向量组及其线性相关性.ppt

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1、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR1第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR2第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性第一节 n维向量组及其线性组合一、维向量的概念二、向量组的线性组合上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR3第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量

2、复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、维向量的概念上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR4第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR5第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，

3、也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量的表示方法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR6第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR7第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性

4、若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如向量组与矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR8第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR9第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By

5、QQIR10第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR11第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定义定义线性组合线性组合二、向量组的线性组合上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR12第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR13第四章

6、第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理1 1例4.1.3 设向量问：与 中哪个可以 由线性表示，哪个不能？上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR14第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性前两列构成的矩阵的秩为2，前三列构成的矩阵的秩为3，因此 不能用 线性表示。一、二、四列构成的矩阵的秩为2，因此 可以用 线性表示.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR15第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定义：设有两个向量组：定义：设有两个向量组：（1）若）若B组中每一个向量都可以由向量组中每一个

7、向量都可以由向量组组A线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组B可以由向量可以由向量组组A线性表示；线性表示；（2）若向量组）若向量组A与向量组与向量组B可以相互线性可以相互线性表示，则称向量组表示，则称向量组A与向量组与向量组A等价。等价。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR16第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理（1）向量组向量组B可以由向量组可以由向量组A线性表线性表示的充分必要条件是示的充分必要条件是 。（2）向量组）向量组A与向量组与向量组A等价的充分必要等价的充分必要条件是条件是 。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Ma

8、de By QQIR17第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性向量组等价与矩阵等价有何区别与联系？上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR18第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.1.5 向量组 A:证明向量 可由线性表示，并求出表示式.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR19第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.1.6 向量组 问(1)当 为何值时，向量组A与B等价？(2)当 为何值时，向量组A与B不等价？B中哪个向量不能用向量组A线性表示？并将可以用向量组A表示的向量表示出

9、来。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR20第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR21第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性从而从而上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR22第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR23第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR24第四章第四章 向量向量

10、组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR25第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR26第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 一、向量组的线性相关与线性无关二、线性相关性的判定上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR27第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相

11、关性注意注意定义定义1 1则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关一、向量组的线性相关与线性无关上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR28第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR29第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.2.2 设向量组 线性无关，且 证明 线性无关 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR30第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证证上页上页 下页下页 返回返回 结

12、束结束 Made By QQIR31第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR32第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理二、线性相关性的判定上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR33第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.2.2 设向量组 线性无关，且 证明 线性无关 证法2上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR34第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性由于因此可逆，从而故 线性无关 上页上页 下页下

13、页 返回返回 结束结束 Made By QQIR35第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性解解例例分析分析上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR36第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR37第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.2.3 当 满足什么条件时，向量组 线性相关？上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR38第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性

14、相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR39第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线

15、性表示.证毕证毕.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR40第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR41第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例 判别如下方程组的线性相关性解：由于 ，因此方程组的线性无关的。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR42第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR43第四章第

16、四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR44第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证明证明说明说明上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR45第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性说明说明上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR46第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR47第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性1.线性相关与线性无关的概念；线

17、性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR48第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性思考题上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR49第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性必要性必要性思考题解答上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQ

18、IR50第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第三节第三节 向量组的秩向量组的秩上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR51第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性一、最大线性无关向量组二、矩阵与向量组秩的关系上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR52第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组一、最大线性无关向量组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR53第四章

19、第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理二、矩阵秩与向量组秩的关系上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR54第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性结论结论说明说明上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR55第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR56第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR57第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页

20、上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR58第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性事实上事实上上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR59第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR60第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理三、向量组秩的重要结论上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR61第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR6

21、2第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性推论推论1 1推论推论2 2上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR63第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性思考思考上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR64第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR65第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证一证一上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR66第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上

22、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR67第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证二证二上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR68第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性注意注意上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR69第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR70第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR71第四章第四章 向量向量

23、 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR72第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR73第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR74第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR75第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR76第

24、四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR77第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.3.4 设4维向量组 问(1)为何值时，线性相关？(2)当 线性相关时，求其一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR78第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.3.5 已知向量组A与向量组B如果向量组A与向量组B秩相等，且 可以由 线性表示，求 。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQI

25、R79第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结

26、束 Made By QQIR80第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR81第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性一、齐次线性方程组解的结构二、基础解系及其求法三、非齐次线性方程组解的结构上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR82第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组（1）一、齐次线性方程组解的结

27、构上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR83第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则若记若记上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR84第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR85第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性齐次线性方程组解的性质齐次线性

28、方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR86第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.上页上页 下页下页

29、返回返回 结束结束 Made By QQIR87第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR88第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR89第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为上页上

30、页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR90第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR91第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性现对现对 取下列取下列 组数：组数：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR92第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR93第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性下面证明下面

31、证明 是齐次线性方程组的基是齐次线性方程组的基础解系础解系由于由于 个个 维向量维向量线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR94第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR95第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR96第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页

32、 返回返回 结束结束 Made By QQIR97第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.说明说明方程组的基础解系不是唯一的方程组的基础解系不是唯一的2若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR98第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定理定理1 1上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR99第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性

33、方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR100第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR101第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR102第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换上页

34、上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR103第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR104第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR105第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例例3 3证证上页上页

35、下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR106第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.4.2 矩阵秩 为2，向量是齐次线性方程组的解向量 ，求方程组的一个基础解系和通解。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR107第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性解.矩阵 秩为2，由定理4.4.1知，方程组 基础解系中的解向量个数为2.由于 线性无关，所以它们是方程组的一个基础解系.方程组的通解为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR108第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4

36、.4.3 设n阶方阵A的秩为n-1，且代数余子式 ，求齐次线性方程组 的通解.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR109第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性解：由于,则 是非零向量.为 的非零解。又A的秩为n-1，方程组 的基础解系中仅有一个解向量，因此是方程组 通解，其中 为任意实数.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR110第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的结构上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By

37、 QQIR111第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性证明证明证毕证毕上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR112第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性在线性方程组 中，若把等式右边的非零向量 换成零向量，则得到一个齐次线性方程组 。称为方程组的导出组。称为方程组的对应的齐次方程组。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR113第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解

38、解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR114第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR115第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行

39、列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR116第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例例4 4 求解方程组求解方程组解解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

40、 Made By QQIR117第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR118第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR119第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR120第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性例4.4.5 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 是它的三个解向量，且 求该方程组的通解 上页上页 下页下页 返回返回 结

41、束结束 Made By QQIR121第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性解 由于四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为3，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构理论得 基础解系：故此方程组的通解为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR122第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形四、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made B

42、y QQIR123第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR124第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性故故上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR125第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR=()()nBRAR=线性方程组解的情况线性方程组

43、解的情况上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR126第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性思考题上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR127第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性思考题解答上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR128第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR129第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第六节第六节 综合与提高

44、综合与提高上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR130第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性一、本章知识回顾二、典型例题上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR131第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量定定义义向量的定义上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR132第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By

45、 QQIR133第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量负负向向量量上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR134第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性向向量量加加法法向量的线性运算上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR135第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量的的线线性性运运算算，满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规

46、规 则则：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR136第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR137第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR138第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组定定义义线性组合上页上页 下页下页 返回返回

47、 结束结束 Made By QQIR139第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定义义线性表示上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR140第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定理理定定义义上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR141第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定义义定定理理线性相关与线性无关上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR142第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定理理上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made

48、By QQIR143第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR144第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定义义向量组的秩上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR145第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B B 的

49、的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR146第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR147第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定义义设设 为为

50、 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间向量空间上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR148第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR149第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定义义子空间上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR150第四章第四章 向量向量 组及其线性相关性组及其线性相关性定定义义基与维数上页上页 下页