导数压轴题训练.pdf

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1、导数导数 压轴题训练压轴题训练1（2014 湖南）.22（2014 湖南）.已知常数a(1)讨论(2)若0,函数fx ln1ax2x.x2fx在区间0,上的单调性;fx存在两个极值点x1,x2,且fx1 fx20,求a的取值范围.fx求导可得2【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数ax241 axax241aa4f x221axx221 axx 21axx 2,因为1axx2递增,当a 1时,2 0,所以当1a 0时,即a 1时,f x 0恒成立,则函数fx在0,单调2 a1aa,则函数f x 0 x 2 a1a单调递减,在fx在区间0,a2 a1a单调递增的.a(2)解:(1)对函数

2、fx求导可得ax241 axax241aa4f x2221axx21 axx 21axx 22,因为1axx2递增,当a 1时,2 0,所以当1a 0时,即a 1时,f x 0恒成立,则函数fx在0,单调2 a1aa,则函数f x 0 x 2 a1a单调递减,fx在区间0,a2 a1a在单调递增的.a2.（20）（2014江苏）江苏）（本小题满分本小题满分1414分分）已知函数f xxaexaR，xR.已知函数yf x有两个零点x1,x2，且x1x2.（）求a的取值范围；（）证明x2x1随着a的减小而增大；（）证明x1x2随着a的减小而增大.（2014四川卷）21（2014四川卷）已知函数f(

3、x)exax2bx1，其中a,bR，e 2.71828为自然对数的底数。（1）设g(x)是函数（2）若f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围解：（1）因为f(x)exax2bx1所以g(x)f(x)ex2axb又g(x)ex2ax因为x0,1，1 e若a e所以：1x，则2a 1，g(x)e 2a 0，2所以函数g(x)在区间0,1上单增，gmin(x)若 g(0)1b1e a，则1 2a e，22x ln(2a)时g(x)ex2a 0，当ln(2a)x 1时g(x)ex2a 0，于是当0 所以函数g(x)在区间

4、0,ln(2a)上单减，在区间ln(2a),1上单增，gmin(x)gln(2a)2a2aln(2a)b若a ex，则2a e，g(x)e 2a 02所以函数g(x)在区间0,1上单减，gmin(x)g(1)e2ab11b,a,21e a,综上：g(x)在区间0,1上的最小值为gmin(x)2a2aln(2a)b,22ee2ab,a,2（2）由若函数f(1)0eab1 0b ea1，又f(0)0f(x)在区间(0,1)内有零点，则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间由（1）知当a 1e或a 时，函数g(x)即f(x)在区间0,1上单调，不可能满足“函数f(x)22在区间(0,1)内

5、至少有三个单调区间”这一要求。若1e a，则gmin(x)2a2aln(2a)b 3a2aln(2a)e1223x xln xe1（1 x e）211ln x。由h(x)ln x 0 x e22令h(x)则h(x)所以h(x)在区间(1,e)上单增，在区间(e,e)上单减3e e lne e1e e1 0即gmin(x)0恒成立2hmax(x)h(e)于是，函数g(0)2ea 0a e2f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间g(1)a1 0a 1又1e a 所以e2 a 122综上，a的取值范围为(e2,1)3.（2014陕西卷）.（本小题满分14分）设函数是f(x)ln(1 x),g(

6、x)xf(x),x 0，其中f(x)f(x)的导函数.g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN，求gn(x)的表达式；f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；（2）若（3）设n N，比较g(1)g(2)g(n)与n f(n)的大小，并加以证明.21.2x4.【2014年重庆卷（理20）】已知函数f(x)aebe2xcx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线y f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4c.（1）确定a,b的值；（2）若c 3，判断f(x)的单调性；（3）若f(x)有极值，求c的取值范围.解：（1）f(x)2ae 2be2xc，由f(x)f(x)恒成

7、立知：2ae2x 2be2xc 2ae2x 2be2xc (2a 2b)e4x(2b 2a)0，故a b2x另外f(0)2a 2bc 4c a b 2联立解出a b 1 2e2x3 2(exex)21 0，故f(x)单调递增。2x2xc 0有非最值解，设t e2x 0，则等价于（3）等价于f(x)2e 2e22方程2t c在t 0时有非最值解，由双钩函数知：2t 4,)tt所以c 4，故c的取值范围为(4,)（2）此时f(x)2e5.（2014山东）.(本小题满分13分）设函数然对数的底数）（I）当k2xex2fx2k(ln x)（k为常数，e 2.71828xx是自0时，求函数fx的单调区间

8、；（II）若函数fx在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。exx22xex21解：（1）f(x)k()42xxxx(x2)(e kx)(x 0)3x当k 0时，kx 0,exkx 0令f(x)0,则x 2当x(0,2)时，f(x)单调递减；当x(2,)时，f(x)单调递增。（2）令gx exkx则g(x)exkex k,x lnkg(0)1k 0,g(0)1 0e2g(2)e k 0,g2 e 2k 0k 2glnk elnkklnk 0lnk 1k ee2综上:e的取值范围为（e,）。222bex16.（2014年课标I）(本小题满分12分)设函数f(x0 ae ln x，曲线y f(x

9、)在点（1，xf(1)）处的切线为y e(x1)2.（I）求a,b；（）证明：f(x)1.x请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。【解析】()设Fc,0，由条件知22 3，得c 3c3又c3，a2x2所以a=2，b a c 1,故E的方程 y21.6分4（）依题意当l x轴不合题意，故设直线l：y kx2，设Px1,y1,Qx2,y2222x2将y kx 2代入 y21，得14k2x216kx12 0，48k 2 4k233当 16(4k 3)0，即k 时，x1,2214k422从而4 k214k23PQ k 1 x1 x214k22又点O到直线PQ的距离d 2k 12，所以OPQ的面积SOPQ14 4k23d PQ 214k2，设4k23 t，则t 0，SOPQ4t41，24t 4t t当且仅当t7时等号成立，且满足 0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：277y x2或y x2.12分22 2，k