S2是物体的；脑减少量。解：以A乱，11Sb和11S，.分别表示物体、热机和热源在过程前

30、后的；胸变。由俐的相加性知，整个系统的偏变为!1S=11Sa11Sb+115,.由于整个系统与外界是绝热的，；脑增加原理要求t;S=e.snMb成三0.(1)以鸟，S2分别表示物体在开始和终结状态的恼，则物体的；脑变为e.Sn=S2-S1.(2)热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，恼变为零，即e.sb=o.(3)以Q表示热机从物体吸取的热量，Q表示热机在热源放出的热量，W表示热机对外所做的功。根据热力学第一定律，有Q=Q+V,所以热源的；脑变为e.s.主皇二旦(4)、T2飞将式（2）一（4）代入式（1），即有队S，豆二立运0.(S)T2 上式取等号时，热机输出的功最大，故.,.

31、,=Q-7;(S1-S2).(6)式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为立。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到飞为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据偏增加原理证明，此过程所需的最小功为风m叫号川写）解：制冷机在具有相同的初始温度写的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1，使物体2的温度降至飞为止。以式表示物体1的终态温度，cv表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为0i=C，（式7;)(1)物体2放出的热量为马Cp(T,骂）(2)经多次循环后，制冷机接受外界的功为W=Q1-Q2=Cp（写卫 2式）(3)由此

32、可知，对于给定的骂和Ti式愈低所需外界的功愈小。用l!.SI f;S 2和l!.S，分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的；脑变。由俏的相加性和；脑增加原理知，整个系统的情变为6.S=M 1+l!.S2+6.乌兰0(4)显然6.S=C In主.V i;.6.S崎CIn主，飞6.S3=0.因此；脑增加原理要求T.T 6.S=C臼h乒注0(S),T/或T.T,I.T/(6)对于给定的骂和毛，最低的百为代入（3）式即有立 主骂v.=C_ I!1叫2TI(7)l T2.l 式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。简单系统有两个独立参量。如果以TS为独立参量，可以以纵坐标表示温度T，横坐标表示倘S

33、，构成T-S圈。图中的一点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用T-S图求可逆卡诺循环的效率。解：可逆卡诺循环包含两个可逆等1且过程和两个可逆绝热过程。在T-ST 口JLLl T门a几。s,s,s 图上，等温线是平行于T轴的直线。可逆绝热过程是等情过程，因此在T-S图上绝热线是平行于5轴的直线。因1-5在T-S图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。（一）等温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程（温度为写）由状态I到达状态II。由于工作物质在过程中吸收热量，；脑由冉升为S2。吸收的热量为Q，写S2-S1),(1)Q，等于直线III下方的面积。（二

34、绝热膨胀过程工作物质由状态II经绝热膨胀过程到达状态IIIo过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由写下降为飞，恼保持为s2不变。（三）等温压缩过程工作物质由状态皿经等温压缩过程（温度为飞）董lj达状态No工作物质在过程中放出热量，；楠由s2变为町，放出的热量为马骂（S2-S1),(2)Q2等于直线IIIIT下方的面积。（四）绝热压缩过程工作物质由状态W经绝热压缩过程回到状态I。温度由飞升为坷，倘保持为s，不变。在循环过程中工作物质所做的功为w=Q,-Qi,(3)W等于矩形III IIIIT所包围的面积。可逆卡诺热机的效率为主垒1-1坠二三2=1五Q,Q，盯（S2-S1）式(4)上面的讨论显

35、示，应用T-S图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便的。实际上T-S图的应用不限于卡诺循环。根据式（1.14.4)dQ=TdS,(S)系统在可逆过程中吸收的热量由积分Q=f TdS(6)给出。如果工作物质经历了如图中ABCDA的（可逆循环过程，则在过程ABCT AOC。F E s 中工作物质吸收的热量等于面积ABCEF，在过程CDA中工作物质放出的热量等于面积ADCEF，工作物质所做的功等于闭合曲线ABCDA所包的面积。由此可见（可逆循环过程的热功转换效率可以直接从T-S图中的面积读出。在热工计算中T-S图被广泛使用。补充题11mol理想气体，在27。c的恒温下体积发生膨胀，其压强由20Pn准

36、静态地降到1p，求气体所作的功和所吸取的热量。解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2），在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB外界对气体所做的功为飞，v.dVH w=-1.pdV=-RT I.-=:-:-=-R阳升-RTin.!:11.,v,.,v VA Po 气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得-W=Rn nl!.!1=8.31300ln20=7.47103 J.Po 在等温过程中理想气体的内能不变，即b.U=0.根据热力学第一定律（式（1.5.3)），气体在过程中吸收的热量Q为Q=-W=7.47I 03 J.补充题2在2sc下，压强在0至1000p，之间，测

37、得水的体积为V=(18.066-0.715,o-3 P 0.046I 0-6 p2)c1n3 1no1-1 如果保持温度不变，将1mol的水从1p，加压至1000p，求外界所作的功。解：将题中给出的体积与压强关系记为V bpq户，(1)由此易得变不度植持保为dV=(b+2cp）将1mol的水由1 P，加压至1000P,(2)外界所做的功rV r P l句2、I 酬W=-1-pdV=-1 p(b+2cp）（bp+-cp)I Jv,J/.,2 3 I,=33.IJ1nol-1.在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。补充题37在前题，使弹性体在准静态等温过程中长度由乌压缩为号，试计算外界所作的

38、功。解：在准静态过程中弹性体长度有dL的改变时，外界所做的功是dW=JdL(1)将物态方程代入上式，有dV叫什）dL(2)在等温过程中Lo是常量，所以在准静态等温过程中将弹性体长度由乌压缩为号时，外界所做的功为,.v=I!Jd：（是）：例：(3)值得注意，不论将弹性体拉长还是压缩，外界作用力都与位移同向，外界所做的功都是正值。补充题4在0。c和1p，下，空气的密度为J.29kg m-3，空气的定压比热容气9961 kg K-1,r=l.41。今有27旷的空气，试计算：Ci）若维持体积不变，将空气由0。c加热至20。c所需的热量。(ii）若维持压强不变，将空气由0。c加热至2oc所需的热量。(i

39、ii）若容器有裂缝，外界压强为1p，使空气由0。c缓慢地加热至20。c所需的热量。解：(a）由题给空气密度可以算27旷得空气的质量，为1n1=1.2927=34.83kg.定容比热容可由所给定压比热容算出c.0.996x!03毛c.,丘一一一一一一0.706JO J ki?叶.K-.r 1.41-维持体积不变，将空气由oc加热至20C所需热量也为Q、,n1cv(T2 引）=34.830.706103 x20=4.920I 05 J.(b）维持压强不变，将空气由0。c加热至20。c所需热量Qp为QP=,n1cP(I;写）=34.830.996I 0320=6.938105 J.(c）若容器有裂缝

40、，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据理想气体的物态方程Ill pV=-;:RT,/11 rn.为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。以叫，写表示气体在初态的质量和瘟度，m表示植度为T时气体的质量，有m击1nT,所以在过程（c）中所需的热量Q为Q叫，n(T)dT，队f手”1月cPln号将所给数据代入，得飞293Q=34.832730.996！Ojln一一273=6.678105 J.补充题5热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的物体传送到温度较高的物体上去。如果以逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温

41、物体的热量与外界所做的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何解：根据卡诺定理，通过逆卡诺循环从温度为巳的低温热源吸取热量Q2，将热量；Q，送到温度为写的高温热源去，外界必须做功W=QI-Q2.因此如果以逆卡诺循环作为热泵的过程，其效率为77-Q,-QI 写I;7-+-W Q,-Q2式T1写I;式中第三步用了QI-r.Q1 T2(1)的结果（式（1.12.7）和（）。由式（1）知，效率厅恒大于1。如果巧与飞相差不大，17可以相当高。不过由于设备的价格和运转的实际效率，这种方法实际上很少使用。将功直接转化为热量（如电热器，效率为1。补充题6根据偏增加原理证明第二定律的开氏表述：从单一热源吸取热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。解：如果热力学第二定律的开尔文表述不成立，就可以令一热机在循环过程中从温度为T的单一热源吸取热量Q，将之全部转化为机械功而输出。热机与热源合起来构成一个绝热系统。在循环过程中，热源的脑变为手而热机的情不变，这样绝热系统的脑就减少了，这违背了；胸增加原理，是不可能的