等差数列前n项和教案 .pdf

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1、等差数列前 n 项和一、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：知识技能知识技能(1)掌握等差数列前 n 项和公式;(2)掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前 n 项和公式。数学思考数学思考(1)通过对等差数列前 n 项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；(2)通过公式的运用体会方程的思想；(3)通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。解决问题解决问题创 设 由 探索 1+2+3+100 的 和,推 广到 探 索 一般 的 等 差数 列 前 n 项 和sn a1 a2 a3.a

2、n的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法,并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。情感态度情感态度结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。2 2、教学重点、难点、教学重点、难点重点重点等差数列前 n 项和公式的推导和应用。难点难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。重、难点解决的方法策略重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公

3、式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。二、教学模式与教法、学法二、教学模式与教法、学法本课采用“探究发现”探究发现”教学模式。教师的教法教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。学生的学法学生的学法突出探究、发现与交流。三、过程设计三、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：创设情景创设情景公式应用与公式应用与探究等差数列探究等差数列提出问题提出问题（2 2 分钟）分钟）图片欣赏图片欣赏数形结合数形结合新课引入新课引入类比化归类比化归前后呼应前后呼应公式应用公式应

4、用前前 n n 项和公式项和公式（1818 分钟）分钟）议练活动议练活动（1 1）（5 5 分钟）分钟）归纳总结归纳总结2 2 分钟）分钟）（公式应用与公式应用与议练活动议练活动（2 2）（9 9 分钟）分钟）公式的认识公式的认识与理解与理解（4 4 分钟）分钟）前后呼应前后呼应知识回顾知识回顾四、教学过程四、教学过程教学教学环节环节教教 师师 活活 动动学学 生生 活活 动动活活动动说说明明模型直观用 实 际生 活 引入课。新新新课课引引入入创设情境：创设情境：问题 1：首先让学生欣赏一幅美丽的图片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有 1

5、00 层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算 1+2+3+.+100=？现实模型：现实模型：问题 2：一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一 图片欣赏层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层 生活实例多放一支，最上面一层放 100 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔？问题就是 求“1+2+3+4+100=？”探探索索公公式式首先认识一位伟大的数学家高斯，学 生：1+100=101，高斯求然后提出问题：高斯是如何快速计算 1+2+32+99=101，.50+51=101+4+.+100？，所以原式=50（1+101）和众所=5050周知，设等差数列an前 n 项和为

6、Sn,则学生学生：将首末两项配对，第学生能Sn a1 a2 an1 an二项与倒数第二项配对，以快速解问题问题 1 1老师老师：利用高斯算法如何求等差数列的前 n此类推，每一对的和都相答。项和公式？等，并且都等于a1 an。这里老师老师：但是否刚好配对成功呢？用到了（1）n 为偶数时：学生学生：不一定，需要对n 取等差数Sn a1 an an an列脚标1值的奇偶进行讨论。22和性质当 n 为偶数时刚好配从 高斯算法对成功。出发，S n(a a)对 n 进n1n2行讨论（2）n 为奇数时：寻找求1an1an1an1anSn a和公式11当 n 为奇数时，中间的222思路自一项an1落单了。然，

7、学2生容易想到。对 中间项老师：老师：那么该如何解决落单的an1呢？（可能部分学生在此会遇a2n 1n1S(a a)a到困难，老师做适当的引1nn12的n22导。）an1an1学生：学生：观察an1的脚标与解决办2n1(a a)2法的过1n222a1 an脚标的关系，即：程中，n(a a)进一步1nan1an12a1an22让学生an1同过对 n 取值的讨论，得到了前 n22体会研n2项和求和公式：Sn(a1an)究数列2就是对但是对 n 讨论麻烦了，能否有更好的脚标数方法求前 n 项和公式呢？接下来给出实际学的研问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场学生观察动画演示，不究。难发现用倒置的思想

8、来解的木头根数呢？问题问题 2 2：如何用倒置的思想求等差数列前 n决此问题。项和呢？方法一：方法一：倒序相Sn a1a2 an1 an（由上一问题的解决，学生加求和探探索索公公式式议议练练活活动动容易想到倒序相加求和法。）Sn an an1 a2 a1学生：学生：利用倒序相加求和法。两式相加得：2S n(a a)n1nnSn(a1an)2方法二方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：Sn a1(a1d).a1(n1)d将Sn中的每一项用等Sn an(and).an(n1)d差数列的通项公式进行巧两式相加得：2S n(a a)妙的改写，在倒序相加求和n1n时，每一组中的 d 都被正负n

9、公式抵消了。1：Sn(a1 an)2引导学生带入等差数列的通项公式，换掉an整理得到公式 2。学生类比方法一与方法二的联系与区别。n(n 1)：Sn na1d公式22例 1：计算（1）1+2+3+n（2）1+3+5+(2n-1)（3）2+4+6+2n（4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n学生自己阅读教材，体教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的会教材的解法是如何运用解释。求和公式。问题问题 3 3：能否给求和公式一个几何解释呢？观察多媒体课件演示。教师提示将求和公式与梯形建立联系。n(a1 an)公式1:Sn2学生学生：要求总还款额实际就a1an是对一个等差数列求和。ana1法

10、是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n 项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题提出问题解决问题”的过程通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活认认识识公公式式议议练练活活a1n(n 1)公式2：Sn na1d2na1(n 1)dan a1(n 1)d剖析公式：剖析公式：n(a1an)公式1Sn2n(n1)公式2S na dn12通项公式：an a1(n1)d教师提示，从方程中量的关系入手。例例 2 2等差数列等差数列-10-10，-6-6，-2-2，2 2，前多前多少项的和为少项的和为 5454？学生：学生：将求和公式与梯

11、形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。学生：学生：同样将公式 2 与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。学生讨论：学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。例 2 在解决了例 1 的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，解：设题中的等差数列是an，前 n 项和为Sn：学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式 2 进行则a110，d6（10）4运算，利用了方程的思想。令Sn54，由等差数列前

12、n 项和公式，得：需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n(n1)n 的值后未把 n=-3 舍去。10n4354.n1解得9，n2（舍去）2因此,等差数列的前 9 项和是 54动动课课堂堂总总结结例例 3 3：在等差数列an 中(1)已知:a2 a5 a12 a15 36,求S16(2)已知：a6 20,求S11体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和a1 a16 a2 a1518学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进16(a1 a16)S16144行分析。不少小组首先对已

13、2知条件作转化，希望能通过(a1a11)11（2）S11解方程求出首项和公差，但2发现条件不够，不能解出这2a611些基本量，教师做适当的引 2202导。本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容2、课后作业：课后作业：教材 45 页：1、2、3课后思考：课后思考：本环节由学生自主归等差数列的前 n 项和的求和方法除纳、总结本节课所学习的主了倒序相加法还有没有其它方法呢?要内容，教师加以补充说3、对求和史的了解明我国数列求和的概念起源很早，在北（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究朝时，张

14、丘建始创等差数列求和解法。他在方法.张丘建算经中给出等差数列求和问题：（2）体会等差数列的基倒序相加的例如：今有女子不善织布，每天所织的布以本元表示方法，算法，及数形结合的数学思同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共想.（3）掌握等差数列的两织三十日，问共织几何？原书的解法是：个求和公式及简单应用。“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。”解：（1）a2 a15 a5 a12 a1 a16了解我国古代研究等差数学文数列求和的情况。化。板书设计：板书设计：3.33.3 等差数列前等差数列前 n n 项和项和一、一、等差数列前等差数列前 n n 项和项和二、公式的推导二、公式的推导方法方法 1 1：方法方法 2 2：方法方法 3 3：三、剖析公式：三、剖析公式：公式公式 1 1：公式公式 2 2：(主板书主板书)四、例题及解答四、例题及解答议练活动议练活动(副板书副板书)(辅助性板书辅助性板书)