专题复习：平面向量.doc

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1、平面向量【考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,

2、向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；4.两个向量夹角的范围是:;5.向量的

3、数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.【考点在线】考点一 向量概念及运算例1.(2011年高考山东卷理科12)设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，(R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，dR)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D考点二 平面向量的数量积例2.（2011年高考海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则 .

4、【答案】1【解析】由题意知,即,所以,因为与不共线,所以,即k=1.【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.练习2: (2011年高考安徽卷文科14)已知向量a，b满足（a+2b）（a-b）=6，且，则a与b的夹角为 .【答案】【解析】，则，即，所以，所以.考点三 向量与三角函数等知识的综合例3. （2009年高考江苏卷第15题）设向量 （1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算

5、和证明得基本能力.【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.练习3: （2009年高考广东卷A文科第16题）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值【解析】（）,即又, ,即,又,(2) , ,即 又 , w 【易错专区】1.（2011年高考全国卷文科3)设向量满足|=|=1, ,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】故选B2.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a（2a-b）=0，则k=（ ）（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12【答案】D【解析】由题意，得2a-b =（5，2-k），a（2a-b）=25

6、+2-k=0，所以k=12.3. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，=( )(A)0 (B) (C) (D)【答案】D【解析】.4（ 2010年高考全国卷文科11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】如图所示：设PA=PB=,APO=,则APB=，PO=，=，令，则，即，由是实数，所以，解得或.故.此时.5（2010年高考全国卷文科10）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=( )（A）a + b （B）a +b （C）

7、a +b （D）a +b【答案】B【解析】 CD为角平分线， ， ， ， 6（2010年高考四川卷文科6）设点是线段的中点，点在直线外， ，则( )（A）8 （B）4 （C）2 （D）1【答案】C【解析】由16，得|BC|4,4而,故2.7（2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量，的夹角为，若向量，则=_.【答案】-6【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+4）=,其中=1，=1*1*=，带入，原式=3*12*8*1=6.8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则ab等于_.【答案】1【解析】因为向量a=（1,1），b（-1,

8、2），所以ab等于1.9（2011年高考湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反，则的坐标为 【答案】【解析】由题，所以10.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量、满足，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角取值范围是 .【答案】0,解得.【高考冲策演练】一、选择题：1.（2010年高考山东卷文科12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是( )(A)若a与b共线，则(B)(C)对任意的，有(D) 【答案】B【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，故选B。2（2010年高考天津卷文科9）如图，在ABC中，则=( )（A） （B

9、） （C） （D）【答案】D【解析】=，故选D。3（2010年高考福建卷文科8）若向量，则“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由得，所以；反之，由可得。4（2010年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。5（2010年高考北京卷理科6）a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的(

10、)（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则有不一定是一次函数（当时不是一次函数）；反之，成立，故选B。6(2010年高考安徽卷文科3)设向量,则下列结论中正确的是( )(A) (B)(C) (D)与垂直【答案】D【解析】，所以与垂直.7（2010年高考辽宁卷文科8）平面上三点不共线，设,则的面积等于 ( )KS*5U.C#（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】 8.(2010年高考宁夏卷文科2)a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于( ) （A） （B） （C）

11、（D）【答案】C 解析：由已知得，所以9（2010年高考广东卷文科5）若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)满足条件 (8【解析】，所以=6.11（2010年高考湖北卷文科8）已知和点M满足.若存在实使得成立，则=( )A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由知，点M为的重心，设点D为底边BC的中点，则=，所以有，故=3，选B。12（2010年高考湖南卷文科6）若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为( )A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500【答案】C二、填空题：13(2010年高考江西卷文科13)已知向量，满足，与的夹角为60，则在上的投影是 【答案】1【解

12、析】14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量则的值是 。【答案】16（2010年高考陕西卷理科11）已知向量，若，则.【答案】-1【解析】，由得.三解答题：17（2010年高考江苏卷试题15）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1).(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足()=0，求t的值。【解析】（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、.（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两

13、条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，。由()=0，得：，从而所以。或者：，18（2010年高考福建卷文科18）设平顶向量 （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4. （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。19（2009年高考湖北卷理科第17题）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知向量（）求向量的长度的最大值；（）设，且，求的值。【解析】（1）解法1：则，即 w.w.w.c.o.m 解法2：若，则，又由，得，即，平方后化简得 w 解

14、得或，经检验，即为所求20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线于点N，已知为定值.【解析】（1）方法一：如图，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则，.2分 设动点的坐标为，则动点的坐标为， 3分由，得. 5分方法二：由. 2分所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为： . 5分（2）方法一：如图，设直线的方程为，6分则. 7分联立方程组 消去得， 8分故 9分由，得，10分整理得，. 12分方法二：由已知，得. 7分于是， ， 8分 如图，过、两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，则有= ， 10分由、得. 12分高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )