2022年导数压轴题 .pdf

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1、导数压轴题9(能力挑战题 )设 f(x)ex1ax2，其中 a 为正实数(1)当 a43时，求 f(x)的极值点(2)若 f(x)为12，32上的单调函数，求a 的取值范围解析 f(x)ax22ax1 ex1ax2 2，(1)当 a43时，若 f(x)0，则 4x28x30? x112，x232，x ，121212，323232，f(x)00f(x)极大值极小值 x112是极大值点， x232是极小值点(2)记 g(x)ax22ax1，则g(x)a(x1)21a， f(x)为12，32上的单调函数，则f(x)在12，32上不变号，ex1ax2 20， g(x)0 或 g(x)0 对 x12，3

2、2恒成立，又 g(x)的对称轴为 x1，故 g(x)的最小值为 g(1)，最大值为 g12. 由 g(1)0 或 g120? 0a1 或 a43， a 的取值范围是 0a1 或 a43. 10(能力挑战题 )函数 f(x)xln xax2x(aR)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - (1)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，求a 的值(2)若函数 f(x)的图象在直线 yx 图象的下方，求 a 的取值范围(3)求

3、证： 2 0132 0122 0122 013. 解析(1)函数定义域为 (0，)，f(x)ln x2ax， f(x)在 x1 处取得极值， f(1)0，即 2a0，a0. f(x)ln x，当 x(0,1)时，f(x)0， f(x)在 x1 处取得极值(2)由题意，得 xln xax2xx， xln xax2ln xx. 设 h(x)ln xx，则 h(x)1ln xx2. 令 h(x)0，得 0 xe， h(x)在(0，e)上为增函数；令 h(x)e， h(x)在(e，)上为减函数 h(x)maxh(e)1e， a1e. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

4、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - (3)由(2)知 h(x)ln xx在(e，)上为减函数， h(x)h(x1)，ln xxln x1x1. (x1)ln xxln(x1)， ln xx1ln(x1)x， xx1(x1)x. 令 x2 012，得 2 0122 0132 0132 012. 11已知函数 f(x)ln(1x)ax1x(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若数列 am 的通项公式am112 0132m12 013(mN*)，求证：a1 a2 am0，a1x

5、20，所以 f(x)0，即函数 f(x)的增区间为 (1,1)，(1，)，无减区间；当 a0 时，f(x)11xa1x2x2 2a x1a1x 1x2，由 f(x)0，得 x2(2a)x1a0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 此方程的两根 x1a2a28a2， x2a2a28a2， 其中 1x110，所以 f(x)0? 1xx2，f(x)0? x1x1 或 1x0 时，函数 f(x)的增区间为 (1，x1)，(

6、x2，)，减区间为 (x1,1)，(1，x2)，其中 x1a2a28a2，x2a2a28a2. (2)当 a1 时，由 (1)知，函数 f(x)ln(1x)x1x在(0,1)上为减函数，则当 0 x1 时，f(x)ln(1x)x1xf(0)0，即 ln(1x)x1x，令 x12 0132m1(mN*)，则ln 112 0132m112 0132m，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12已知函数 f(x)x22a3

7、ln(xaa2)，aR 且 a0. (1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a0时，若 a2ax1x2a2a，证明：f x2f x1x2x10，因为 xaa20，故(xa)(xa2)0. 当 a0 时，因 aa2a 且 aa2a2，所以上面不等式的解集为 (aa2，)，从而此时函数 f(x)在(aa2，)上单调递增当 a0 时，因 aaa2a2，所以上面不等式的解集为(a2，)，从而此时函数 f(x)在(a2，)上单调递增，同理此时f(x)在(aa2，a2上单调递减(2)证法一：要证原不等式成立，只需证明f(x2)f(x1)(x2x1)a22a ，只需证明 f(x2)a22a x2f(x1

8、)a22a x1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 因为 a2ax1x20，我们考察函数 g(x)x232a2xa42a32a2，x(a2a，a2a)因a2aa2a2a2x对称轴3a24，且3a24a2a，所以 g(x)g(a2a)0. 从而知 h(x)0 在 x(a2a，a2a)上恒成立，所以函数 h(x)f(x)a22a x 在 x(a2a，a2a)内单调递减从而原命题成立证法二：要证原不等式成立，只需证明

9、 f(x2)f(x1)(x2x1)a22a ，只需证明 f(x2)a22a x2f(x1)a22a x1. 又 a2ax1x2a2a，设 g(x)f(x)a22a x，则欲证原不等式只需证明函数g(x)f(x)a22a x 在 x(a2a， a2a)内单调递减由(1)可知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - g(x)f(x)a22axa3xaa2a22axaa2a3xaa2aa2a22a . 因为 a0，所以 yxa

10、a2a3xaa2在(a2a，a2a)上为增函数，所以 g(x)g(a2a) a2aaa2a3a2aaa2aa2a22a 0. 从而知 g(x)0；当 x4(2k ，2k 2)，即 x 2k 34，2k 74时，f(x)0，x 0，2，所以 h(x)在 0，2上为增函数，所以 h(x)1，e 对 k分类讨论：当 k1 时，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在 0，2上为增函数，所以 g(x)ming(0)0，即 g(x)0 恒成立；当 1ke 时，g(x)0 在1，e 上有实根 x0，因为 h(x)在 0，2上为增函数，所以当 x(0，x0)时，g(x)0，所以 g(x0)g(0)0，不符合题意

11、；当 ke 时，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在 0，2上为减函数，则 g(x)0，恒有 f(x)0，求 p 的取值范围；(3)证明：ln 222ln 332ln nn20，f(x)在(0，)上无极值点；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 当 p0 时，令 f(x)0， x1p(0，)，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x 0，1p1p1p，f(x)0f(x)递增极大值递减从上表可以看出：当 p0 时

12、，f(x)有唯一的极大值，当 x1p时，f(x)ln p；即函数 f(x)的极值点是 1p，ln p . (2)当 p0时，在 x1p处取得极大值 f1pln 1p，此极大值也是最大值，要使 f(x)0 恒成立，只需 f1pln 1p0； p1，p 的取值范围为 1，)(3)令 p1，由(2)知，ln xx10， ln xx1， nN，n2，ln n2n21，ln n2n2n21n211n2，ln 222ln 332ln nn212ln 2222ln 3232ln n2n2121122 1132 11n212n1 1221321n2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

13、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12(n1)121231341n n112(n1)112 n12n2n14 n1(nN，n2)，得证10(2014 银川模拟 )已知函数 f(x)axbx21在点 M(1，f(1)处的切线方程为xy10. (1)求 f(x)的解析式(2)设函数 g(x)ln x，证明： g(x)f(x)对 x1， )恒成立解析(1)将 x1 代入切线方程得 f(1)0，又 f(1)ab2，化简得 ab0.f(x)a x21 axb 2x1x2 2，f(1

14、)2a2 ab42b4b2，由 f(1)1 得b21.由解得： a2，b2，所以 f(x)2x2x21. (2)要证 ln x2x2x21在1，)上恒成立，即证(x21)ln x2x2 在1，)上恒成立，即证 x2ln xln x2x20 在1，)上恒成立设 h(x)x2ln xln x2x2，h(x)2xln xx1x2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - x1，2xln x0，x1x2，即 h(x)0. h

15、(x)在1，)上单调递增， h(x)h(1)0， g(x)f(x)在 x1，)上恒成立11(2014 河北质检 )已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x)f(x)axm在1e，e 上有两个零点， 求实数 m 的取值范围；(3)若函数 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，且 0 x1x2，求证： fx1x220(其中 f(x)是 f(x)的导函数 )解析(1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率 kf(1)2，则切线

16、方程为 y12(x1)，即 y2x1. (2)g(x)2ln xx2m，则 g(x)2x2x2 x1 x1x， x1e，e ，当g(x)0 时，x1.当1ex0；当 1xe时，g(x)0. 故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)m1. 又 g1em21e2，g(e)m2e2，g(e)g1e4e21e20，则 g(e)0，g1em21e20，解得 1m21e2，实数m的取值范围是1，21e2. (3) f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点A(x1,0)，B(x2,0)，方程2ln xx2ax0 的两个根为 x1，x2，则2ln x1x21ax10，2ln x2x22ax20，两式相减得

17、 a(x1x2)2 ln x1ln x2x1x2.又 f(x)2ln xx2ax，f(x)2x2xa，则fx1x224x1x2(x1x2)a4x1x22 ln x1ln x2x1x2. 下证4x1x22 ln x1ln x2x1x20(*)，即证明2 x2x1x1x2ln x1x20，设 tx1x2，0 x1x2， 0t1，即证明 u(t)2 1tt1ln t0 在 0t1上恒成立 u(t)2 t1 2 1tt121t1t4t12t12t t12， 又 0t0， u(t)在(0,1)上是增函数，则 u(t)u(1)0，从而知2 x2x1x1x2lnx1x20，故(*)式成立，即 fx1x22l

18、n(n1)都成立(3)是否存在实数 a(a0)， 使得方程2g x1xf(x)(4a1)在区间1e，e 内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出 a 的取值范围； 若不存在， 请说明理由解析(1)F(x)1x12x1x 2x3x1，当 x(1,0)时，F(x)0，x(0，)时，F(x)0， x0 是 F(x)在(1，)上唯一的极大值点，从而当 x0 时，F(x)取得最大值F(0)0. (2)由(1)知? x(0， )，F(x)0，即 ln(x1)x2x，令 x1n得 ln1n1 1n21n，即 ln(n1)ln nn1n2， ln 2ln 12，ln 3ln 234，ln(n1)ln nn

19、1n2， ln(n1)ln 1ln(n1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - (3)把方程2g x1xf(x)(4a1)整理为ax2(12a)xln x0. 设 H(x)ax2(12a)xln x(x0)，原方程在区间1e，e 内有且只有两个不相等的实数根，即函数H(x)在区间1e，e 内有且只有两个零点H(x)2ax(12a)1x2ax2 12a x1x2ax1 x1x，令 H(x)0，因为 a0，解得 x1

20、或 x12a(舍)，当 x(0,1)时，H(x)0，H(x)是增函数， H(x)在1e，e 内有且只有两个不相等的零点，只需H1e0，H xmin0，即ae212ae112a eae2e20，H 1 a 12a 1a0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - a1，a1ee22e，解得 1a0. 令 g120 或0112a0，g120，则 0a2.即 a 的取值范围是 (0,2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

21、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - (2)由(1)得：f(x)ax2 2a1 xax x12，设 ax2(2a1)xa0(0a2)的两根为 ， ，则 21a， 1解得 0 1220，函数 f(x)单调递增；当 x ，12和(2， )时，f(x)ax2 2a1 xax x122 则h(x)x12x20，则函数 h(x)单调递增， h(x)h(2)2ln 232， ln 2 12ln 2320. a12，2 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 则 a ln 2 1ln 234， f(x1)f(x2)ln 234. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -