高一数学竞赛训练题.pdf

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1、高一数学竞赛训练题高一数学竞赛训练题(一一)1.函数f(x)3log2x4 x1的值域是2若a,b,c是三个互不相等的实数，且满足关系式b2c2 2a216a14,bc a24a5，则a的取值范围是3.若a,b是正实数，且a b 2，则x11的最小值是1a1bx4.已知0.8 x 0.9，若将x,xx,xx按从小到大的顺序排列，应当是x xx xx,5.,是关于x的方程x22(m1)xm24 0的两个实根，设y 22，则y f(m)的解析式是，值域是6.方程x2log16x 0的解是;使不等式x2logmx 0在(0,)上恒成立的m的取值范围是7.若函数f(x)loga(x22ax12a2)(

2、a 0,a 1)在 R 上的最大值是 2，则a=，12f(x)的单调递增区间是。558设x1,x2,x3是方程x3 x1 0的三个根，则x15 x2的值为 x3x1的值域为x2 4x710函数f(x)ln|x 1|x 3的零点个数为（）9函数f(x)A0B1C2D311设S x2 2xy 2y2 2x 1，其中xR,yR，则S的最小值为（）A13B1 CD04（x）+f（4 x）=0与12已知定义域为R的函数y f(x)对任意x R都满足条件ff（x 2）f（x 2）=0，则对函数y f(x)，下列结论中必定正确的是y f(x)是 奇 函 数；y f(x)是 偶 函 数；y f(x)是 周 期

3、 函 数；y f(x)的图象是轴对称的（x）f(x 1)（f 5 x）（x）13y f(x)是定义域为R的函数，g，若函数y g有且仅有 4个不同的零点，则这 4 个零点之和为14已知函数y f(n)满足：f(1)为正整数，f(n),f(n1)23f(n)1,f(n)为偶数,f(n)为奇数,如果f(1)f(2)f(3)29，则f(1)15 设f(x)loga(x2a)loga(x3a)，其中a 0且a 1 若在区间a 3,a 4上f(x)1恒成立，求a的取值范围16 设函数f(x)x2bx 3，对于给定的实数b，f(x)在区间b 2,b 2上有最大值M(b)和最小值m(b)，记g(b)M(b)

4、m(b)求g(b)的解析式；问b为何值时，g(b)有最小值？并求出g(b)的最小值（0 a 1）17.定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件：存在常数a，使得f(a)1；对任意实数m,当xR时，有f(xm)mf(x)求证：对于任意正数x,y，f(xy)f(x)f(y)；证明：f(x)在正实数集上单调递减；8若不等式f log23恒成立，求实数a的取值范围a4 x2 f loga(4 x)参考答案1.(,12.(1,)3.14.15.f(m)2m 8m1225m,4,)28.5 9.0,610 D11B.12.13.8 14.562bb2b16 解：f(x)x 3，抛物线开口向上，其对称轴方

5、程为x ，下面就对称242轴与区间b 2,b 2端点的相对位置分段讨论：.1 分b4bb 当0 b 时，b2 b 2且(b 2)(b 2)，23229b2此时M(b)f(b 2)2b 6b 1，m(b)3g(b)b26b 43 分44b4bb 当b 0时，b2 b 2且(b 2)(b 2)，232229b2此时M(b)f(b 2)2b 6b 1，m(b)3g(b)b26b 45 分444b当b 时，b2，f(x)在区间b 2,b 2上递增，322此时M(b)f(b 2)2b26b 1，m(b)f(b 2)2b26b 1g(b)12b7分4b当b 时，b 2，f(x)在区间b 2,b 2上递减，

6、32此时M(b)f(b 2)2b26b 1，m(b)f(b 2)2b2 6b 1g(b)12b9分综上所得412b,b ;39b26b 4,4 b 0;43g(b)10 分94b2 6b 4,0 b;43412b,b.344当b 时，g(b)12b g16；11分3349当b 0时，g(b)b26b 4递减，g(b)g(0)4；.13 分3449时，g(b)b26b 4递增，g(b)g(0)4；.15 分344 4当b 时，g(b)12b g16.16 分33当0 b 综上所述，当b 0时，g(b)min 4.17 分17证明：x,y均为正数，且0 a 1，根据指数函数性质可知，总有实数m,n

7、使得x am,y an，于是fxy f aman f amnm nfa m n，.2 分又fx fy f(am)f(an)mf(a)nf(a)m n，f(xy)f(x)f(y).5 分证明：任设x1,x2R,x1 x2，可令x1 x2tt 1，t a(0).7 分则由知fx1 fx2 fx2t fx2 fx2 ft fx2.9 分 ft fafa 0，即fx1 fx2f(x)在正实数集上单调递减；.10 分解：令loga(4 x)t，原不等式化为f t22 f8t3，其中t 0 x f(x)f(y)f(x)f(y1)f且f(a)1(0 a 1)，yt2 23不等式可进一步化为f fa，.12

8、分8tt22又由于单调递减，a3对于t 0恒成立.13 分8t2t2 2121，.15 分t 2 2而2 28t8tt2 21且当t 2时.16 分8tmin2 2a312 2，又0 a 1，终得0 a 222.18 分25a2a2解f(x)loga(x 5ax6a)loga(x)24由5a3x2a 0,3(a2)0，得x 3a，由题意知a33a，故a，从而(a3)x3a 0,2225a2a2故函数g(x)(x)在区间a 3,a 4上单调递增.24-5分（1）若0 a 1，则f(x)在区间a 3,a 4上单调递减，所以f(x)在区间a 3,a 4上的最大值为f(a3)loga(2a29a9)在区间a 3,a 4上不等式f(x)1恒成立，等价于不等式loga(2a29a9)1成立，从而2a29a 9 a，解得a 5757或a 22结合0 a 1得0 a 1-10分（2）若1 a 3，则f(x)在区间a 3,a 4上单调递增，所以f(x)在区间a 3,a 4上的2最大值为f(a4)loga(2a212a16).在区间a 3,a 4上不等式f(x)1恒成立，等价于不等式loga(2a212a16)1成立，从而2a212a 16 a，即2a213a 16 0，解得13411341 a 4413413，所以不符42合-15分易知综上可知：a的取值范围为(0,1)-20分