数学-高一数学竞赛辅导检测.pdf

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1、打印版 打印版 ABCQRSP高一数学竞赛辅导检测题（时间 120 分钟）一、填空题（8 864）1已知2(1cos)sinfxx，则()f x _ 2已知函数2()1f xxx，则函数()f x的值域是_ 3 关于x的方程240 xmx在 1,1x 上有解，则m的取值范围是_ 4ABC中，O是外心，H为垂心，那么下列式子正确的序号是_ 2CHOAAB；2BHCAOC；OHBOCOAO；0AOBOCO 5有 11 名外语翻译人员，其中 5 名英语翻译员，4 名日语翻译员，另两名英、日都精通，从中找出 8 人，使他们组成两个翻译小组，其中 4 人翻译英文，另 4 人翻译日文，这两个小组能同时工作

2、，则这样的分配名单共可开出_张 6有 6 本不同的书，全部借给 3 人，每人至少 1 本，共有_种不同的借法 7设有编号为 1、2、3、4、5 的五个球和编号为 1、2、3、4、5 的盒子，将五个球投入五个盒内，要求每个盒内放一个球，且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数是_ 8设n为奇数，则112217777nnnnnnnCCC被 9 除的余数是_ 二、解答题（2424242496）9 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BCa，ABC，设ABC的面积为1S，正方形的面积为2S；（1

3、）用a，表示1S和2S；（2）当a固定，变化时，求12SS取最小值时的角的大小 解：打印版 打印版 MFEDCBA 10如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点；（1）求证：AM平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60 解：11如图，,BD CE是ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是ABC的外心；求证：AOFG OFGEDCBA 打印版 打印版 12设正整数d不等于 2，5，13，证明在集合2,5,13,d中可以找到两个元素a，b，使得1ab 不是完全平方数 打印版

4、打印版 参考答案 一、填空题（8 864）1已知2(1cos)sinfxx，则()f x _ 答案：2()2 (02)f xxxx 2已知函数2()1f xxx，则函数()f x的值域是_ 答案：利用三角换元和奇函数性质，考虑0 x的情形，令cosx，值域是11,22 3 关于x的方程240 xmx在 1,1x 上有解，则m的取值范围是_ 答案：当0 x，不适合；当0 x，变形为4mxx，可得范围是(,55,)4ABC中，O是外心，H为垂心，那么下列式子正确的序号是_ 2CHOAAB；2BHCAOC；OHBOCOAO；0AOBOCO 答案：欧拉线，正确的只有 5有 11 名外语翻译人员，其中

5、5 名英语翻译员，4 名日语翻译员，另两名英、日都精通，从中找出 8 人，使他们组成两个翻译小组，其中 4 人翻译英文，另 4 人翻译日文，这两个小组能同时工作，则这样的分配名单共可开出_张 答案：按多面手参与的情况进行分类：共有：441344132244221313542545242545242514185C CC C CC C CC C CC C CC C C C种 6有 6 本不同的书，全部借给 3 人，每人至少 1 本，共有_种不同的借法 答案：共有：4112223236216426332323()540C C CC C CC CAAA种 7设有编号为 1、2、3、4、5 的五个球和编

6、号为 1、2、3、4、5 的盒子，将五个球投入五个盒内，要求每个盒内放一个球，且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数是_ 答案：215220C A 打印版 打印版 ABCQRSP8设n为奇数，则112217777nnnnnnnCCC被 9 除的余数是_ 答案：1122177771 1(17)1(91)1nnnnnnnnnCCC ，故余数是 7 二、解答题（2424242496）9 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BCa，ABC，设ABC的面积为1S，正方形的面积为2S；（1）用a，

7、表示1S和2S；（2）当a固定，变化时，求12SS取最小值时的角的大小 解（1）sin,cosACaABa；22111sincossin224Saa；设正方形边长为x，则cot,tanBQxRCx；cottanxxxa；sincossin2cottan11sincos2sin2aaax；22222sin2sin 2()2sin24sin 24sin2aaS（2）当a固定，变化时，22122211sin2(1sin2)1442(sin24)1sin24 sin2sin241(1sin2)2aSSa；令sin2t，则1214(4)4StSt；0,012t ；令4()f ttt，任取12,(0,1t

8、 t，且12tt，121 21212121212121 24()(4)44()()()()()ttt tf tf tttttttttttt t；121 21 2120,01,40,()()0ttt tt tf tf t，4()f ttt 在(0,1是减函数1t 时，12SS取最小值，此时4 打印版 打印版 MFEDCBA 10如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点；（1）求证：AM平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60 解：（1）记AC与BD交于点O，连结OE；O、M分别是AC

9、、EF的中点，ACEF是矩形；四边形AOEM是平行四边形；AMOE，OE 平面BDE，AM 平面BED；AM平面BDE （2）ABAFABAD，ADAFA；AB 平面ADF，作ASDF于S，连BS，易得BSDF；BSA是二面角ADFB的平面角；在Rt ASB中，63AS，2AB；tan3ASB，60ASB；二面角ADFB的大小为60 （3）设 (02)CPtt，作PQAB于Q，则PQAD；PQAB，PQAF，ABAFA；PQ平面ABF，PQQF；在Rt PQF中，60FPQ，2PFPQ；PAQ为等腰直角三角形，2(2)2PQt；又PAF为直角三角形，222(2)1(2)1PFtt；22(2)1

10、2(2)2tt；1t 或3t（舍）；即点P是AC的中点 11如图，,BD CE是ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是ABC的外心；打印版 打印版 求证：AOFG OFGEDCBA HABCDEGFO 证明：如图，连结GD和GE，90BDCBEC，BGBC；12DGBCEG，又DFEF，DFDE；延长OA交DE于H，连结OB；90BDCBEC，,B C E D四点共圆；12DEBDCBAOB，即12AEHAOB；又OAOB，1902EAHBAOAOB，90EAHAEH；于是，ADDE，即OADE，AOFG 12设正整数d不等于 2，5，13，证明在集合2,5,13,d中可以找到两个元素a，b，使得1ab 不是完全平方数 解：由于22 5 13 ，22 13 15，25 13 18，因此，只须证明21,51,131ddd中至少有一个不是完全平方数即可 用反证法：假设它们都是完全平方数，令221dx ，251dy ，2131dz ，,*x y zN；由知：x是奇数，设21xk，221(21)dk 即2221dkk，d也是奇数；因此，由和知：y、z均是偶数；设2ym，2zn，代入和，相减，除以 4 得：222()()dnmnm nm；从而，22nm为偶数，n、m必同是偶数，这样2d是 4 的倍数，即d是偶数，这与上打印版 打印版 述矛盾；故命题得证