向量组线性相关性.pptx

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1、线性相关的定义线性相关的定义 p86 定义定义4.4第1页/共34页 定义1 1 设有m m个n n维向量1，2，m，如果存在一组不全为零的数 使则称向量组1 1 ，2 2 ，m m线性相关；否则，称向量组线性无关P86定理4.4 的部分内容第2页/共34页线性相关两种定义的等价性 向量组a a1 1，a a2 2，a am m线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。必要性：因为必要性：因为a a1，a a2，a am线性相关，故存在不全线性相关，故存在不全为零的数为零的数l l1，l l2，l lm，使，使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o

2、。不妨设不妨设l l1 0，于是，于是即即a a1为为a a2，a a3，a am的线性组合。的线性组合。充分性：不妨设充分性：不妨设a a1可由其余向量线性表示：可由其余向量线性表示：a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am，则存在不全为零的数则存在不全为零的数 1，l l2，l l3，l lm，使，使 (1)a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am o，即即a a1，a a2，a am线性相关。线性相关。证明：证明：第3页/共34页1.1.含有零向量的向量组一定线性相关。2 2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。3.3.由两个

3、向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量 对应成比例。4.4.n n 维基本单位向量e e1 1，e e2 2，e en n是线性无关的。5.5.几何意义第4页/共34页 定义1 1 设有m m个n n维向量1 1，2 2 ，m m，如果存在一组不全为零的数 使则称向量组1 1 ，2 2 ，m m线性相关；否则，称向量组线性无关思考题：给出线性无关的直接定义 推论4.1第5页/共34页向量组a a1 1，a a2 2，a am m线性相关的充分必要条件是：以x x1 1，x x2 2，x xm m为未知量的齐次线性方程组 x x1 1a a1 1 x x2 2a a2 2 x xm m

4、 a am m o o有非零解。综合P87定理4.4 及 推论4.1的内容而向量组a1，a2，am线性无关的充分必要条件是：x1a1 x2a2 xm am o只有零解。第6页/共34页所以方程组有非零解。21 x12 x13 x得方程组 由于 解:设使所以 线性相关。例1 讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性即存在一组不全为零0的数 21 x12 x13 x第7页/共34页例4.2.1 判断向量组的线性相关性。解 设记把A用初等行变换变为阶梯形得知方程只有零解，所以原向量组线性无关。第8页/共34页思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关

5、及线性无关的条件是什么？答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0 0；线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0 0。第9页/共34页注 由于A是方阵，也可以由|A|=-6得知方程组只有零解 设n阶方阵，由上述定理可知，A是可逆矩阵的充要条件是方程组只有零解 由此我们得到下面的定理定理定理4.2.24.2.2设A是n阶方阵，则下面的三个命题等价(1)A为可逆矩阵(2)A的列向量组线性无关(3)A的行向量组线性无关第10页/共34页例3t取何值时向量组线性无关、线性相关？1=（3，2，0），），2=（5，4，-1）3=（3，1，t）解 由于 当 2t-302t-30，即t3/2

6、t3/2时，1 1，2 2，3 3 线性无关当当 2 t-3=0，即，即t=3/2时，时，1，2，3 线性相关线性相关第11页/共34页 例设向量组a a1 1，a a2 2，a a3 3线性无关，b b1 1 a a1 1 a a2 2，b b2 2 a a2 2 a a3 3，b b3 3 a a3 3 a a1 1。试证向量组b b1 1，b b2 2，b b3 3也线性无关。证明：（一）考虑 x x1 1b b1 1 x x2 2b b2 2 x x3 3 b b3 3 o o，x1x1x2x2x3x3000 从而b b1 1，b b2 2，b b3 3线性无关。方程组只有零解，即 x

7、 x1 1(a a1 1 a a2 2)x x2 2(a a2 2 a a3 3)x x3 3(a a3 3 a a1 1)o o，整理得 (x x1 1+x x3 3)a a1 1+(+(x x1 1+x x2 2)a a2 2+(+(x x2 2+x x3 3)a a3 3=o o。因为向量组a a1 1，a a2 2，a a3 3线性无关，所以必有第12页/共34页 例（续）设向量组a a1 1，a a2 2，a a3 3线性无关，b b1 1 a a1 1 a a2 2，b b2 2 a a2 2 a a3 3，b b3 3 a a3 3 a a1 1。试证向量组b b1 1，b b2

8、 2，b b3 3也线性无关。证明：（二）只有即只有所以向量组b b1 1，b b2 2，b b3 3也线性无关。第13页/共34页P88 例题4.7 “部分相关,则整体相关.反之”观察知 相关,从而 相关.设要证相关.判断相关性的一些结论判断相关性的一些结论第14页/共34页 设向量组a a1 1，a a2 2，a am m中有r r 个向量的部分组线性相关，不妨设 a a1 1，a a2 2，a ar r线性相关，P88 P88 例题4.7 4.7 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关。另证：另证：重要结论：部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关则存在一

9、组不全为零的数 1 1，2 2，r r 使 1 1a a1 1 2 2a a2 2 r ra ar r o o，因而存在一组不全为零的数1 1，2 2，r r，0 0，0 0，0 0使 1 1a a1 1 2 2a a2 2 r ra ar r+0+0 a ar r+1+1+0a 0am m o o，即a a1 1，a a2 2，a am m线性相关。第15页/共34页P88 例题4.8 “个数大于维数必相关”A 的列组是 4 个 3 维向量,必相关.第16页/共34页例4.2.4 设向量组线性无关，则向量组也线性无关(其中*取任意数)“短的无关,则长的也无关”.反之第17页/共34页证 因为

10、线性无关,所以方程组只有零解，从而方程组也只有零解，因此线性无关。短的无关,则长的无关；长的相关,则短的相关.第18页/共34页无关,相关则 可由 A 唯一表示.又说明:如果一个向量可用无关组表示,则表法必然是唯一的.为以后引用方便,给它起个名子叫唯一表示定理.定理4.2.3(唯一表示定理)第19页/共34页定理4.2.3(唯一表示定理)设向量组 线性无关 向量组线性相关，则向量可由向量组 线性表示，且表示方式唯一。证 由于向量组线性相关，故存在不全零的数使得必然有否则，若则由于线性无关，必有这与不全为零矛盾，因此则第20页/共34页所以向量 可由向量组线性表示。唯一性 假设向量 由向量组 的

11、表示有两种移项由于线性无关，所以唯一性得证这一结论可以等价的表示为：方程组有唯一解。第21页/共34页推论4.2.2 设，且线性无关则中的任一向量都可以由向量组唯一表示。第22页/共34页练习题 一填空题在一向量组，n中，如果有 部分向量组线性相关，则向量组必（）二、多选题：下列命题中正确的有（）非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量。三、分析判断题：若不能被，r线性表出，则向量，r线性无关。（）四、证明题：设可由，r线性表示，但不能由，r线性表示，证明r可由，r，线性表示第23页/共34页第24页/共34页第25页/共34页第26页/共34页第27页/共34页第28页/共34页第29页/共34页第30页/共34页例题7第31页/共34页第32页/共34页作业：P90：3，4第33页/共34页感谢您的观看。第34页/共34页