函数与极限学习指导书.doc

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1、第一章函数与极限教学与考试基本要求：1理解函数、反函数、复合函数、初等函数的概念，函数的特性，会求函数的定义域；2理解数列、函数极限概念，掌握函数的存在极限与极限间的关系，无穷小与无穷大间的关系，无穷小与极限间的关系；3会灵活运用极限四则运算法则及两个重要极限求函数的极限；4理解函数的连续性与间断点的概念，会判断间断点的类型1.1函数一、主要内容回顾函数设和是两个变量，是一个给定的非空数集，如果对于每个数，变量按照一定的对应法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作叫做自变量，叫做因变量，数集叫做这个函数的定义域一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确定了，所以，定义域和对应法则

2、称为函数的两要素反函数设在区间上有定义，对应的函数值集合为，如果对于每个数，按照对应法则，在中有惟一的数与对应，则称这样得到的函数为在区间上的反函数，记为，或按字母使用习惯记为而称为直接函数注：反函数定义域和值域与直接函数的值域和定义域对应相等互为反函数的两个函数的图象关于直线对称复合函数若函数的定义域为，函数在数集上有定义，对应的值域，并且，那么对于每个数值，有确定的数值与值对应由于这个值也属于函数的定义域，因此有确定的值与值对应，这样对于每个数值，通过有确定的数值与对应，从而得到一个以为自变量，为因变量的函数，这个函数称为由函数及复合而成的复合函数，记作，而称为中间变量注：不是任意两个函数

3、都能复合成一个复合函数的复合函数可以有多个中间变量基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数初等函数由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫做初等函数有界性设数集是函数的定义域的一个子集如果存在正数，使得与任一所对应的函数值满足不等式，则称函数在上有界，否则称函数在上无界注：有界函数在上的图象夹在两平行线之间单调性设函数的定义域为，区间，对于内任意两点（）如果当时，恒有，则称函数在内是单调增加的；（）如果当时，恒有，则称函数在内是单调减少的注：单调增加函数的图象从左往右是上升的；单调减少函数的图象从左往右

4、是下降的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，如果对于任一，恒有，则称为奇函数；如果对于任一，恒有，则称为偶函数注：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称周期性对于函数，如果存在一个不为零的数，使得对于定义域内的任何值，仍在定义域内，且关系式恒成立，则称为周期函数称为它的一个周期注：函数的周期是指它的最小正周期；周期为 的周期函数的图象，在长度为的任何区间上有相同的形状二、基本题型及例题题型I判断题（1）函数与为同一函数（2）函数与为同一函数解（1）对由于与的定义域都是，对应法则也相同，所以它们是同一函数（2）错虽然与的定义域都是，但它们的对应法则不一样，所以它们不是同一函数题型II计算

5、题（1）设，求（2）求函数的定义域解（1），（2）依题意 解之得，即函数的定义域为。题型III证明题设，则在上有界证因为，所以在上有界三、习题选解（习题11）2求下列函数的定义域：（）；（）；（）；（）；（）；（）解（1）由得（2）由， 得，从而（3）由，得（4）由，得（）由，得（）由，得7设下面所考虑的函数都是定义在对称区间内的，证明：（）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证（1）设都是内的偶函数，则，所以为偶函数同理可证奇函数情形（2）设是内的偶函数，是内的奇函数，则令则所以是奇函数其余两个类似

6、证明8试证下列函数在指定区间内的单调性：（）；（）证（1）任取，且设，由于所以在（1,0）内单调减少（2）任取，且设，由于所以在内单调增加10求下列函数的反函数：（）；（）；（）；（）解（1）由，解得，故反函数为（2）由，解得，故反函数为（3）由，解得，故反函数为（4）由，解得，故反函数为12设的定义域是，问（），（），（），（）的定义域各是什么？解（1）由得，所以，的定义域是（2）由得，所以，的定义域是（3）由得，所以，的定义域是（4）由，得，所以，的定义域是：当时，；当时，；当时，13设，求和解141998年在上海乘大众出租车的第一5km（包括以内）路程要付费14.40元，续后的每1km（

7、包括1km以内）需要付费1.40元，试把付费金额元表达成距离km的函数，其中解1.2数列的极限一、主要内容回顾邻域设与是两个实数，且，数集称为点的邻域，记作，即，点叫做的中心，叫做的半径而集合称为点的去心邻域称为点的去心的左邻域，称为点的去心的右邻域数列极限设为一常数若当充分大时，总能保持小于预先给定的无论怎样小的正数，就称为数列的极限，或称数列收敛于，记为或如果数列没有极限，就说数列是发散的数列收敛于也可说成任何内含有的无穷多项有界数列对于数列，如果存在正数，使得对一切都有，则称数列有界；如果这样的正数不存在，就说数列无界收敛数列的性质收敛数列必有界注：有界数列不一定收敛，发散数列不一定无界

8、二、基本题型及例题题型I选择题（1）数列收敛是数列有界的（）A必要条件B充分条件C充要条件D无关条件（2）下列数列中收敛的是（）ABCD解 （1）选A； （2）选C三、习题选解（习题12）4设，讨论数列的极限并举例说明在极限存在的条件下极限不一定存在解由，则当充分大时，总能保持小于预先给定的无论怎样小的正数，此时也成立，即如数列，但不存在1.3 函数的极限一、主要内容回顾函数极限（1）自变量趋于有限数的极限设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果当充分接近（但不等于）时，对应的函数值与某个确定的常数之差的绝对值总能保持小于预先给定的正数（无论它多么小），则称当趋于时函数的极限为，记为或将上面定义

9、中的去心邻域改为左（右）去心邻域，就得到左（右）极限的定义，分别记为（）（2）自变量无限增大时的极限如果当充分大时，对应的函数值与某个确定的常数之差的绝对值总能保持小于预先给定的正数（无论它多么小），则称当时函数的极限为，记作或将充分大改为且无限增大，记作（或且无限增大，记作），就得到（或）的定义保号性如果且，则必存在的某一去心邻域，当在该去心邻域内时，重要结论的充要条件是的充要条件是水平渐近线若(或)，则称直线为曲线的水平渐近线注：需记住的几个极限1；2；3；4；二、基本考试题型及配套例题题型I判断题（1）若函数在有定义，则存在（）（2）若与都存在，则存在（）解（）错； （）错题型II证明题

10、证明不存在证设所以，故不存在三、习题选解求当时的左、右极限，并说明它们当时的极限是否存在解，所以；，所以不存在4判断极限是否存在，并说明理由解由于所以不存在1.4无穷小与无穷大一、主要内容回顾无穷小若（或），就称函数当（或）时为无穷小注：无穷小是以为极限的变量说到无穷小，必须指明自变量的变化过程无穷小与绝对值很小的数不能混为一谈零是惟一可以作为无穷小的常数无穷大（）若，则称函数当时为无穷大（）若，则称函数当时为正无穷大（）若，则称函数当时为负无穷大注：无穷大是变量说到无穷大，必须指明自变量的变化过程无穷大与绝对值很大的数不能混为一谈无穷小与极限的关系具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；

11、反之，如果函数可表示为常数与一个无穷小之和，那么该常数就是此函数的极限无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果为无穷小，且，则为无穷大；反之，如果为无穷大，则为无穷小铅直渐近线若（或或），则称直线为曲线的铅直渐近线二、基本题型及例题题型I判断题（1）变量按下面数列取值：变量是无穷大（2）设是自变量的某个变化过程中的无穷小，为该过程中的无穷大，则在该过程中以为极限解（1）错因为不论取得有多大，后总有为0的项，对任何正数，不能成立，但是无界的这表明无界的数列不一定是无穷大（2）错如当时，是无穷小，是无穷大，但，即它们的积是无穷大题型II填空题曲线的水平渐近线是_，铅直渐近线是_解， 三、

12、习题选解（习题14）2证明：函数在区间上无界，但当时，该函数是无穷大证对于任意给定的正数，取，则只要，就有，这表明在上无界但它不是无穷大因为对于任意给定的正数，取，则不大于3设函数，问应满足什么条件能使？并证明时该函数是无穷大解因为，要使，只要，即对于任意给定的正数，要使，只要即这表明时函数是无穷大1.5极限运算法则一、主要内容回顾极限运算法则（1）有限个无穷小之和、差、积仍是无穷小（2）有界函数与无穷小之积是无穷小（3）若，则（4）若，则特别地，若为正整数，；若为常数，（5）若且，则复合函数极限的计算设，而函数在连续，则复合函数当时的极限存在，且也即注：连续函数求极限时函数符号与极限符号可以

13、交换位置二、基本题型及例题题型I判断题（1）若存在，不存在，一定存在（）（2）若与都不存在，则一定不存在（）解（1）错假设存在，由于，则由极限运算法则知，也存在，与条件矛盾假设错误（2）错如设，及不存在，但题型II计算题计算下列各题：求；求；求解三、习题选解（习题15）1 计算下列极限：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）解因为， 所以.计算下列极限：（）；（）解4已知，且存在，求解，因为存在，所以，从而1.6 极限存在准则及两个重要极限一、主要内容回顾极限存在准则（）夹逼准则：如果数列满足下列条件：，则注：函数极限也有类似的结论（）单调有界准则：单调有界数列必有极限两个重要极

14、限（）注：只要，也有（），注：只要，也有二、基本考试题型及配套例题题型I填空题（1），（2） 已知，则解（1）0,1（2），所以题型II计算题（1）求；（2）求；（3）求解（1）（2）（3），而，由夹逼法则有三、习题选解（习题16） 1 计算下列极限：（）；（）；（）；（）；（）；（）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）2计算下列极限：（）；（）；（）；（）解（）（）（）（）3利用极限存在准则证明：证设，则，即，而，所以1.7无穷小的比较一、主要内容回顾无穷小的阶设是自变量的同一变化过程中的无穷小量，若，则称是比高阶的无穷小，记作； 若，则称是比低阶的无穷小；若，则称与是同阶的无穷小；若，则

15、称与是等价无穷小，记作 无穷小的性质若，且存在，则这表明，求两个无穷小之比的极限时，可以用等价无穷小来代替二、基本题型及例题题型I选择题（1）当时，与比较是（）A等价无穷小B同阶无穷小C低阶无穷小D高阶无穷小（2）当时，与是同阶的无穷小是（）ABCD解（）（）题型2证明题证明：当时，（1）是无穷小，（2）证（1）（2）因为，所以三、习题选解当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？解因为，所以是比高阶的无穷小1 当时，无穷小与（），（）是否同阶？是否等价？解因为，所以是的同阶无穷小，是的等价无穷小2 证明：当时，下列各对无穷小是等价的：（）（）解证（1），所以（2），所以3 利用等价无穷小的性质，求下

16、列极限：（）；（）（为正整数）；（）；（）解（1）（2）（3）（4）4 设是无穷小，证明：如果，则；反之，如果，则证设，所以 ，即；设，则，所以，即1.8函数的连续性与间断点一、主要内容回顾左右连续（1）若在点的某个左邻域内有定义，且，则称在点左连续；（2）若在点的某个右邻域内有定义，且，则称在点右连续连续（1）设在点的某邻域内有定义，若，则称在处连续，称为的连续点（2）记，称为在的增量，若，则称在处连续（3）若函数在开区间内每一点处都连续，则称在内连续；（）连续函数的图像是一条连续不间断的曲线重要结论在点连续的充要条件是在点既左连续，又右连续即间断点在点有定义，三条中至少有一条不满足，则称在

17、点不连续，也称为的间断点间断点的类型第一类间断点：与都存在的间断点含可去与跳跃两类可去间断点：与都存在且相等的间断点跳跃间断点：与都存在但不相等的间断点第二类间断点：与中至少有一个不存在的间断点二、基本考试题型及配套例题题型1判断题（1）分段函数必有间断点（）（2）若与都在点间断，则也在间断（）解（）错如分段函数，在上连续（）错如与都在处不连续，但在处连续题型II选择题（1）是在连续的（）A必要条件B充分条件C充要条件D无关条件（2）是的（）A跳跃间断点B无穷间断点C可去间断点D振荡间断点解（）选（）选题型III计算题（1）设，要使在处连续，为多少？（2）设，为何值时在连续解（1）在处没有定义

18、，是函数的间断点因为，所以补充能使在连续（2）因为，所以，当时，能使函数在连续三、习题选解（习题18）1 研究下列函数的连续性：（）；（）解（1）在0,1与上连续又，故在处连续从而在0,2上连续（2）在上连续，又，在处连续；，在处不连续即在上连续2 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续（）；（）；（）解（1）因为为可去间断点，补充，则函数在处连续；又，所以为无穷间断点（2）当时，为可去间断点，补充，则函数在处连续；当时， ，是无穷间断点；，是可去间断点，补充，则函数在处连续（3）不存在，是函数的第二类间断点3常数为何值时，可使函数

19、在上连续解在上连续，在处，在上连续，所以，4讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型解，因为，所以为函数的跳跃间断点；因为， 所以为函数的跳跃间断点1.9连续函数的运算与初等函数的连续性一、主要内容回顾连续函数的四则运算 连续函数的和、差、积、商（分母不为0时）连续 若函数在某区间上单值、单调增加（或减少）且连续，则它的反函数也在对应区间上单值、单调增加（或减少）且连续 连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数初等函数的连续性 基本初等函数的它们的定义域内是连续的 一切初等函数在其定义区间内是连续的注：定义区间是包含在定义域内的区间二、基本题型及例题题型I填空题（） 设，则（） 设，则解（）（）

20、题型II计算题（1） 已知，求（2） 设在定义域内连续，求的值解 （1） ，（2）在定义域内连续，所以它在处连续， 所以 ，故 三、习题选解3 求下列极限：（）；（）；（）解令，则，所以4设函数，应当怎样选择数，使成为在上连续的函数？解要使函数在上连续，则函数必在处连续故因此，时，函数在上连续1.10闭区间上连续函数的性质一、主要内容回顾函数在闭区间上连续若函数在开区间内连续，且在左端点右连续，在右端点左连续，则称函数在闭区间上连续零点如果使，则称为函数的零点注：函数的零点也就是方程的根闭区间上连续函数的性质（）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值（）（有界性）闭区间上的连续函数在该区间上

21、一定有界（）（零点定理）设函数在闭区间上连续，且与异号，则在开区间内至少有函数的一个零点即至少存在一点使（）（介值定理）若函数在闭区间上连续，则它在上取得介于最大值与最小值之间的任何值二、基本题型及例题题型I判断题（1）在上不连续的函数一定没有最大值（）（2）在上不连续的函数一定无界（）解（）错（）错如：在上不连续，但它有最大值，也有界题型II证明题（1） 设在上连续，且，证明在内必存在一点，使得（2）设在上连续且无零点，证明：在上恒正或恒负证（1）设，则在上连续，而，所以在至少存在一点，使得，即（2）用反证法设在上不是恒正或恒负，则在必有，且，使得，又在上连续，所以至少存在一点，使得这与已知

22、矛盾故得证三、习题选解（习题110）1 证明方程至少有一个根介于和之间证设，则在上连续，且，由零点定理，在（1,3）内至少有一点，使即方程在（1,3）内至少有一根2 证明方程至少有一个正根，并且它不超过证设，则在上连续，且，若，则是方程的根；若，由零点定理，在内至少有一点，使，即是方程的根故方程至少有一个不超过的正根3 如果，证明存在一个数，使得证设，则，又在上连续，由零点定理，在（0,3）内至少有一点，使即4 若在上连续，则在上必有，使证因为在上连续，所以在上有最大值和最小值，则，从而，由介值定理，至少存在一点，使复习题一三、求下列函数的定义域：；解1，解之得2，解之得3，即，解之得四、求下

23、列函数的极限：；解1234五、设函数，问为何值时，函数在定义域内连续解在上连续，要使在定义域内连续，只需六、函数在点无定义，因而在该点不连续，试构造一个新的函数使其在处连续，而在其他点的函数值与相同解，所以，即为所求七、设在处连续，且，求解八、证明方程至少有一个正根证设，则在上连续，在0,2上连续，由零点定理知，在(0,2)内至少有一点，使，即方程至少有一个正根九、设在上连续，且，证明在上至少存在一点，使，其中为常数证在上连续，则在上有最大值，最小值，因为，所以，由介值定理知在上至少存在一点，使，即本章测试题一、选择题1下列哪对函数是相等同的（）ABCD2是存在的（）A充分条件B必要条件C充要条件D无关条件3在是连续是在上有界的（）A充分条件B必要条件C充要条件D无关条件二、填空题1函数是由函数复合而成的2函数的定义域是3三、求下列极限1；2四、设，（1）为何值时，是的连续点？（2）为何值时，是的间断点？（3）当时求的连续区间五、设在上连续，证明：至少存在一点，使，其中测试题解答一、C，C，A二、1230,1三、解12四、解（1），要在连续，则，所以（2）由（1）可知，且时是的间断点（3）当时，在间断，但右连续而不左连续，故的连续区间为及五、证令，由在上连续，知在上连续,当时，取或即证当时，由零点定理知，存在使即