向量组等价线性相关性讲稿.ppt

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1、关于向量组等价线性相关性第一页，讲稿共三十页哦存在非零列向量 及非零行向量 ，aTb使得.TAab()()TR AR ab()1,TR ab而 中至少有一个元素非零 Tab()1.R A()()1TR abR a又积的秩不超过因子矩阵的秩21、设A为 矩阵,m n证明 有解 mAXE().R Am 有解 (nYAE()R An已证第二页，讲稿共三十页哦12,m 一一个个向向量量 可可由由向向量量组组A A:线线性性表表示示，1、1122mmkkk12,mk kk存存在在数数 ，使使得得1212mmkkk1212TTTmTmkkk或),(21maaaA 其其中中 BA 表示方法：1122mmxx

2、x 求出方程组的解作组合系数1122mmxxx方程组 有解()().R AR B矩阵表示形式：复习：向量、向量组的线性表示向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！第三页，讲稿共三十页哦22,mSAB 1 11 1列列向向量量组组:可可由由:线线性性表表示示1111,ms mssmkkKkk s mABK ,1,2,jj jmB 可由向量组 线性表示.(1,2,)jBxjm方程组有解.n ss mn mBXA矩阵方程有解.()(,)R BR B A()()R AR B表示系数为列！2、向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题！第四页，讲稿共三十页哦线性表示,1111,sm

3、smmskkKkk m sAKB 1122TTTTTTmSAB 行行向向量量组组可可用用 m=s时系数矩阵为方阵！()BR BRA()()R AR B表示系数为行！任何向量组可由单位向量组表示！12,nnE e ee维维单单位位向向量量组组:能由向量组A线性表示()R An 第五页，讲稿共三十页哦12,lB b bb向向量量组组:能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价.等价的充要条件（p84定理 2推论）12,mA a aa向向量量组组:与与12,lB b bb向向量量组组:等等价价()()(,).R AR BR A B 1212(,),(,)mlAa aaBb bb 其其中中 4、向量组

4、与向量组等价定义（p83)向量组的等价关系具有:自反性、对称性、传递性！12,mA a aa若若向向量量组组:与与12,nEee若若向向量量组组:e e可可由由向向量量组组12,mA a aa:线线性性表表示示,则向量组E与向量组A等价？第六页，讲稿共三十页哦例2(p86)121231321311011,1110213120aabbb 设证明12123,a ab b b向向量量组组 与与向向量量组组 等等价价证 12123,ABaabbb 132131321313213110110422202111111020211100000131200633300000rr (,)2.R A B ()2,

5、R B 所以12123,a ab b b向向量量组组 与与向向量量组组 等等价价()2,R A ()()(,)R AR BR A B 第七页，讲稿共三十页哦12,mA a aa向向量量组组:与与12,lB b bb向向量量组组:等等价价()()(,).R AR BR A B ()()R AR B向量组A与向量组B等价反之不一定！等价的必要条件 向量组与单位向量组等价的条件12,mA a aa向向量量组组:12,nE e ee与与单单向向量量组组:等等价价12(,mAa aanm其其中中),),().R An 12,nnE e ee维维单单位位向向量量组组:能由向量组A线性表示与1231132,

6、0,0124 向量组1231000,1,0001eee 等价？第八页，讲稿共三十页哦,m nmBK AB 行行 变变 换换m m n nm m若若矩矩阵阵A A可可逆逆阵阵K K即B的行的向量组可由A的行的向量组线性表示，所以，A的行的向量组可由B的行的向量组线性表示。重要但AB 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价1,mAKB 又又向量组的等价与矩阵的等价1112111212222212TTmTTmTTmmmmmmkkkkkkkkkmBK A同理，A B A的列组与B的列组等价.cABA 矩矩阵阵的的行行组组与与B B的的行行组组等等价价r思考第九页，讲稿共三十页哦但AB 不能保证A与B的

7、行向量组或列向量组等价151207,352A其标准型100010,000F()2R A 但(,)3R A F,AF但其列、行组都不等价3ARF思考,ABP QBPAQ 可逆阵B与PA的列向量组等价，B与AQ的行向量组等价B与A的列向量组等价，B与A的行向量组等价例：()2R F 所以第十页，讲稿共三十页哦22,ml 1111设设有有n n维维向向量量组组A:A:及及B:B:;mn mn mmKABK 方方阵阵 ,mmn mn mBAK 方方阵阵K K若组A组B,矩阵22(,(,),mlAB 1 11 1构构造造矩矩阵阵 ),与 等价(与 同型且秩相等)ABAB?AB 一般不成立！A,B不一定同

8、型！同型ml组A可用组B表示组B可用组A表示()()R AR Bm若 反之含向量个数相等的同维数的向量组等价时矩阵等价！m=l 情况下()(),()()R KR Am R KR BmA与B列满秩,K K可逆！P70例9的结果A、B列满秩时，系数矩阵可逆第十一页，讲稿共三十页哦这时，组A与组B同解方程组A 方程组B 线性线性方程组方程组的等价的等价 1:(1,2,)njiijiBb xajs 设有方程组组B的每个方程都是方程组A的线性组合！（即B 中方程皆由A中方程经线性运算得到）方程组A和方程组B能互相线性表示！方程组B能由方程组A的线性表示 B的增广 矩阵的行向量组 可由A的增广矩阵的行向量

9、组线性表示.故两两个个组组的的增增广广矩矩阵阵的的行行向向量量组组等等价价这时，组A的解也是组B的解1:(1,2,),njiijiAa xbjm 方程组A的线性组合：由A中方程经线性运算得到的方程！（用矩阵解决方程组的深层依据）方程组B能由方程组A线性表示：方程组B与方程组A等价（互推）：等等价价的的方方程程组组同同解解第十二页，讲稿共三十页哦m nBAB行行 变变 换换m nm n若若矩矩阵阵A A与与 的的行行组组等等价价.AxoBxo齐次线性方程组与同解1,0P PBPAP BA AxoBxPAxo？对齐次线性方程组有同样结论A与B行等价是1BxoAxP Bxo从而，方程组Ax=o与Bx

10、=o同解反之，AxoBxo线性方程组与同解?第十三页，讲稿共三十页哦AxoBxo线性方程组与同解AB 的行最简形与 的行最简形中非零行相同0ABD记 与 的行最简形中非零行构成的向量组为00ADBD 的行组与的行组等价，的行组与的行组等价，AB的行组与 的行组等价AxoBxo线性方程组与等价AxoBxo线性方程组与同解AxoBxo线性方程组与等价第十四页，讲稿共三十页哦向量组矩阵线性方程组?行向量组为行构成矩阵列向量组为列构成矩阵矩阵的一行（列）元素构成一个行（列）向量矩阵的全部行（列）向量构成行（列）向量组一个方程的系数及常数项构成行向量一个未知数的系数 构成列向量系数矩阵、增广矩阵对应行（

11、列）向量组向量组A与B等价方程组等价（同解）向量组线性组合方程组线性组合矩阵的乘法向量组由向量组表示方程组由方程组表示()()(,)R AR BR A B矩阵的初等变换向量由向量组表示方程组有解矩阵的初等变换矩阵的行或列等价第十五页，讲稿共三十页哦m nm ss nCAB C的列向量组可由A的列向量组线性表示，系数矩阵就是B C的行向量组可由B的行向量组线性表示，系数矩阵就是A两个方程组等价（同解）两两个个组组的的增增广广矩矩阵阵的的行行向向量量组组等等价价（齐齐次次组组时时系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组等等价价）B是矩阵方程AX=C 的解A是 矩阵方程 YB=C 的解表示系数？表示系数

12、？常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价方程组 有解1:(1,2,),njiijiAa xbjm 第十六页，讲稿共三十页哦本节重点掌握 向量、向量组、向量组的线性组合、向量由向量组线性表示、向量组等价概念，判定条件，方法，形式 重 在 理 解!第十七页，讲稿共三十页哦引入引入设有向量组A:12,m 零向量可由A线性表示，2 向量组的线性相关性12000mo一定有：表示系数全为0我们关心的是：是否还有一组（m个）不全为零的数12,mkkk使得：1122jjmmokkkk至少一个不为0这两者的本质不同是什么呢？也就是对与向量组A：仅有组合系数全为零时其线性组合

13、为零向量？也有组合系数不全为零时其线性组合为零向量？本质上的不同对向量组而言至关重要！第十八页，讲稿共三十页哦111111jjmjjjmjjjjkkkkkkkk 或曰线性相关。12000mo若有一组不全为零的数12,mkkk使得：1122jjmmokkkk比如至少有0,jk 则能用其它m-1个向量线性表示，至少一个不为0这样我们就说向量 之间12,m 有了实实在在的线性关系，即向量组 中，12:,mA j 至少有一个向量若仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量，则组中任何向量都不能用其它向量线性表示即只有向量 之间12,m 没有线性关系或曰线性无关。第十九页，讲稿共三十页哦 kk 0 则它线性

14、相关;1212 ,mmk kk 设向量组，若存在一组不全为零的数，使得,否否则则1212,(,)(,)nnk lk a aal b bbo 不不全全为为零零，m ,21称称向向量量组组线性无关.m ,21则则称称向向量量组组线性相关.基本结果：定义4（p87),(),(11nnbbklaa(1)当向量组只含一个向量时,若该向量是非零向量,(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.m ,1线性无关.mmikkk110则它线性无关.共线若该向量是零向量,(4)n 维单位坐标向量组(P.88 例4，待证)?当且仅当 k i 都为零时,()式成立1(3)含有零向量的向量组 线性相关.当且仅当

15、 120mkkk12,mj 线线性性相相关关至至少少有有一一个个可可由由其其它它向向量量线线性性表表示示12,mj 线线性性无无关关任任何何都都不不可可由由其其它它向向量量线线性性表表示示1122mmkkko时,成立 1122mmkkko（）成立第二十页，讲稿共三十页哦相关性条件线性无关1122mmxxx 只有零解 R(A)=m线性方程组12,m 线线性性相相关关向量组A:12(,)mA 12,mkkk 不不全全为为零零，1122mmkkk m ,21向量组A:1122mmkkk 线性方程组向量组构成的（列）矩阵12mkkk =0 0时时，R(A)m1122mmxxx 有非零解 矩阵方程Axo

16、 有有非非零零解解.矩阵方程Axo 只只有有零零解解.判定一个向量组的线性相关性是重要的！用定义，用条件！第二十一页，讲稿共三十页哦定理4（p88）12,m 线线性性相相关关向量组 R(A)m向量组12,m 线线性性无无关关 R(A)=m12(,)mA 其中是向量组构成的（列）矩阵 沟通了向量组线性相关性与矩阵的秩之间的联系!m为向量组中向量的个数 R(A)=n它们所构方阵 A可逆（非奇异）。n 个 n 维向量A可逆 A 构成的向量组（行或列）线性无关12,n 线线性性无无关关特别的 任意 n 个 n 维向量线性相关 R(A)n.它们所构方阵 A不可逆（奇异）m=n 时可用|A|是否为零 判断

17、第二十二页，讲稿共三十页哦例例5（p88）判定向量组1(1,1,1),T2(0,2,5),T3(2,4,7)T的线性相关性.解是坐标已知的向量构成的向量组，用判定条件(TH4)线性相关！123102100100,124122120157155150A ()23R A 或：是三个三维向量构成的向量组，用矩阵的可逆性判别123102102,1241240157157AAA不可逆，从而线性相关第二十三页，讲稿共三十页哦用定义判定相关性用定义判定相关性12100001000010nkkk 1122mmkkk 令令（）12,mkkk若若有有不不全全为为零零 线线性性相相关关12,mkkk若若仅仅有有全全

18、为为零零 线线 性性 无无 关关证12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).TTTneee (P.88 例4)线性无关.n 维单位坐标向量组法一：用条件法二：用定义 令12100010,001nEe ee则R（E）=n线性无关1200,0nkkk 当且仅当 120nkkk 线性无关1122,nnk ek ek eo 令令即第二十四页，讲稿共三十页哦例6（p88）112223331123,.,.bbbb b b 且且试试证证向向量量组组线线性性无无关关线性无关，线性无关，设向量组设向量组321,证一1 12233k bk bk bo 设设 131122233()()()kkkkkko

19、112223331()()()kkk用定义即0321 kkk123,.b bb线线性性无无关关10111020011A 只有123,线性无关线性无关031 kk120kk 032 kk (1)设出所讨论向量组的零组合式；用定义证明向量组相关性(2)由条件从(1)找出组合系数所满足的方程组；(3)由此方程组有无非零解判定出其线性相关性.用方程组解的定理第二十五页，讲稿共三十页哦证二112223331,.bbb 123123101(,)(,)110011b b ba a a 用条件123(,)Bb b b 证明()3R B 令向量组不具体（坐标没有给出），将向量组转化为矩阵 表达系数作列A20KK

20、 可可逆逆()()R BR A123,.b b b线线性性无无关关两种方法的思路分析（p89)BK123,()3,线性无关aaaR A()3R B 112321233123000.bbb寻求线性表示的矩阵表达形式！第二十六页，讲稿共三十页哦基本结论 12121:,:,mmmAB 若若组组线线性性相相关关 则则组组线线性性相相关关22111:,mmmAB 设设有有向向量量组组及及向向量量组组：AB 这这里里组组组组1112:,:,mmmBA 若若组组线线性性无无关关 则则组组线线性性无无关关.1111:,()mmmmnBBnm 将将组组换换为为组组：结论也成立称组A是组B的一个部分组整体与部分的

21、相关性的联系 线性无关的向量组中 在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关.意即：任何有限个向量构成的的部分向量组都 线性无关.证明12:,mA 组组线线性性相相关关121:,mmB 组组线线性性相相关关.12,mkkk 不不全全为为零零的的数数 ，1122mmkkk 12,0mkkk当当然然 不不全全为为零零，112210mmmkkk （P89用定理4证明，自阅)定理5(P89)(1)第二十七页，讲稿共三十页哦 n m 时,m个n 维向量构成的mn矩阵的秩 定理5(P89)(2)必 n m，n m 时,m个n 维向量构成的向量组线性相关.特别的，n+1 个n 维

22、向量构成的向量组线性相关.4TH 定理5(P89)(3)1212:,:,mmABb 设设组组线线性性无无关关 而而组组，线线性性相相关关则向量b必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.方程个数 向量维数时，向量组线性相关联系到方程组向量用向量组表示惟一的充分条件（也是充分必要条件！）1(,)mxb 只只证证方方程程组组有有唯唯一一解解第二十八页，讲稿共三十页哦证明：1212:,:,mmABb 设设组组线线性性无无关关 而而组组，线线性性相相关关则向量b必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.1(,)mxb 有有惟惟一一解解 ,1mA 设设 1,mBb 向量组 A 线性无关,)(mAR 又 向量组 B 线性相关,1)(mBR()1mR Bm().R Bm b 可由 A 惟一地线性表出.()().R AR B 1(,)mxb 反反之之，若若有有惟惟一一解解11(,)(,),mmRRbm 1212:,:,组线性无关 而组，线性相关mmABb 1212:,:,组线性无关 而组，线性相关mmABb 的充分必要条件是向量b能由向量组A惟一的线性表示.第二十九页，讲稿共三十页哦感谢大家观看第三十页，讲稿共三十页哦